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函数、不等式恒成立常见基本题型与解法


函数、不等式恒成立常见基本题型与解法
(阳谷三中 一、恒成立问题的基本类型: 高三数学组 2012.5)

类 型 1 : 设 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) ,( 1 ) f ( x) ? 0在x ? R 上 恒 成 立

? a ? 0且? ? 0 ;
(2) f ( x) ? 0在x ? R 上恒成立 ? a ? 0且? ? 0 。 类型 2:设 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) ( 1 ) 当

a?0





f ( x) ? 0在x ? [? , ? ]









b ? b ? ? b ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ?? , ? ? 2a 或? 或? 2a 2a ? f (? ) ? 0 ?? ? 0 ? f (? ) ? 0 ? ? ?

? f (? ) ? 0 f ( x) ? 0在x ? [? , ? ] 上恒成立 ? ? ? f (? ) ? 0
(2)当 a ? 0 时, f ( x) ? 0在x ? [? , ? ] 上恒成立 ? ?

? f (? ) ? 0 ? f (? ) ? 0

b ? b ? ? b ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ?? f ( x) ? 0在x ? [? , ? ] 上恒成立 ? ? 2a 或? 或? 2a 2a ? f (? ) ? 0 ?? ? 0 ? f (? ) ? 0 ? ? ?
类型 3:

f ( x) ? ?对一切x ? I恒成立 ? f ( x) min ? ?

f ( x) ? ?对一切x ? I恒成立 ? f ( x) max ? ? 。
类型 4:

f ( x) ? g ( x)对一切x ? I 恒成立 ? f ( x)的图象在g ( x)的图象的上方或f ( x)min ? g ( x)max ( x ? I )
二、典例分析 一、用一次函数的性质:对于一次函数 f ( x) ? kx ? b, x ? [m, n] 有:

? f (m) ? 0 ? f (m) ? 0 f ( x) ? 0恒成立 ? ? , f ( x) ? 0恒成立 ? ? ? f (n) ? 0 ? f (n) ? 0

例 1:若不等式 2 x ? 1 ? m( x 2 ? 1) 对满足 ? 2 ? m ? 2 的所有 m 都成立,求 x 的范围。 解析:我们可以用改变主元的办法,将 m 视为主变元,即将元不等式化为: ; m( x 2 ? 1) ? (2 x ? 1) ? 0 , 令 f (m) ? m( x 2 ? 1) ? (2 x ? 1) ,则 ? 2 ? m ? 2 时, f (m) ? 0 恒成立 所以只需 ?
2 ? f (?2) ? 0 ?? 2( x ? 1) ? (2 x ? 1) ? 0 ? 即? , ?2( x 2 ? 1) ? (2 x ? 1) ? 0 ? f (2) ? 0 ?

所以 x 的范围是 x ? ( 二、利用一元二次函数的判别式

?1? 7 1? 3 , )。 2 2

对于一元二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0, x ? R) 有: (1) f ( x) ? 0在x ? R 上恒成立 ? a ? 0且? ? 0 ; (2) f ( x) ? 0在x ? R 上恒成立 ? a ? 0且? ? 0 例 2:若不等式 (m ? 1) x 2 ? (m ? 1) x ? 2 ? 0 的解集是 R,求 m 的范围。 解析:要想应用上面的结论,就得保证是二次的,才有判别式,但二次项系数含有参数 m,所以要讨论 m-1 是否是 0。 (1)当 m-1=0 时,元不等式化为 2>0 恒成立,满足题意; (2) m ? 1 ? 0 时,只需 ?

?m ? 1 ? 0
2 ?? ? (m ? 1) ? 8(m ? 1) ? 0

,所以, m ? [1,9) 。

三、利用函数的最值(或值域) (1) f ( x) ? m 对任意 x 都成立 ? f ( x) min ? m ; (2) f ( x) ? m 对任意 x 都成立 ? m ? f (x) max 。 简单计作: “大的大于最大的,小的小于最小的” 。由此看出,本类问题实质上是 一类求函数的 最值问题。 例 3: ? ABC 中, 在 已知 f ( B) ? 4 sin B sin (
2

?
4

?

B ) ? cos 2 B, 且 | f ( B) ? m |? 2 恒成立, 2

求实数 m 的 范围。 解析:由 f ( B) ? 4sin B sin (
2

?
4

?

B ) ? cos 2 B ? 2sin B ? 1,? 0 ? B ? ? , , 2

? f ( B) ? (1,3] ,?| f ( B) ? m |? 2 恒成立,

?m ? f ( B) ? 2 恒成立,? m ? (1,3] ? ?2 ? f ( B) ? m ? 2 ,即 ? ?m ? f ( B) ? 2
例 4: (1)求使不等式 a ? sin x ? cos x, x ? [0, ? ] 恒成立的实数 a 的范围。

解析:由于函 a ? sin x ? cos x ?

2 sin( x ? ) ,又 4

?

x?

