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(12)平面向量的数量积、平移


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12、平面向量的数量积、平移
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分,请将所选答案填在括号内) 1. 给出以下4个命题: ① 若 a ? 0, 则对任意向量 b ,有 a ? b ? 0 ; ② 若 a ? 0, a ? b ? 0 ,则 b ? 0 ; ③ 若 a ? 0, a ? b ? a ? c ,则 b ? c ; ④ 若 a ? b ? a ? c ,则 b ? c ,当且仅当 a ? 0, 时成立. 其中真命题的个数为 A.1 B.2 2.若 | a ? b |? A.10 3 ( C .3 D.4 ( ) )

41 ? 20 3 , | a |? 4, | b |? 5 ,则 a与b 的数量积为
B.-10 3 C.10 2 D.10

3.若将向量 a ? (2,1) 围绕原点按逆时针方向旋转 A. ( ? 2 , ? 3 2 ) 2 2 C. ( ?

? 得到向量 b ,则向量 b 的坐标为( 4
2 3 2 , ) 2 2



B. (

3 2 2 , ) 2 2

D. ( 3 2 , ? 2 )
2 2

AE ? 4. 在矩形 ABCD 中,

1 1 AB , BF ? BC , 设 AB ? (a,0), AD ? (0, b) , 当 EF ? DE 时, 2 2
( )

|a| 的值为 |b|
A. 2 B. 3 C .2 D.3

5.已知 A(5,7) ,B(2,3) ,将 AB按a =(4,1)平移后的坐标为 A. (-3,-4) B. (-4,-3) C. (1,-3) D. (-3,1)





6.将函数 y ? f ( x) 图象上的点 P(1,0)平移至 P′(2,0) ,则经过这种平移后得到的新 函数的解析式为
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A. y ? f ( x ? 1)

B. y ? f ( x ) ? 1

C. y ? f ( x ? 1)

D. y ? f ( x ) ? 1

7.为了得到 y ? f (?2 x) 的图象,可以把函数 y ? f (1 ? 2 x) 的图象按向量 a 进行平移,则 a 等于 A. (1,0)
2

( B. (-1,0) C. (



1 ,0 ) 2

D. (?

1 ,0 ) 2
( )

8.已知 AB ? BC ? AB ? 0 ,则△ABC 一定是 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形

D.等腰直角三角形 ( )

9.若非零向量 a, b 互相垂直,则下列各式中一定成立的是 A. a ? b ? a ? b C. (a ? b)(a ? b) ? 0 B. | a ? b |?| a ? b | D. (a ? b)2 ? 0

10.已知 | a |? 10, | b |? 12 ,且 (3a )( b) ? ?3b ,则 a与b 的夹角为

1 5





A.60° B.120° C.135° D.150° 11.已知 O 为原点,点 A、B 的坐标分别为(a,0) , (0,a)其中常数 a>0,点 P 在线段 AB 上,且 AP ? t AB(0 ? t ? 1) ,则 OA ? OP 的最大值为 A.a
2 2

( D.a2



B.2 a

C .3 a

12.将椭圆 9 x ? 16y ? 18x ? 64y ? 71 ? 0 按向量 a 平移,使中心与原点重合,则 a 的坐 标为 A. (2,1) ( B. (-1,-2) C. (-1,2) D. (1,-2) )

二、填空题(每小题 4 分,共 16 分,答案填在横线上) 13.将直线 y ? kx ? b 向右平移 3 个单位,再向下平移 2 个单位,所得直线与原来直线重合, 则 k= .

14.已知 e 为单位向量, | a | =4, a与e 的夹角为 ? ,则 a在e 方向上的投影为

2 3

.

15.已知 | a |? 4, | b |? 3, a, b 的夹角为 120°,且 c ? a ? 2b , d ? 2a ? k b ,当 c ? a 时, k= . 16.已知点 A(-2,-3) ,B(-1,-6) ,C(19,4) ,则△ABC 的形状是
-2-

.

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三、解答题(本大题共 74 分,17—21 题每题 12 分,22 题 14 分) 17.如图,矩形 ABCD 内接于半径为 r 的圆 O,点 P 是圆周上任意一点, 求证:PA2+PB2+PC2+PD2=8r2.

18.平面内有向量 OA ? (1,7) , OB ? (5,1),OP ? (2,1) ,点 M 为直线 OP 上一个动点. (1)当 MA, MB 取最小值,求 OM 的坐标; (2)当点 M 满足(1)的条件和结论时,求 cos ?AMB 的值.

19.设向量 2t e1 ? 7e2 与向量 e1 ? t e2 的夹角为钝角,求实数 t 的取值范围.

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20.已知△ABC 的顶点坐标为 A(1,2) ,B(2,3) ,C(3,1) ,把△ABC 按向量 a ? (m, n) 平移后得到 ?A?B ?C ? ,若 ?A?B ?C ? 的重心为 G′(3,4)求△ABC 的对应点 A′、B′、 C′以及 a 的坐标.

21.已知△ABC 中, BC ? a, CA ? b, AB ? c ,若 a ? b ? b ? c ? c ? a ,求证:△ABC 为正 三角形.

22.已知抛物线 C:

y ? x 2 ? 2x ? 3 .

(1)求抛物线顶点 A 的坐标; (2)把 A 按 a ? (3,2) 平移,求对应点 A′的坐标( x ?, y ? ) ; (3)将已知抛物线 C 按 b =(2,3)平移,得到抛物线 C′,求 C′的解析式;

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参考答案
一、1.A 2.A 3.B 4.A 5.A 6.A 7.D 8.B 9.B 10.B 11.D 二、13. 12.B

2 3

14.-2 15. ?

2 3

16.直角三角形

三、17. PA2 ? OA2 ? OP2 ? 2OA ? OP ,

PB2 ? OB2 ? OP2 ? 2OB2 ? OP , PD2 ? OD2 ? OP2 ? 2OD2 ? OP ,

PC2 ? OC 2 ? OP2 ? 2OC 2 ? OP ,
以上各式相加可证.

18. (1)设 M(x,y) ,当 y=2 时, MA ? MB 取最小值-8,此时 OM ? (4,2) . (2) cos?AMB ? ?

4 17 . 17
2

19.∵ (2t e1 ? 7e2 )(e1 ? t e2 ) ? 0 ,故 2t ? 15t ? 7 ? 0 , 解之 ? 7 ? t ? ?

1 14 . 另有 2t ? ? ,7 ? t? ,解之 t ? ? , ? ? ? 14 , 2 2

∴ t ? (?7,?

14 14 1 ) ? (? ,? ) . 2 2 2

20. a ? (1,2) , A′=(2,4) , B′=(3,5) , C′=(4,3) . 21.? b ? c ? c ? a , ∴ c(b ? a) ? 0 , 又∵ a ? b ? c ? 0 ,

c ? ?(a ? b) ,

故 ? (a ? b)(b ? a) ? 0 , 知 a=b, 同理可知 b=c , 故 a=b=c , 得证. 22. (1)A(-1,2) ; (2)A′(2,4) ; 2 (3)y=x -2x+6.

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