当前位置:首页 >> 数学 >>

等比数列前n项和的教学设计


等比数列前 n 项和的教学设计
内容分析 本节课选自《普通高中课程标准数学教科书·数学(5) 》 (人教 A 版)第二章第 5 节第一 课时, 从在教材中的地位与作用来看: 《等比数列前 n 项和》 是数列这一章中的一个重要内容, 它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用,如储蓄、分期付款的有关计算等等,而且公式推 倒过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法,都是学生今后学习 和工作中必备的数学素养。 学情分析 从学生的思维特点看,很容易把本节内容与等差数列前 n 项和公式的形成、特点等方面进 行类比,这是积极因素,应因势利导。不利因素是:本节公式的推倒与等差数列前 n 项和公 式的推倒有着本质的不同,这对学生的思维是一个突破,另外,对于 q=1 这一特殊情况,学 生往往容易忽视,尤其是在后面使用公式的过程中容易出错。教学对象是刚进入高中的学生, 虽然具有一定的分析问题和解决问题的能力,逻辑思维能力也初步形成,但由于年龄的原因, 思维尽管活跃、敏捷,却缺乏冷静、深刻,因此片面、不严谨。 设计思路 《新课程改革纲要》提出:要“改变课程实施过于强调接受学习、死记硬背、机械训练的 现状,倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动手,培养学生搜集和处理信息的能力、获取新 知识的能力、分析和解决问题的能力以及交流合作的能力 ”.对这一目标本人认为应更加注重 培养学生作为学习主体的能动性、独立性、创造性、发展性。心理学家研究发现,9~22 岁的 学生正处于创新思维的培养期,高中生正好处于这一关键年龄段,作为数学教师应因势利导, 培养学生的创新思维能力,利用问题探究式的方法对新课加以巩固理解。在生生、师生交流 的过程中,体现对弱势学生更多的关心。 三维目标 理解并掌握等比数列前 n 项和公式的推倒过程、公式的特点,在此基础上能初步应用公 式解决与之有关的的问题。 通过对公式推倒方法的探索与发现,向学生渗透特殊到一般、类比与转化、分类讨论等 数学思想,培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的能力。 通过对公式推倒方法的探索与发现,优化学生的思维品质,渗透事物之间等价转化和理 论联系实际的辩证唯物主义观点。 教学重点:公式的推倒、公式的特点、公式的应用。 教学难点:公式的推倒方法和公式的灵活运用。公式推倒所使用的“错位相减法”是高中数 学的数列求和方法中最常用的方法之一,它蕴涵了重要的数学思想,所以既是重点也是难点。 教学手段:多媒体辅助教学 教学过程 学生是认知的主体,设计教学过程必须遵循学生的认知规律,尽可能地让学生去经历知 识的形成与发展过程,结合本节课的特点,设计了如下的教学过程: 一、创设情境,提出问题 在古印度,有个名叫西萨的人,发明了国际象棋,当时的印度国王大为赞赏,对他说: 我可以满足你的任何要求。西萨说:请给我棋盘的 64 个方格上,第一格放 1 粒小麦,第二格 放 2 粒,第三格放 4 粒,往后每一格都是前一格的 2 倍,直至第 64 格,国王令宫廷数学家计 算,结果出来后,国王大吃一惊。为什么呢? 设计意图: 设计这个情景目的是在引入课题的同时激发学生的兴趣,调动学习的积极性。故事内容 紧扣本节课的主题与重点。

此时我问:同学们,你们知道西萨要的是多少粒小麦吗?引导学生写出麦粒总数
1 ? 2 ? 22 ? 23 ? ? ?263 ,带着这样的问题,学生会动手算了起来,他们想到用计算器依次算出

各项的值,然后再求和。这时对他们的这种思路给予肯定。 在实际教学中,由于受课堂时间限制,教师舍不得花时间让学生去做所谓的“无用功” , 急急忙忙的抛出“错位相减法” ,这样做有悖学生的认知规律:求和就想到相加,这是合乎逻 辑顺理成章的事,教师为什么不相加而马上相减呢?在整个教学关键处学生难以转过弯来, 因而在教学中应舍得花时间营造知识形成过程的氛围,突破学生学习的障碍。同时,形成繁 难的情境激起了学生的求知欲,迫使学生急于寻求解决问题的新方法,为后面的教学埋下伏 笔。 二、师生互动,探究问题 在肯定 了他们 的思 路 后,接 着问: 1 ? 2 ? 22 ? 23 ? ? ?263 是什 么数列 ?有何 特征?
1 ? 2 ? 22 ? 23 ? ? ?263 应归结为什么数学问题呢?

