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第二讲点线面之间的位置关系习题


第二讲

点、直线、平面之间的位置关系

2.已知直线 a,b 和平面 α,且 a⊥b,a⊥α,则 b 与 α 的位置关系为( ) A.b?α B.b∥α C.b?α 或 b∥α D.b 与 α 相交 【解析】 由 a⊥b,a⊥α 知 b?α 或 b∥α,但直线 b 不与 α 相交. 【答案】 C 5.(2013· 浙江高考)设 m,n 是两条不同的直线,α,β 是两个不同的平面( ) A.若 m∥α,n∥α,则 m∥n B.若 m∥α,m∥β,则 α∥β C.若 m∥n,m⊥α,则 n⊥α D.若 m∥α,α⊥β,则 m⊥β 【解析】 A 项,当 m∥α,n∥α 时,m,n 可能平行,可能相交,也可能异面,故错误;B 项,当 m∥α,m∥β 时,α,β 可能平行也可能相交,故错误;C 项,当 m∥n,m⊥α 时,n⊥α,故正确;D 项,当 m∥α,α⊥β 时,m 可能与 β 平行,可能在 β 内,也可能与 β 相交,故错误.故选 C. 【答案】 C (2011 山东)19.(本小题满分 12 分) 如图,在四棱台 ABCD ? A1B1C1D1 中, D1 D ? 平面 ABCD ,底面 ABCD 是平行四边形, AB=2AD , AD=A1B1 ,

?BAD= 60°
(Ⅰ)证明: AA1 ? BD ; (Ⅱ)证明: CC1∥平面A1BD . 【解析】 (Ⅰ) 证明: 因为 AB=2AD , 所以设 AD=a, 又因为 ?BAD= 60°, 所以在 ?ABD 中, 由余弦定理得: BD ? (2a) ? a ? 2a ? 2a ? cos60 ? 3a ,
2 2 2 2

则 AB=2a,

所以 BD= 3a ,所以 AD ? BD ? AB ,故 BD⊥AD,
2 2 2

又因为 D1 D ? 平面 ABCD ,所以 D1 D ? BD, 又因为 AD ? D1D ? D , 所以 BD ? 平面 ADD1 A1 , 故 AA1 ? BD . (2)连结 AC, A1C1,设 AC

BD ? E ,

连接 EA1,因为四边形 ABCD 为平行四边形,

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所以 EC ?

1 AC 2

由棱台定义及 AB=2AD=2A1B1 知 CC1∥EA1, 又因为 EA1 ? 平面 A1BD,CC1 ? 平面 A1BD, 所以 CC1∥平面A1BD .

(2012 山东)(19) (本小题满分 12 分) 如图,几何体 E ? ABCD 是四棱锥,△ ABD 为正三角形, (Ⅰ)求证: BE ? DE ; (Ⅱ)若∠ BCD ? 120? ,M 为线段 AE 的中点, 求证: DM ∥平面 BEC . 【答案】(19)(I)设 BD 中点为 O,连接 OC,OE,则由 BC ? CD 知 , CO ? BD , 又已知 CE ? BD ,所以 BD ? 平面 OCE. 所以 BD ? OE ,即 OE 是 BD 的垂直平分线, 所以 BE ? DE . (II)取 AB 中点 N,连接 MN , DN , ∵M 是 AE 的中点,∴ MN ∥ BE , ∵△ ABD 是等边三角形,∴ DN ? AB . 由∠BCD=120°知,∠CBD=30°,所以∠ABC=60°+30°=90°,即 BC ? AB , 所以 ND∥BC, 所以平面 MND∥平面 BEC,故 DM∥平面 BEC. (2013· 陕西高考)如图 7-4-4,四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形,O 是底面中心,A1O⊥底面 ABCD,AB=AA1= 2.
CB ? CD, EC ? BD .

图 7-4-4 (1)证明:平面 A1BD∥平面 CD1B1; (2)求三棱柱 ABD-A1B1D1 的体积. 【思路点拨】 在一个平面内确定两条相交直线分别平行于另一个平面;高已确定,关键在于求底面积. 【尝试解答】 (1)证明 由题设知,BB1 綊 DD1, ∴四边形 BB1D1D 是平行四边形,∴BD∥B1D1. 又 BD? 平面 CD1B1,∴BD∥平面 CD1B1. ∵A1D1 綊 B1C1 綊 BC,∴四边形 A1BCD1 是平行四边形, ∴A1B∥D1C. 又 A1B? 平面 CD1B1,∴A1B∥平面 CD1B1. 又 BD∩A1B=B,∴平面 A1BD∥平面 CD1B1.
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(2)∵A1O⊥平面 ABCD, ∴A1O 是三棱柱 ABD-A1B1D1 的高. 1 2 又 AO= AC=1,AA1= 2,∴A1O= AA2 1-OA =1. 2 1 又 S△ABD= × 2× 2=1, 2 ∴V 三棱柱 ABD-A1B1D1=S△ABD· A1O=1. 规律方法2 判定面面平行的方法 ?1?利用定义:?常用反证法? ?2?利用面面平行的判定定理; ?3?利用垂直于同一条直线的两平面平行; ?4?利用平面平行的传递性,即两个平面同时平行于第三个平面,则这两个平面平行. (2013· 北京高考)

图 7-5-3 如图 7-5-3,在四棱锥 PABCD 中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面 PAD⊥底面 ABCD,PA⊥AD,E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点.求证: (1)PA⊥底面 ABCD; (2)BE∥平面 PAD; (3)平面 BEF⊥平面 PCD. 【思路点拨】 根据面面垂直的性质证明线面垂直,根据线面平行的判定证明线面平行,根据线面垂直的性质 证明面面垂直. 【尝试解答】 (1)因为平面 PAD⊥底面 ABCD,且 PA 垂直于这两个平面的交线 AD,所以 PA⊥底面 ABCD. (2)因为 AB∥CD,CD=2AB,E 为 CD 的中点,

所以 AB∥DE,且 AB=DE. 所以四边形 ABED 为平行四边形. 所以 BE∥AD. 又因为 BE?平面 PAD,AD?平面 PAD, 所以 BE∥平面 PAD. (3)因为 AB⊥AD,而且四边形 ABED 为平行四边形, 所以 BE⊥CD,AD⊥CD. 由(1)知 PA⊥底面 ABCD, 所以 PA⊥CD. 所以 CD⊥平面 PAD. 所以 CD⊥PD. 因为 E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点, 所以 PD∥EF.所以 CD⊥EF. 又因为 CD⊥BE,EF∩BE=E, 所以 CD⊥平面 BEF.
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所以平面 BEF⊥平面 PCD. 规律方法 2 1.证明面面垂直常用面面垂直的判定定理或定义法?即证两平面形成的二面角为直角?. 2.面面垂直的性质是用来推证线面垂直的重要依据,其核心是其中一个面内的直线与交线垂直.在其中一个面内 作交线的垂线,这是常作的辅助线. 3.空间的直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直或平行问题常常互相转化,将空间问题化归为平面问题是 处理立体几何问题的重要思想.

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