?
4

? [?

? 3?
4 , 4

]

显然函数有最大值 2 ,?a ?

2。

如果把上题稍微改一点,那么答案又如何呢?请看下题: (2)求使不等式 a ? sin x ? cos x, x ?

?

? (0, ) 恒成立的实数 a 的范围。 4 2

?

解析:我们首先要认真对比上面两个例题的区别,主要在于自变量的取值范围的变化, 这样使得 y ? sin x ? cos x 的最大值取不到 2 ,即 a 取 2 也满足条件,所以 a ?

2。

所以,我们对这类题要注意看看函数能否取得最值,因为这直接关系到最后所求参数 a 的取值。利用这种方法时,一般要求把参数单独放在一侧,所以也叫分离参数法。 四:数形结合法 对一些不能把数放在一侧的,可以利用对应函数的图象法求解。 例 5:已知 a ? 0, a ? 1, f ( x) ? x ? a , 当x ? (?1,1)时, 有f ( x) ?
2 x

1 恒成立 ,求实数 a 2

的取值范围。

1 1 ,得 x 2 ? ? a x ,在同一直角坐标系中做出两个函数的图 2 2 1 1 2 2 ?1 象,如果两个函数分别在 x=-1 和 x=1 处相交,则由 1 ? ? a及(?1) ? ? a 得到 a 2 2 1 x 1 x 2 x 分别等于 2 和 0.5, 并作出函数 y ? 2 及y ? ( ) 的图象, 所以, 要想使函数 x ? ? a 2 2 1 2 x 在区间 x ? (?1,1) 中恒成立, 只须 y ? 2 在区间 x ? (?1,1) 对应的图象在 y ? x ? 在区 2
解析:由 f ( x) ? x ? a ?
2 x

间 x ? (?1,1) 对 应 图 象 的 上 面 即 可 。 当 a ? 1 , 只有a ? 2 才 能 保 证 , 而 时

0 ? a ? 1时,只有a ?

1 1 才可以,所以 a ? [ ,1) ? (1,2] 。 2 2
2 2

例 6:若当 P(m,n)为圆 x ? ( y ? 1) ? 1上任意一点时,不等式 m ? n ? c ? 0 恒成 立,则 c 的取值范围是( A、 ? 1 ? 2 ? c ? C、 c ? ? 2 ? 1 ) B、 2 ? 1 ? c ? D、 c ?

2 ?1

2 ?1

2 ?1

解析:由 m ? n ? c ? 0 ,可以看作是点 P(m,n)在直线 x ? y ? c ? 0 的右侧,而点 P(m,n)

在圆 x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1上,实质相当于是 x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1在直线的右侧并与它相离或相

?0 ? 1 ? c ? 0 ? 切。? ?| 0 ? 1 ? c | ? c ? 2 ? 1 ,故选 D。 ? 2 2 ?1 ? 1 ?1

同步练习 1、 f ( x) ? lg 设
1 ? 2x ? a4x , 其中 a ? R , 如果 x ? (??.1) 时,f ( x) 恒有意义, 3

求 a 的取值范围。 分析: 如果 x ? (??.1) 时,f ( x) 恒有意义, 则可转化为1 ? 2x ? a4x ? 0 恒 成立,即参数分离后 a ? ?
1 ? 2x ? ?(2? x ? 2?2 x ) , x ? (??.1) 恒成立,接 4x

下来可转化为二次函数区间最值求解。 解: 如果 x ? (??.1) 时, f ( x) 恒有意义 ? 1 ? 2x ? a4x ? 0 , x ? (? 1 恒 对 ? ,) 成立.
?a?? 1 ? 2x ? ?(2? x ? 2?2 x ) x ? (??.1) 恒成立。 4x
1 2 1 2

令 t ? 2? x , g (t ) ? ?(t ? t 2 ) 又 x ? (??.1) 则 t ? ( , ??) ? a ? g (t ) 对 t ? ( , ??) 恒 成 立 , 又 ? g (t ) 在 t ? [ , ??) 上 为 减 函 数 , g(t )m a x ? g ( ) ? ? ,
?a ? ? 3 。 4 1 2 1 2 3 4

2 、 设 函 数 是 定 义 在 (??, ??) 上 的 增 函 数 , 如 果 不 等 式
f (1 ? ax ? x2 ) ? f (2 ? a) 对于任意 x ? [0,1] 恒成立,求实数 a 的取值范

围。

分析:本题可利用函数的单调性把原不等式问题转化为
1 ? ax ? x 2 ? 2 ? a 对于任意 x ? [0,1] 恒成立,从而转化为二次函数区间

最值求解。 解:? f ( x) 是增函数? f (1 ? ax ? x2 ) ? f (2 ? a) 对于任意 x ?[0,1] 恒成立
? 1 ? ax ? x2 ? 2 ? a 对于任意 x ? [0,1] 恒成立 ? x 2 ? ax ? 1 ? a ? 0 对于任意 x ? [0,1]恒成立,令 g ( x) ? x2 ? ax ? 1 ? a ,

