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万有引力与航天知识点总结


精品! 【知识点精析】
一. 万有引力定律:
①内容:自然界中任何两个物体都相互吸引, 引力的大小与物体的质量 m1 和 m2 的乘积成 mm 正比,与它们之间的距离 r 的二次方成反比。即: F ? G 12 2 -11 2 2 其中 G=6. 67×10 N·m /kg r ②适用条件 (Ⅰ)可看成质点的两物体间,r 为两个物体质心间的距离。 (Ⅱ)质量分

布均匀的两球体间,r 为两个球体球心间的距离。 ③运用 (1)万有引力与重力的关系: 重力是万有引力的一个分力,一般情况下,可认为重力和万有引力相等。 忽略地球自转可得: Mm

mg ? G

R2

二. 重力和地球的万有引力:
1. 地球对其表面物体的万有引力产生两个效果:

(1)物体随地球自转的向心力: F 向=m· R· (2π/T0)2,很小。 由于纬度的变化,物体做圆周运动的向心力不断变化,因而表面物体的重力随纬度的 变化而变化。 (2)重力约等于万有引力: GMm 2 在赤道处: F ? F向 ? mg ,所以 mg ? F ? F向 ? ? m?自 R ,因地球自转角速度很 R2 GMm GM 2 小, ?? m?自 R ,所以 g ? 2 。 2 R R 地球表面的物体所受到的向心力 f 的大小不超过重力的 0. 35%, 因此在计算中可以认为 万有引力和重力大小相等。 如果有些星球的自转角速度非常大, 那么万有引力的向心力分力 就会很大, 重力就相应减小, 就不能再认为重力等于万有引力了。 如果星球自转速度相当大, 使得在它赤道上的物体所受的万有引力恰好等于该物体随星球自转所需要的向心力, 那么这 个星球就处于自行崩溃的临界状态了。 Gm1 在地球的同一纬度处,g 随物体离地面高度的增大而减小,即 g ' ? 。 ( R ? h) 2 强调:g=G·M/R2 不仅适用于地球表面,还适用于其它星球表面。
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2. 绕地球运动的物体所受地球的万有引力充当圆周运动的向心力,万有引力、向心力、 重力三力合一。 即:G·M·m/R2=m·a 向=mg∴g=a 向=G·M/R2

三. 天体运动:
1. 开普勒行星运动规律:
(1)所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆,太阳处在所有椭圆的一个焦点上。 (2)对每一个行星而言,太阳行星的连线在相同时间内扫过的面积相等。 (3)所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等。其表达式 为:

R3 ? k ,其中 R 是椭圆轨道的半长轴,T 是行星绕太阳公转的周期,其中 k 是只与中 T2

心天体的质量有关,与做圆周运动的天体的质量无关。 。 2. 基本问题是研究星体(包括人造星体)在万有引力作用下做匀速圆周运动。 基本方法:将天体运动理想化为匀速圆周运动,所需的向心力由万有引力提供。即: G·M·m/r2=m·v2/r =m·r·ω 2 =m·r· (2π /T)2 =m·r· (2π f)2 3. 绕行中心星体的运动的快慢与绕行半径的关系: (1)由 G·M·m/r2=m·v2/r 得 v= G ? M /r ,r 越大,v 越小。 (2)由 G·M·m/r2=m·r·ω 2 得 ? ? G ? M /r3 ,r 越大,ω 越小。 (3)由 G·M·m/r2=m·r· (2π /T)2 得 T ? 4? 2 ? r 2 / G ? M ,r 越大,T 越大。 在地表附近,可以认为 T= 2? R / g =83. 7h。

4. 中心天体质量 M 和密度ρ 的估算:
测量卫星绕天体匀速圆周运动的半径 r 和周期 T, 由 G·M·m/r2=m·r· (2π /T)2 得 M=4π 2?r3/G?T2 再测量天体的半径,得到 4 4 ρ =M/V=M/( π ?R3)=4π 2?r3/(G?T2? π ?R3)=3π ?r3/(G?T2?R3) 3 3 若卫星绕天体表面圆周运动,则:ρ =3π /(G?T2)

5 计算重力加速度
地球表面附近(h《R) 方法:万有引力≈重力 地球上空距离地心 r=R+h 处 方法: mg ? G
'

mg ? G
Mm ( R ? h) 2
''

Mm R2

在质量为 M’,半径为 R’的任意天体表面的重力加速度 g 方法: M '' m

mg '' ? G

R ''

2

6. 双星:
宇宙中往往会有相距较近,质量可以相比的两颗星球,它们离其它星球都较远,因此其 它星球对它们的万有引力可以忽略不计。 在这种情况下, 它们将各自围绕它们连线上的某一
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固定点做同周期的匀速圆周运动。这种结构叫做双星。

(1)由于双星和该固定点总保持三点共线,所以在相同时间内转过的角度必相等,即 双星做匀速圆周运动的角速度必相等,因此周期也必然相同。 (2)由于每颗星的向心力都是由双星间相互作用的万有引力提供的,因此大小必然相 等,由 F=mrω 2 可得 r ?
1 m

,得 r1 ?

(3)公式: R1 ? v1 ? m2

m2 m1 L, r2 ? L ,即固定点离质量大的星较近。 m1 ? m2 m1 ? m2

R2

v2

m1

注意:万有引力定律表达式中的 r 表示双星间的距离,按题意应该是 L,而向心力表达 式中的 r 表示它们各自做圆周运动的半径,在本题中为 r1、r2,千万不可混淆。 当我们只研究地球和太阳系统或地球和月亮系统时(其他星体对它们的万有引力相比 而言都可以忽略不计) ,其实也是一个双星系统,只是中心星球的质量远大于环绕星球的质 量,因此固定点几乎就在中心星球的球心。可以认为它是固定不动的。

7 人造地球卫星:
(1)近地卫星: 近地卫星的轨道半径 r 可以近似地认为等于地球半径 R,又因为地面附近 g ? GM ,所 2
R

以有 v ?

R gR ? 7.9 ? 10 3 m / s, T ? 2? ? 5.1 ? 10 3 s ? 85 min 。它们分别是绕地球做匀速圆 g

周运动的人造卫星的最大线速度和最小周期。 (2)地球同步卫星: (通讯卫星) (1)运动周期与地球自转周期相同,且 T=24h; (2)运转角速度等于地球自转的角速度,周期等于地球自转的周期; (3)同步卫星高度不变,运行速率不变(因为 T 不变) ; (4)同步卫星的轨道平面必须与赤道平面平行,在赤道正上方。 对同步卫星:运动规律: GMm ? m v ? m? 2 r ? m( 2? ) 2 r 2
2

r

r

T

v?

GM r

,? ?

GM r M , T=2? ,a ? G 2 . 3 r GM r

3

分析: 绕地球旋转的卫星所需的向心力由地球的万有引力提供, 因为物体所受的引力 指向地心,因而所有的地球卫星的轨道平面一定过地心;而地球同步卫星相对地表静止,必 随地球自转,所以同步卫星的轨道平面一定过地心且垂直地轴——过赤道的平面。 推导:由同步卫星 T=24h,而 G· M· m/r2=m· r· (2π/T)2
3 ∴r= G ? M ? T 2 / 4? 2 =4. 2× 104km

(3)三种宇宙速度: ①第一宇宙速度(环绕速度) :人造地球卫星最小的发射速度,等于物体近地圆运动的
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运行速度。 推导:由 G· M· m/R2=m· v12/R 或 m· g=m· v12/R 得 v1= G ? M / r ? g ? R =7. 9km/s ②第二宇宙速度(脱离速度) :物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度。 v2=11. 2km/s ③第三宇宙速度(逃逸速度) :物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度。 v3=16. 7km/s 8. 人造卫星的运行规律
G Mm v2 4? 2 ?m ? m? 2 r ? m 2 r 2 r r T

(1) 由 G

M 地 m卫 GM 地 v2 ? m 得 : v ? 卫 r2 r r

(2) 由 G
(3) 由 G

M 地 m卫 GM 地 ? m卫? 2 r得:? ? 2 r r3

M 地 m卫 4? 2 r3 ? m r 得 : T ? 2 ? 卫 r2 T2 GM 地

9. 常用结论:
(1)天上”:万有引力提供向心力

一条龙:F ? ma=G

Mm v2 ? 2? ? = m =mr? 2 =mr ? ? 2 r r ? T ?

2

(2)“地上”:万有引力近似等于重力

2 黄金代换:G M = gR

能力检测:
例题 1.、两颗卫星在同一轨道平面绕地球做匀速圆周运动,地球半径为 R, a 卫星距地面 的高度等于 R, b 卫星距地面的高度等于 3R,则 a 、 b 两卫星周期之比 Ta : Tb ? _________。 例题 2、某中子星的质量大约与太阳的质量相等为 2 ? 10 30 kg 。但是它的半径为 10km,已 知万有引力常量 G ? 6.67 ? 10 ?11 N ? m 2 / kg 2 ,求: (1)此中子星表面的重力加速度。 (2)贴近中子星的表面,沿圆轨道运动的小卫星的速度。 例题 3、某球形行星“一昼夜”时间为 T=6h,在该行星上用弹簧秤称同一物体的质量, 发现其“赤道”上的读数比其在“南极”处读数小 9%,若设想该行星的自转速度加快,在 其“赤道”上的物体会自动“漂浮”起来,这时该行星的自转周期 T'多大?

