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郑州市2010-2011学年高二下学期期末考试理科数学试题(有答案)


郑州市 2010—2011 学年下期期末考试高二数学(理科)
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个答案中,只有一项是符合 题目要求的) 1.复数

3?i 等于( 1? i

) B. 1 ? 2i C. 2 ? i D. 2 ? i )

A. 1 ? 2 i



2. 已知随机变量 X 服从正态分布 N (2,1) ,且 P(1 ? x ? 3) ? 0.6826 ,则 P( x ? 3) ? ( A.0.1588 B.0.1587 C.0.1586 D.0.1585

3. 用数学归纳法证明等式 1 ? 2 ? 3 ? 边应取的项是( A.1 ) B.1+2

? (n ? 3) ?

(n ? 3)(n ? 4) (n ? N *) 时,第一步验证 n ? 1 时,左 2

C.1+2+3 )

D.1+2+3+4

4.给出下面四个命题,其中正确的一个是(

A.回归直线 y ? bx ? a 至少经过样本点 ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) ,
2

, ( xn , yn ) 中的一个

B.在线性回归模型中,相关指数 R ? 0.64 ,说明预报变量对解释变量个贡献率是 64% C.相关指数 R 用来刻画回归效果, R 越小,则残差平方的和越大,模型的拟合效果越好 D.随机误差 e 是引起预报值与真实值之间存在误差的原因之一 5.若 (1 ? x)2011 ? a0 ? a1x ? A.2 B.0
2 2

? a2011x2011 ( x ? R) ,则 a1 ?
C. ? 1

? a2011 ? (
D. ?2



6.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产 A 产品过程中记录的产量 x (吨)和相应的生产能耗 y (吨 煤)的几组数据:

x
y

3 2.5

4

5 4

6 4.5 )

t

根据以上提供的数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程为 y ? 0.7 x ? 0.35 ,那么表中 t 的值为( A.3 B.3.15
2

C.3.5

D.4.5

7.一物体在力 F ( x) ? 3x ? 2 x ? 5(力单位:N,位移单位:m)的作用下沿与 F ( x) 相同的方向由 x ? 5 m 沿直线运动到 x ? 10 m 处做的功是( A.925 J B.850 J ) C.825 J D.800 J

8.将两枚质地均匀的骰子各掷一次,设事件 A={两个点数互不相同},B={至少出现一个 5 点},则概率

P ? A | B ? 等于(
A.

) B.

10 11

5 11

C.

5 6

D.

11 36

9.一个建筑队承包了两项工程,每项工程均有三项任务,由于工序的要求,第一项工程必须按照任务 A、 任务 B、任务 C 的先后顺序进行,第二项工程必须按照任务 D、任务 E、任务 F 的先后顺序进行,建筑队每 次只能完成一项任务,但第一项工程和第二项工程可以自由交替进行,若公司将两项工程做完,共有多少 种安排方法( A.12 ) B.30 C.20 D.48

10.已知函数 f ( x)( x ? R) 的图象上任一点 ( x0 , y0 ) 处的切线方程为 y ? y0 ? ( x0 ? 2)( x0 ? 1)( x ? x0 ) ,那 么函数 f ( x)( x ? R) 的单调递减区间可能是( A. ?1, ?? ? B. ? ??,2? C. ?1, 2 ? ) D. ?2, ???

11 . 口 袋 里 放 有 大 小 相 同 的 两 个 红 球 和 一 个 白 球 , 有 放 回 地 每 次 摸 取 一 个 球 , 定 义 数 列 ?an ? ,

??1,第n次摸取红球 an ? ? ,如果 Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和,那么 S5 ? 3 的概率为( ?1,第n次摸取白球
3 A. C5 ? ? ? ?



?1? ? 2? ? 3? ? 3?

3

2

2 B. C5 ? ? ? ?

?1? ? 2? ? 3? ? 3?

2

3

4 C. C5 ? ? ? ?

?1? ? 2? ? 3? ? 3?

4

1 D. C5 ? ??

? 1 ?? 2 ? ? ? 3 ?? 3 ?

4

12.已知 f ( x ) 是定义在 R 上的函数,其导函数 f '( x) 满足 f '( x) ? f ( x)( x ? R) ,则( A. f (2) ? e2 f (0), f (2011) ? e2011 f (0) C. f (2) ? e2 f (0), f (2011) ? e2011 f (0) B. f (2) ? e2 f (0), f (2011) ? e2011 f (0) D. f (2) ? e2 f (0), f (2011) ? e2011 f (0)



二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 已知离散型随机变量 ? 的分布列如下,则 a 的值是____________.

?
p
4 2 3

0 0.2
4

1

2

2a

6a

14.已知 (1 ? 2 x) ? a0 ? a1x ? a2 x ? a3x ? a4x ,则 a1 ? 2a2 ? 3a3 ? 4a4 ? __________.
2 15.已知 f ( x) ? x ? 2xf '(1) ,则 f '(2) ? _______.

16.正整数按右表的规律排列,则上起第 n 行, 左起第 n ? 1 列的数应为__________ (n ? N *) .

1 4 9 16

2 3 8 15

5 6 7 14

10 11 12 13 22

17 18 19 20 21

三、解答题: (共 6 大题,共 70 分) 25 17. (本小题满分 10 分) 已知二项式 ( x ?
2

24 23 ??

1 2 x

) n (n ? N *) 展开式中,前三项的二项式系数和是 56.

(Ⅰ)求 n 的值; (Ⅱ)求展开式中的常数项.

18. (本小题满分 12 分) 试分别用综合法、分析法、反证法三种方法之一,证明下列结论:已知 0 ? a ? 1 ,则

1 4 ? ? 9. a 1? a

19. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 的图象经过点 M (1, 4) , 曲线在点 M 处的切线恰好与直线 x ? 9 y ? 0 垂直. (Ⅰ)求实数 a、 b 的值; Ⅱ)若函数 f ( x ) 在区间 ?m, m ?1? 上单调递增,求 m 的取值范围. 20. (本小题满分 12 分) 北京时间 2011 年 3 月 11 日 13:46,日本本州岛附近发生 9.0 级强烈地震,强震导致福岛第一核电站 发生爆炸,爆炸导致的放射性物质泄漏,日本东京电力公司为反应堆注水冷却燃料池,于是产生了大量的 废水.4 月 4 日,东京电力公司决定直接向海中排放上万吨高核辐射浓度的污染水,4 月 7 日玉筋鱼被查 出放射性铯 137 超标. 《中华人民共和国环境保护法》规定食品的铯含量不得超过 1.00ppm.现从一批玉筋 鱼中随机抽出 15 条作为样本,经检验各条鱼的铯含量的茎叶图(以小数点前一位数字为茎,小数点后一 数字为叶)如下: (Ⅰ)若某检查人员从这 15 条鱼中随机抽出 3 条,求恰有 1 条鱼铯含量超标的概率; (Ⅱ)以此 15 条鱼的样本数据来估计这批鱼的总体数据,若从 这批鱼中任选 3 条,记 ? 表示抽到的鱼中铯含量超标的鱼的条 数,求 ? 分布列和数学期 E? . 玉筋鱼的含量 0 1 1 3 2 1 5 9 8 7 3 2 1 2 3 5 4

21. (本小题满分 12 分) 为了考察某种药物预防疾病的效果,工作人员进行了动物试验,得到如下丢失数据的列联表: 药物试验列联表 患病 没服用药 服用药 总计 20 未患病 30 总计 50 50 100

x
M

y

N

工作人员曾用分层抽样的方法从 50 只服用药的动物中抽查 10 个进行重点跟踪试验,知道其中患病的 有 2 只. 求出列联表中数据 x、y、M 、N 的值; 能够有 97.5%的把握认为药物有效吗? 参考数据

P(K 2 ? k0 )
k0

0.50 0.455

0.40 0.708

0.25 1.323

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.84

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

参考公式: K 2 ?

n(ad ? bc)2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

22. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

ln x ? 1 ? a ,a?R x

(Ⅰ)求 f ( x ) 的极值; (Ⅱ)若 ln x ? kx ? 0 在 ? 0, ??? 上恒成立,求 k 的取值范围; (Ⅲ)已知 x1 ? 0 , x2 ? 0 ,且 x1 ? x2 ? e ,求证: x1 ? x2 ? x1 x2 .

2010~2011 学年度下期期末考试

高中二年级 理科数学
一、选择题 CBDDC ACACC 二、填空题 CD 16. n(n ? 1) .

参考答案

13.0.1; 14. -8;15.0; 三.解答题

1 2 17.解: (1) C0 n ? Cn ? Cn ? 56 ,???????????????2 分

? 1? n ?

n(n ? 1) ? 56 ? n 2 ? n ? 110 ? 0 2

?????????4 分

? n ? 10, n ? ?11 (舍去).????????????????5 分

(2) ( x 2 ?

1 2 x

)10 展开式的第 r ? 1 项是

r C10 ( x 2 )10?r (

5r 20? r 1 r )r ? C10 ( ) x 2 ,?????????????7 分 2 2 x

1

2 0?

5r ? 0? r 2

?, 8 ???????????????9 分

45 8 1 8 ( ) ? 故展开式中的常数项是 C10 . 2 256

??????10 分

18.解:综合法: 0 ? a ? 1 ,所以
1 4 1 4 ? ?( ? )(a ? 1 ? a) a 1? a a 1? a 1 ? a 4a ?5? ? a 1? a
?5?2 1 ? a 4a ? a 1? a

??????2 分 ??????4 分 ??????8 分 ??????10 分 --------------12 分

? 5 ? 4 ? 9.

当且仅当 分析法:

1 1 ? a 4a 时取等,即 a ? 时等号成立. ? 3 a 1? a

1 4 ? ?9 a 1? a ? (1 ? a ) ? 4a ? 9a (1 ? a ) ? 9a 2 ? 6a ? 1 ? 0 ? (3a ? 1) 2 ? 0.

当且仅当

1 1 ? a 4a 时取等,即 a ? 时等号成立.(比照给分) ? 3 a 1? a

19.解析: (1) f ' ( x) ? 3ax2 ? 2bx ,由题意可得
a?b ? 4, 3a ? 2b ? 9 ,

-----------2 分 -----------4 分 ----------6 分

a ? 1, b ? 3 ,

(2) f ( x) ? x3 ? 3x2 , 所以 f ' ( x) ? 3x2 ? 6x ? 3x( x ? 2) , -----------8 分

易知 f ( x) 在 (??, ?2) 和 (0, ??) 上单调递增, 所以 m ? 1 ? ?2 或 m ? 0 . ??????10 分 即 m ? ?3 或 m ? 0 . ---------12 分 20.解: (1)记“从这 15 条鱼中随机抽出 3 条,求恰有 1 条鱼铯含量超标”为事件 A,则
1 2 C5 C 45 P( A) ? 3 10 ? ,??????2 分 C15 91

所以从这 15 条鱼中随机抽出 3 条,求恰有 1 条鱼铯含量超标的概率 (2)由题意可知,这批鱼铯含量超标的概率是 P ?

45 . --------4 分 91

5 1 ? ,????6 分 15 3

? 的取值为 0,1,2,3,其分布列如下: ?
0 1 2 3

P

1 2 C30 ( )0 ( )3 3 3

1 1 1 2 2 C3 ( )( ) 3 3

1 2 C32 ( ) 2 ( )1 3 3

3 1 3 2 0 C3 ( ) ( ) 3 3

------------------------------------10 分 所以 ?
1 B (3, ) . 3

所以 E? =1.-------------------12 分
21.解析: (1) 由题意知服用药的动物中每只被抽到的概率为 则 x ? 10 .? x ? 10, y ? 40, M ? 30, N ? 70 . (一个值 1 分,计 4 分)

1 ,????2 分 5

……………………6 分

(2)

?K2 ?

100(800 ? 300) 2 ? 4.76 30 ? 70 ? 50 ? 50 ,…………..10 分(式子 2 分,结果 2 分)

由参考数据知不能够以 97.5%的把握认为药物有效. …………..12 分 a ? ln x 22.解析:(I) f ?( x ) ? ,令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? e a .------------2 分 2 x 当 x ? (0, e a )时, f ' ( x) ? 0, f ( x) 为增函数; 当 x ? (e a , ??)时, f ' ( x) ? 0, f ( x) 为减函数, 可知 f ( x) 有极大值为 f (e a ) ? e ? a . -------------------4 分
ln x ? k 在 (0,??) 上恒成立, x

(Ⅱ)欲使 ln x ? kx ? 0 在 (0,??) 上恒成立,只需 设 g ( x) ?
ln x ( x ? 0) , x

??????6 分

1 1 由(Ⅰ)知, g ( x) 在 x ? e 处取最大值 ,所以 k ? .--------------------8 分 e e ln x (Ⅲ) e ? x1 ? x2 ? x1 ? 0 ,由上可知 f ( x) ? 在 (0, e) 上单调递增, x

x ln(x1 ? x2 ) 所以 ln( x1 ? x2 ) ? ln x1 ,即 1 ? ln x1 , x ? x 1 2 x1 ? x2 x1
同理

??????10 分

x2 ln(x1 ? x2 ) ? ln x2 ,两式相加得 ln(x1 ? x2 ) ? ln x1 ? ln x2 ? ln(x1 x2 ) , x1 ? x2
--------------------------12 分

所以 x1 ? x2 ? x1 x2 .


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