?????? ? g (0), a ? 0 ? a ? x ? [0,1] ,所以原问题 ? g ( x )mi n ? 0,又 g ( x )m i n ? ? g (? ), 2 a ? 0 即 ? ? 2 ? ?2,???????????a ? ? 2 ?
?1 ? a,??????a ? 0 ? 2 ? a ? ?? ? a ? 1, ?2 ? a ? 0 ? 4 ?2,???????????a ? ?2 ?

g ( x) min

易求得 a ? 1 。

3.设 f(x)=x2-2ax+2,当 x ? [-1,+ ? )时, 都有 f(x) ? a 恒成立, a 的取值范围。 求 分析:在 f(x) ? a 不等式中,若把 a 移到等号的左边,则原问题可转化为二 次函数区间 恒成立问题。 解:设 F(x)= f(x)-a=x2-2ax+2-a. ⅰ ) 当 ? = ( -2a) 2-4(2-a)=4 (a-1)(a+2)<0 时,即 -2<a<1 时, 对 一切 x ? [-1,+ ? ),F(x) ? 0 恒成立; ⅱ)当 ? =4(a-1)(a+2) ? 0 时由图可得以下充要条件:
? ?? ? 0 ?(a ? 1)(a ? 2) ? 0 ? ? ? f ( ?1) ? 0 即 ?a ? 3 ? 0 ?a ? ?1, ? ? 2a ?? ? ?1, ? 2 ?
y

-1

o

x

得-3 ? a ? -2; 综上所述:a 的取值范围为[-3,1]。

4、当 x ? (1,2)时,不等式(x-1) <logax 恒成立,求 a 的取值范围。
2

分析:若将不等号两边分别设成两个函数,则左边为二次函数,右边为对数函数,故可 以采用数形结合借助图象位置关系通过特指求解 a 的取值范围。 y 解:设 T1: f ( x ) = ( x ? 1)2 ,T2: g ( x) ? loga x ,则 T1 的图象为右图所示的抛物线, 要使对一切 x ? (1,2), 1 o 2 x y1=(x-1)2 y2=logax

f ( x) < g ( x) 恒成立即 T1 的图象一定要在 T2 的图象所
的下方,显然 a>1,并且必须也只需 g (2) ? f (2) 故 loga2>1,a>1,? 1<a ? 2.

5、已知关于 x 的方程 lg(x +20x)-lg(8x-6a-3)=0 有唯一解,求实数 a 的取值范围。 分析: 原方程可化成 lg(x +20x)=lg(8x-6a-3),从而得 x +20x=8x-6a-3>0,若将等号 两边分别构造函数即二次函数 y= x +20x 与一次函数 y=8x-6a-3,则只需考虑这两个函 数的图象在 x 轴上方恒有唯一交点即可。 解: T1: 1= x +20x= 令 y (x+10)-100, T2: 2=8x-6a-3, y 则如图所示,T1 的图象为一抛物线,T2 的图象是一条斜 l1 率为定值 8,而截距不定的直线,要使 T1 和 T2 在 x 轴上 有唯一交点,则直线必须位于 l1 和 l2 之间。 (包括 l1 但 不包括 l2) 当直线为 l1 时,直线过点(-20,0)此时纵截距为 -6a-3=160,a= ? -20 o l2 x l
2 2 2 2 2

2

y

163 ; 6

当直线为 l2 时, 直线过点 (0, , 0) 纵截距为-6a-3=0, ? a=

1 2

∴a 的范围为[ ?

163 , 6

?

1 2

) 。

6、对于满足|p| ? 2 的所有实数 p,求使不等式 x2+px+1>2p+x 恒成立的 x 的取值 范围。 分析:在不等式中出现了两个变量:x、P,并且是给出了 p 的范围要求 x 的相应 范围,直接从 x 的不等式正面出发直接求解较难,若逆向思维把 p 看作自变量, x 看成参变量,则上述问题即可转化为在[-2,2]内关于 p 的一次函数函数值大 于 0 恒成立求参变量 x 的范围的问题。 解:原不等式可化为 (x-1)p+x2-2x+1>0,令 f(p)= (x-1)p+x2-2x+1,则原问 题等价于 f(p)>0 在 p∈[-2,2]上恒成立,故有:
y y

-2

2

x

-2

o 2

x

?x ?1 ? 0 ? x ?1 ? 0 方法一: ? 或? ∴x<-1 或 x>3. ? f (2) ? 0 ? f (?2) ? 0
? 2 ? x ? 3或x ? 1 ? f (?2) ? 0 ? x ? 4 x ? 3 ? 0 方法二: ? 即? 2 解得: ? ?x ? 1 ? 0 ? f (2) ? 0 ? x ? 1或x ? ?1 ?

∴x<-1 或 x>3.


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