学情预设 探讨 1:设 S64 ? 1 ? 2 ? 22 ? 23 ? ? ?263 ,记为(1)式,注意观察每一项的特征,有何联系?(学 生会发现,后一项都是前一项的 2 倍) 探讨 2 :如果我们把每一项都乘以 2 ,就变成了它的后一项, ( 1 )式两边同乘以 2 则有 (2)两式,你有什么发现? 2S64 ? 2 ? 22 ? 23 ? ? 263 ? 264 ,记为(2)式。比较(1) 设计意图: 留出时间让学生充分地比较,等比数列前 n 项和的公式推倒关键是变“加”为“减”,在 教师看来这是“天经地义”的,但在学生看来却是“不可思议”的,因此教学中应着力在这儿 做文章,从而抓住学生的辩证思维能力的良好契机。 经过比较、研究,学生发现: ?1?? 2? 两式有许多相同的项,把两式相减,相同的项就消 去了,得到 S64 ? 264 ?1 。老师提出:这就是错位相减法,并要求学生纵观全过程,反思:为 什么 ?1? 式两边要同乘以 2 呢? 经过繁难的计算后,突然发现上述解法,不禁惊呼:真是太简洁了 !让学生在探索过程 中,充分感受到成功的情感体验,从而增强学习数学的兴趣和学好数学的信心。 三、类比联想,解决问题 这时在顺势引导学生将结论一般化,设等比数列 ?an ? ,首项为 a1 ,公比为 q,如何求前 n 项和 Sn ?这里,让学生自主完成,并喊一名学生上黑板,然后对个别学生进行指导。 设计意图 在教师的指导下,让学生从特殊到一般,从已知到未知,步步深入,让学生自己探究公 式,从而体验到学习的愉快和成就感。 学情预设 在学生推倒完成后,再问:由 ?1? q ? Sn ? a1 ? a1qn 得 Sn ?

a1 ? a1q n 对不对?这里的 q 能不能 1? q

等于 1?等比数列中的公比能不能为 1?q=1 时是什么数列?此时 Sn ? ?(这里引导学生对 q 进行分类讨论,得出公式,同时为后面的例题教学打下基础。 ) 再次追问:结合等比数列的通项公式 an ? a1qn?1 ,如何把 Sn 用 a1 、 an 、q 表示出来?(引 导学生得出公式的另一种形式) 设计意图 通过反问精讲,一方面使学生加深对知识的认识,完善知识结构,另一方面使学生由简单 地模仿和接受,变为对知识的主动认识,从而进一步提高分析、类比和综合的能力。这一环 节非常重要,尽管时间有时比较少,甚至仅仅几句话,然而却有画龙点睛之妙用。 四、讨论交流,延伸拓展 在此基础上,提出:探究等比数列前 n 项和公式,还有其他方法吗?我们知道
2 ? ?a1qn?1 ? a1 ? q(a1 ? a1q ? ? a1q n?2 ) ,那么我们能否利用这个关系而求出 Sn ? a 1 ? a 1 q? a 1 q ?

Sn 呢?根据等比数列的定义又有 Sn 呢?

a a2 a3 a4 ? ? ? ? ? n ? q ,能否联想到等比定理从而求出 an ?1 a1 a2 a3

设计意图 以疑导思,激发学生的探索欲望,营造一个让学生主动观察、思考、讨论的氛围。以上两 种方法都可以化归到 Sn ? a1 ? qSn?1 ,这其实就是关于 Sn 的一个递推式,递推数列有非常重要 的研究价值,是研究性学习和课外拓展的极佳资源,它源于课本,又高于课本,对学生的思 维发展有促进作用。 五、变式训练,深化认识

例 1 求等比数列 变式 1 等比数列 变式 2 变式 3

1 1 1 1 , , , ?的前 2 4 8 16,

8 项和。

1 1 1 1 63 , , , , ?的前多少项的和是 ? 2 4 8 16 64 1 1 1 1 等比数列 , , , , ?,求第 5 项到第 10 项的和。 2 4 8 16 1 1 1 1 等比数列 , , , , ?,求前 2n 项中所有偶数项的和。 2 4 8 16