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例题 4、用 m 表示地球同步通信卫星的质量、h 表示卫星离地面的高度、M 表示地球的质 量、R0 表示地球的半径、g0 表示地球表面处的重力加速度、T0 表示地球自转的周期、ω 0 表 示地球自转的角速度,则: (1)地球同步通信卫星的环绕速度 v 为 A. ω 0(R0+h) B.

GM R0 ? h

C.

3

GM? 0

D.

3

2?GM T0

(2)地球同步通信卫星所受的地球对它的万有引力 F 的大小为 A. m

R0 g 0 ( R0 ? h ) 2

2

B. mω 20(R0+h) D. m
3

C. m 3 R 0 2 g 0 ? ? 0

16? 4 GM T0
4

(3)地球同步通信卫星离地面的高度 h 为 A. 因地球同步通信卫星和地球自转同步,则卫星离地面的高度就被确定 B.
3

R0 g 0

2

? 20

-R0

C.

GMT02 -R0 4? 2

D. 地球同步通信卫星的角速度虽已确定,但卫星离地面的高度可以选择 . 高度增加, 环绕速度增大,高度降低,环绕速度减小,仍能同步

达标测试一
1、已知人造地球卫星靠近地面运行时的环绕速度约为 8km/ s ,则在离地面的高度等于地球 半径处运行的速度为( ) A. 2 2km / s B. 4km/ s C. 4 2km / s D. 8km/ s 2 、 两 颗 人 造 地 球 卫 星 , 它 们 的 轨 道 半 径 之 比 为 r1 : r2 ? 1 : 3 , 它 们 角 速 度 之 比

?1 : ? 2 ? ___________。
3、设地球表面的重力加速度为 g 0 ,物体在距地心 4R0 ( R0 是地球半径)处,由于地球 的作用而产生的重力加速度 g ,则: A. 1 B.

g 为( g0

) D.

1 9

C.

1 4

1 16

1 1 ,月球的半径是地球半径的 ,那么在月球和地球表 81 3.8 面附近,以同样的初速度分别竖直上抛一个物体时,忽略空气阻力,上升的最大高度之比是 多少? 5、人造地球卫星由于受大气的阻力作用,其轨道半径将缓慢地减小,其相应的线速度和 周期的变化情况是
4、已知月球质量是地球质量的

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A. 速度减小,周期增大? B. 速度减小,周期减小? C. 速度增大,周期增大? D. 速度增大,周期减小? 6、地核的体积约为整个地球体积的 16%,地核的质量约为地球质量的 34%,经估算,地 核的平均密度为 kg/m3。 (结果取两位有效数字,引力常量 G ? 6.7 ? 10 ?11 N ? m 2 / kg 2 ,地球 半径 R ? 6.4 ? 10 6 m ) 7、 欧洲航天局用阿里亚娜火箭发射地球同步卫星。 该卫星发射前在赤道附近 (北纬 5°左右) 南美洲的法属圭亚那的库卢基地某个发射场上等待发射时为 1 状态, 发射到近地轨道上做匀 速圆周运动时为 2 状态,最后通过转移、调试,定点在地球同步轨道上时为 3 状态。将下列 物理量按从小到大的顺序用不等号排列: ①这三个状态下卫星的线速度大小______; ②向心加速度大小______; ③周期大小______。 8、已知地球半径为 6.4×106m,又知月球绕地球的运动可近似看作匀速圆周运动,则可估 算出月球到地心的距离约为__________m。 (结果只保留一位有效数字)? 9、在某星球上,宇航员用弹簧秤称量一个质量为 m 的物体,其重力为 F。宇宙飞船在靠 近该星球表面飞行,测得其环绕周期为 T。已知万有引力常量为 G,试由以上数据求出该星 球的质量。 10、2002 年 3 月 25 日,我国自行研制的新型“长征”运载火箭,将模拟载人航天试验飞 船“神州 3 号”送入预定轨道,飞船绕地球遨游太空 t ? 7d 后又顺利返回。飞船在运动过 程中进行了预定的空间科学实验,获得圆满成功。设飞船轨道离地高度为 h ? 600km ,地面 重力加速度 g ? 10m / s 2 , 地球半径为 6400km , 则 “神舟 3 号” 飞船绕地球正常运转多少圈?

达标检测二
1、 “神舟三号”顺利发射升空后,在离地面 340km 的圆轨道上运行了 108 圈。运行中需 要多次进行“轨道维持” 。所谓“轨道维持”就是通过控制飞船上发动机的点火时间和推力 的大小方向,使飞船能保持在预定轨道上稳定运行。如果不进行轨道维持,由于飞船受轨道 上稀薄空气的摩擦阻力,轨道高度会逐渐降低,在这种情况下飞船的动能、重力势能和机械 能变化情况将会是 A. 动能、重力势能和机械能都逐渐减小 B. 重力势能逐渐减小,动能逐渐增大,机械能不变 C. 重力势能逐渐增大,动能逐渐减小,机械能不变 D. 重力势能逐渐减小,动能逐渐增大,机械能逐渐减小 2、同步卫星是指相对于地面不动的人造地球卫星 A. 它可以在地面上任一点的正上方,且离地面高度可任意选择? B. 它可以在地面上任一点的正上方,且离地面的高度一定? C. 它只能在赤道正上方,但离地面高度任意选择? D. 它只能在赤道正上方且离地面高度一定? 3、当人造卫星进入轨道做匀速圆周运动后,下列叙述中正确的有 A. 卫星内的一切物体均不再受到支持力作用? B. 卫星内的一切物体仍受重力作用,并可用弹簧秤直接测出所受重力的大小? C. 如果在卫星内将一物体自由释放,则卫星内的观察者便看到物体做自由落体运动? D. 如果在卫星内悬挂一小球,给小球一垂直于悬线的速度后,小球将做匀速圆周运动 4、据观测,某行星外围有一模糊不清的环,为了判断该环是连续物还是卫星群,又测出
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了环中各层的线速度 v 的大小与该层至行星中心的距离 R,以下判断中正确的是 A. 若 v 与 R 成正比,则环是连续物? B. 若 v 与 R 成反比,则环是连续物? C. 若 v2 与 R 成反比,则环是卫星群? D. 若 v2 与 R 成正比,则环是卫星群? 5、在圆轨道上运动的质量为 m 的人造地球卫星,它到地面的距离等于地球半径 R,地面 上的重力加速度为 g,则 A. 卫星运动的速度为 2 Rg B. 卫星运动的周期为 4? C. 卫星运动的加速度为 D. 卫星的动能为

2R ? g

1 g? 2

1 mRg ? 4 6、已知地球表面重力加速度为 g,地球半径为 R,万有引力恒量为 G,用以上各量表示 地球质量 M=__________。 7、两颗人造地球卫星 A、B 的质量之比 m1∶m2=1∶2,它们的轨道半径之比 r1∶r2=3∶1, 可知这两颗卫星的线速度之比 v1∶v2=__________,向心加速度之比 a1∶a2=__________,所 受向心力之比 F1∶F2=__________,周期之比 T1∶T2=__________。 8、如图所示,发射同步卫星的一种程序是:先让卫星进入一个近地的圆轨道,然后在 P 点点火加速,进入椭圆形转移轨道(该椭圆轨道的近地点为近地圆轨道上的 P,远地点为同 步圆轨道上的 Q) ,到达远地点时再次自动点火加速,进入同步轨道。设卫星在近地圆轨道 上运行的速率为 v1,在 P 点短时间加速后的速率为 v2,沿转移轨道刚到达远地点 Q 时的速 率为 v3,在 Q 点短时间加速后进入同步轨道后的速率为 v4。试比较 v1、v2、v3、v4 的大小, 并用小于号将它们排列起来______。
v3 Q

v4

v2

v 1 P

9、某行星上一昼夜的时间 t=6h,在该行星赤道处用弹簧秤测得一物体的重力大小比在该 - 行星两极处小 10%,则该行星的平均密度多大?(G 取 6. 67×10 11N·m2/kg2)? 10、一颗在赤道上空飞行的人造地球卫星,其轨道半径为 r=3R(R 为地球半径) ,已知地 球表面重力加速度为 g,则该卫星的运行周期是多大?若卫星的运动方向与地球自转方向相 同,已知地球自转角速度为 ? 0,某一时刻该卫星通过赤道上某建筑物的正上方,再经过多 少时间它又一次出现在该建筑物正上方?? 11、 在月球上以初速度 v0 自 h 高处水平抛出的小球, 射程可达 x 远, 已知月球半径为 R. 如 果在月球上发射一颗月球的卫星,它在月球表面附近环绕月球运行的周期是多大??

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