首先,学生独立思考,自主解题,再请学生上台来幻灯演示他们的解答, 其他同学进行评价,然后师生共同进行总结。
设计意图
采用变式教学设计题组,深化学生对公式的认识和理解,通过直接套用公式、变式运用 公式、研究公式特点这三个层次的问题解决,促进学生新的数学认知结构的形成,通过以上 形式,让全体学生都参与教学,以此培养学生的参与意识和竞争意识。 六、例题讲解,形成技能

例 2 求和 1 ? a ? a2 ? a3 ? ? ? a n ?1

设计意图 解题时,以学生分析为主,教师适时给予点播,该题有意培养学生对含有参数的问题进 行分类讨论的数学思想。 七、总结归纳,加深理解 以问题的形式出现,引导学生回顾公式、推倒方法,鼓励学生积极回答,然后老师再从 知识点及数学思想方法两方面总结。 设计意图 以此培养学生的口头表达能力,归纳概括能力。 八、故事结束,首尾呼应 最后我们回到故事中的问题,我们可以计算出国王奖赏的小麦约为 1.84 ?1019 粒,大约 7000 亿吨,用这么多小麦能从地球到太阳铺设一跳宽 10 米、厚 8 米的大道,大约是全世界 一年产量的 459 倍,显然国王兑现不了他的承诺。 设计意图 把引入课题时的悬念给予释疑,有助于学生克服疲倦、继续积极思维。 九、课后作业,分层练习 必做:课本本节练习 1: (1) (2); 2; 选做:思考题: (1)求和 x ? 2 x2 ? 3x3 ? ? nx n 。 (2)“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共 灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”这首中国古诗的答案是多少? 设计意图 出选做题的目的是注意分层教学和因材施教,让学有余力的学生思考的空间。 教学反思 对公式的教学,要使学生掌握与理解公式的来龙去脉,掌握公式的推倒方法,理解公式的 成立条件,充分体现公式之间的联系。在教学中,采用“问题——探究”的教学模式,把整 个课堂分为呈现问题、探索规律、总结规律、应用规律四个阶段。

等比数列前 n 项和的教学设计

济宁市任城区第二中学





2011-10-12


相关文章:
2015等比数列前n项和教案(公开课)
2015等比数列前n项和教案(公开课)_高二数学_数学_高中教育_教育专区。课程名称 §2.5 等比数列前 n 项和 1 课时 授课时间 2015 年 9 月 18 日 授课课时...
优质课教学设计:等比数列的前n项和
优质课教学设计:等比数列的前n项和_教学案例/设计_教学研究_教育专区。课题:等比数列的前 n 项和 一、教材分析 本节课选自《普通高中课程标准数学教科书·数学(...
《等比数列的前n项和公式》教学设计说明
《等比数列前 n 项和公式》教学设计说明河南省开封市第二十五中学 姜黎黎 《等比数列前 n 项和》 是人教版必修 5 第二章数列中第五节第一课时的内容。 ...
教案-《等比数列的前n项和公式》
高二数学组集体备课教案(第七周 10 月 17 日) 课题:2.5 等比数列的前 n 项和(两个课时) 教学目标: (1)知识目标:理解等比数列的前 n 项和公式的推导方法...
等比数列前n项和_(公开课教案)
§6.3.3 等比数列的前 n 项和教学目的: 1.掌握等比数列的前 n 项和公式及公式证明思路. 2.会用等比数列的前 n 项和公式解决有关等比数列的一些简单问题 ...
《等比数列前n项和》教学设计
等比数列前 n 项和教学设计张倩 教学目标: 1.知识与技能目标 理解并掌握等比数列前 n 项和公式的推导过程、公式的特点,在此基础上能初步应用公 式解决与...
《等比数列的前n项和》教学设计
等比数列前 n 项和》教学设计一、设计思想: 1、设计理念 本课的教学设计基于在新课程理念引领下,充分利用高速信息化,强调以学生为主体的 高效课堂教学模式,...
等比数列前n项和教学设计
等比数列前n项和教学设计_其它课程_高中教育_教育专区。《等比数列前 n 项和》教学设计定边中学—张永战 设计理念:新课程背景下, 我们应该把学生综合素质的培养...
《等比数列的前n项和》教学设计
等比数列的前 n 项和教学设计江陵县实验高中 潘芝忠一、教学内容分析 本节课选自《普通高中课程标准数学教科书·数学(5)》(人教版)第二章第 5 节第一...
《等比数列的前n项和》教学设计
整体变换和方程等思想方法,都是学 生今后学习和工作中必备的数学素养. 二、教学目标分析 1、知识目标: 理解并掌握等比数列前 n 项和公式及推导方法,并在此基础...
更多相关标签: