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福建省漳州八校2016届高三第二次(2月)联考试卷 数学理


2016 届漳州八校第二次联考高三数学(理)试卷 命题人: 审题人:高三备课组
一、 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求。 ) (D) ? 1 ? i ) D. ?

1.设复数 z 的共轭复数为 z ,若 ?1 ? i ?z ? 2i ,则复数 z=( (A) i (B) ? i (C)

? 1 ? i

2.已知全集 U ? R , A ? ?y | y ? 2 x ? 1?, B ? ?x | ln x ? 0? ,则 A ? B ? ( A. {x |

1 ? x ? 1} 2

B. {x | 0 ? x ? 1}

C.

{x | x ? 1}

3、已知 x 与 y 之间的一组数据:

x y

0

1 3

2 5.5

3 7 )

m

? =2.1 x +0.85,则 m 的值为( 已求得关于 y 与 x 的线性回归方程为 y
(A) 1 (B) 0.85 (C) 0.7 4、一几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( (D) 0.5 )

A.20

B.24

C.16

D. 16 ?

3 10 2


5.设函数 f ( x) ? ?

?3 x ? b, x ? 1 5 ,若 f ( f ( )) ? 4 ,则 b ? ( x 6 ? 2 , x ?1

A. 1

B.

7 8

C.

3 4

D.

1 2

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6.若 ? ? , 3 cos 2? ? sin( ( ,?) A.

?

?
4

2 17 ? 18

? ? ) ,则 sin 2? 的值为(
C.



B.

17 18

?

1 18

D.

1 18

7.若无重复数字的三位数满足条件:①个位数字与十位数字之和为奇数,②所有位的数 字和为偶数。则这样的三位数的个数是( ) A.540 B.480 C.360 D.200
8.有以下命题:①命题“ ?x ? R, x 2 ? x ? 2 ? 0 ”的否定是: “ ?x ? R, x 2 ? x ? 2 ? 0 ” ; ②已知随机变量 ? 服从正态分布 N (2, ? 2 ) , P (? ? 4) ? 0.79, 则 P (? ? ?2) ? 0.21 ; ③函数 f ( x) ? x ? ( ) 的零点在区间 ( , ) 内;其中正确的命题的个数为(
x 1 3

1 2

1 1 3 2



A.3 个

B.2 个

C.1 个

D.0 个

9、在 ?ABC 中, O 为中线 AM 上一个动点,若 AM ? 2 ,则 OA ? (OB ? OC ) 的最小值 是( ) A.2 B.-1 C.-2 D.-4

??? ? ??? ?

????

10. 已知等差数列 ?an ?的等差 d ? 0 , 且 a1 , a3 , a13 成等比数列, 若 a1 ? 1 ,S n 为数列 ?an ?

的前 n 项和,则

2 S n ? 16 的最小值为( an ? 3
B. 3



A. 4 D.

C. 2 3?2

9 2

11. 椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,作直线 l 交椭圆于 P,Q 两点,M 为线段 PQ 的中点, a2 b2
2 .则椭圆的离心 3

O 为坐标原点,设直线 l 的斜率为 k1 ,直线 OM 的斜率为 k 2 , k1k 2 ? ? 率为( ) A.

2 2

B.

1 3

C.

3 3

D.

6 3

12. 设 函 数 f ' ? x ? 是 函 数 f ? x ?? x ? R ? 的 导 函 数 , f ?0 ? ? 1 , 且 3 f ? x ? ? f ' ? x ? ? 3 , 则

4 f ? x ?>f ' ? x ?
的解集为( )
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(A) ?

? ln 4 ? , ? ?? ? 3 ?

(B) ?

? ln 2 ? , ? ?? ? 3 ?

(C) ?

? 3 ? ? , ? ? ? 2 ? ? ?

(D)

? e ? ? ? , ? ? ? 2 ? ? ?
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分

? a? 13.已知 a ? ? sin xdx ,则二项式 ?1 ? ? 的展开式中 x ?3 的系数为 0 ? x?

?

5



?0 ? x ? 3 ? 14.点 M(x,y)是不等式组 ? y ? 3 表示的平面区域 Ω 内的一动点,且不等式 2x ? ?x ? 3y
﹣y+m≥0 总成立,则 m 的取值范围是
15. .A,B,C,D 四点在半径为

5 2 的球面上,且 AC=BD=5,AD=BC= 41 ,AB=CD, 2

则三棱锥 D-ABC 的体积是______. 16、对于问题:“已知关于 x 的不等式 ax 2 ? bx ? c ? 0 的解集为 (?1 , 2) ,解关于 x 的不等 式 ax 2 ? bx ? c ? 0 ”,给出如下一种解法: 解:由 ax 2 ? bx ? c ? 0 的解集为 (?1 , 2) ,得 a (? x) ? b(? x) ? c ? 0 的解集为 (?2 , 1) ,
2

即关于 x 的不等式 ax 2 ? bx ? c ? 0 的解集为 (?2 , 1) . 参考上述解法,若关于 x 的不等式 不等式

kx bx ? 1 ? ? 0 的解集为____________. ax ? 1 cx ? 1 三、解答题:(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤)
17.在 ?ABC 中, A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 函数

k x?b ,则关于 x 的 ( - 3, -1 ) ? (1, 2) ? ? 0 的解集为 x?a x?c

f ( x) ? 2 cos x sin( x ? A) ? sin A( x ? R) 在 x ?
(1)当 x ? (0,

?
2

5 处取得最大值. 12

) 时,求函数 f ( x) 的值域;

(2)若 a ? 7 且 sin B ? sin C ?

13 3 ,求 ?ABC 的面积. 14

18. 某校要用三辆汽车从新校区把教职工接到老校区,已知从新校区到老校区有两条公路, 汽车走公路①堵车的概率为

1 3 ,不堵车的概率为 ;汽车走公路②堵车的概率为 p ,不 4 4

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堵车的概率为 1 ? p .若甲、乙两辆汽车走公路①,丙汽车由于其他原因走公路②,且三 辆车是否堵车相互之间没有影响.

7 ,求走公路②堵车的概率; 16 (Ⅱ)在(1)的条件下,求三辆汽车中被堵车辆的个数 ? 的分布列和数学期望.
(Ⅰ)若三辆汽车中恰有一辆汽车被堵的概率为

19. 如图,已知直角梯形 ACDE 所在的平面垂直于平面 ABC , ?BAC ? ?ACD ? 90? , ?EAC ? 60? , AB ? AC ? AE . (Ⅰ)若 P 为直线 BC 上的中点,求证: DP / / 平面 EAB (Ⅱ)求平面 EBD 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值.

20.如图,已知椭圆 C :

x2 ? y 2 ? 1(a ? 1) 的上顶点为 A ,右焦点为 F ,直线 AF 与圆 a2 y M : x 2 ? y 2 ? 6 x ? 2 y ? 7 ? 0 相切. A l Q (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; O x F (Ⅱ)若不过点 A 的动直线 l 与椭圆 C 相 ??? ? ???? 交于 P 、 Q 两点,且 AP ? AQ ? 0, 求证:直 P

线 l 过定点,并求出该定点 N 的坐标.

21. 已知函数 f(x)=

1 2 x -ax+(a-1) ln x , a ? 1 。 2

(1)讨论函数 f ( x) 的单调性; (2)证明:若 a ? 5 ,则对任意 x 1 ,x 2 ? (0, ??) ,x 1 ? x 2 ,有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ?1 。 x1 ? x2

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请考生从 22、23 两题任选 1 个小题作答,满分 10 分.如果多做,则按所做的第 一题记分.作答时,先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将 所选题号填入括号中.
22.选修 4 ? 4; 坐标系与参数方程 已知直线 l : ?

? x ? m ? t cos ? , ? x ? 2 cos ? ( t 为参数)经过椭圆 C : ? ( ? 为参数)的左焦 ? y ? t sin ? ? y ? 3 sin ?

点 F. (1)求 m 的值; (2)设直线 l 与椭圆 C 交于 A 、 B 两点,求 FA ? FB 的最大值和最小值. 23.选修 4 ? 5 : 不等式讲 已知函数 f ( x) ? log 2 ( 2 x ? 1 ? x ? 2 ? a ) (1)当 a ? 4 时,求函数 f ( x) 的定义域; (2)若对任意的 x ? R ,都有 f ( x) ? 2 成立,求实数 a 的取值范围.

五地八校联考高三数学(理)试卷参考答案
一、选择题 题号 1 答案 D 二、填空题 13. 2 B 3 D 4 A 5 D 6 A 7 D 8 B 9 C 10 A 11 C 12 B

?80

14.

?3, ?? ?

15.

20

16.

1 1 (?1, ? ) ? ( ,1) 3 2

三、解答题 17. (1) f ? x ? ? 2 cos x sin( x ? A) ? sin A ? 2 cos x sin( x ? A) ? sin?x ? ( x ? A)?

? 2 cos x sin( x ? A) ? sin x cos( x ? A) ? cos x sin( x ? A) ? sin x cos( x ? A) ? cos x sin( x ? A)

? sin ?2 x ? A?
因为函数在 x ?

5? 5? ? ? 处取得最大值,所以 2 ? ? A ? ,得 A ? 12 12 2 3
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所以 f ? x ? ? sin ? 2 x ?

? ?

??
? 3?

因为 x ? (0,

?

? 3 ? ? ? ? ? 2? ? ? ) ,所以 ? 2 x ? ? ? ? ? , ? ? ,则函数值域为 ? ? 2 ,1? 2 3? ? 3 3 ? ? ? ?

(2)因为

a b c 7 14 ? ? ? ? sin A sin B sin C 3 3 2
3b 3c 3b 3c 13 3 ,则 sin B ? sin C ? , sin C ? ? ? 14 14 14 14 14

所以 sin B ?

所以 b ? c ? 13 由余弦定理得 b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? a 2 所以 ?b ? c ? ? 2bc?1 ? cos A? ? a 2 ,又因为 b ? c ? 13 , a ? 7 ,所以 bc ? 40
2

则面积 ?

1 bc cos A ? 10 3 . 2
2

18. 解: (1)由已知条件得

1 3 7 ?3? C ? ? ? (1 ? p ) ? ? ? ? p ? 4 4 16 ?4? 1 即 3 p ? 1 ,则 p ? 3 1 答: p 的值为 . 3 (2)解: ? 可能的取值为 0,1,2,3 3 3 2 3 P(? ? 0) ? ? ? ? 4 4 3 8 7 P(? ? 1) ? 16 1 1 2 1 1 1 3 1 P(? ? 2) ? ? ? ? C2 ? ? ? ? 4 4 3 4 4 3 6 1 1 1 1 P(? ? 3) ? ? ? ? 4 4 3 48 ? 的分布列为:
1 2

?

0

1

2

3

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P

3 8

7 16

1 6

1 48

所以 E? ? 0 ? ? 1 ? 答:数学期望为

3 8

7 1 1 5 ? 2 ? ? 3? ? 16 6 48 6
E D

5 . 6

19. 解:(Ⅰ)取 AB 的中点 F 连结 DP、FP、EF ,

FP / / AC , FP ?

1 AC 2

取 AC 的中点 M ,连结 EM 、EC , ∵ AE ? AC 且 ?EAC ? 60? , ∴ ?EAC 是正三角形,∴ EM ? AC . ∴四边形 EMCD 为矩形,

M A

C

P F ∴ 又∵ ED / / AC , B ∴ ED / / FP 且 ED ? FP ,四边形 EFPD 是平行 四边 形. ∴ DP / / EF ,而 EF ? 平面 EAB , DP ? 平面 EAB ,∴ DP / / 平面 EAB .
(Ⅱ) (法 1)过 B 作 AC 的平行线 l ,过 C 作 l 的垂线交 l 于 G ,连结 DG ,∵ ED / / AC , E D ∴ ED / / l , l 是平面 EBD 与平面 ABC 所成二面角的棱. ∵平面 EAC ? 平面 ABC , DC ? AC ,∴ DC ? 平面 ABC , 又∵ l ? 平面 ABC , ? DC ? l ,∴ l ? 平面 DGC ,∴ l ? DG , ∴ ?DGC 是所求二面角的平面角. 设 AB ? AC ? AE ? 2a ,则 CD ? 3a, GC ? 2a , ∴ GD ? GC ? CD ?
2 2

ED ? MC ?

1 AC 2

M A
F P

7a ,

C

∴ cos ? ? cos ?DGC ? GC ? 2 7

GD

7

B

G

(法 2)∵ ?BAC ? 90? ,平面 EACD ? 平面 ABC , ∴以点 A 为原点,直线 AB 为 x 轴,直线 AC 为 y 轴,建立空间直角坐标系 A ? xyz , 则 z 轴在平面 EACD 内(如图) . 设 AB ? AC ? AE ? 2a ,由已知,得 B (2a, 0, 0), E (0, a, 3a), D(0, 2a, 3a) . ∴ EB ? (2a, ? a, ? 3a ), ED ? (0, a, 0) , 设平面 EBD 的法向量为 n ? ( x, y, z ) , 则 n ? EB 且 n ? ED ,

??? ?
?

??? ?

?

z

E

D

??? ?

?

??? ?

M A

C

y

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x
B

F

P

? ??? ? ? ?2ax ? ay ? 3az ? 0 ?n ? EB ? 0 ? ? ? ? ??? ? ?? ? ?ay ? 0 ?n ? ED ? 0 ?
? 3 z ?x ? 2 解之得 ? ?y ? 0 ?
取 z ? 2 ,得平面 EBD 的一个法向量为 n ? ( 3, 0, 2) .

?

?? ' n 又∵平面 ABC 的一个法向量为 ? (0, 0,1) . ? ?? 3 ? 0 ? 0 ? 0 ? 2 ?1 2 7 cos ? ? cos ? n, n ' ? ? ? 7 ( 3) 2 ? 02 ? 22 ? 02 ? 02 ? 12 .
2 2

20. . 解 :( Ⅰ ) 将 圆 M 的 一 般 方 程 x ? y ? 6 x ? 2 y ? 7 ? 0 化 为 标 准 方 程

( x ? 3) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 3 ,
圆 M 的圆心为 M (3,1) ,半径 r ? 由 A(0,1) , F (c, 0)(c ?

3.

x a 2 ? 1) 得直线 AF : ? y ? 1 ,即 x ? cy ? c ? 0 , c 3? c ?c 由直线 AF 与圆 M 相切,得 ? 3, c2 ? 1 c ? 2 或 c ? ? 2 (舍去). x2 2 2 当 c ? 2 时, a ? c ? 1 ? 3 , 故椭圆 C 的方程为 C : ? y 2 ? 1. 3 ??? ? ???? (Ⅱ)(解法一)由 AP ? AQ ? 0, 知 AP ? AQ ,从而直线 AP 与坐标轴不垂直, 1 由 A(0,1) 可设直线 AP 的方程为 y ? kx ? 1 ,直线 AQ 的方程为 y ? ? x ? 1(k ? 0) k 2 x 将 y ? kx ? 1 代入椭圆 C 的方程 ? y 2 ? 1 并整理得: (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 6kx ? 0 , 3
解 得 x?0 或 x??

6k 6k 2 6k , 因 此 的 坐 标 为 ( ? , ? ? 1) , 即 P 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2

(?

6k 1 ? 3k 2 , ) 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2

6k k 2 ? 3 1 , ). 将上式中的 k 换成 ? ,得 Q ( 2 k ? 3 k2 ? 3 k
k 2 ? 3 1 ? 3k 2 ? 2 2 k ? 3 1 ? 3k 2 ( x ? 6k ) ? k ? 3 直线 l 的方程为 y ? 6k 6k k2 ? 3 k2 ? 3 ? k 2 ? 3 1 ? 3k 2
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化简得直线 l 的方程为 y ?

k 2 ?1 1 x? , 4k 2

因此直线 l 过定点 N (0, ? ) . ( 解 法 二 ) 1? 若 直 线 l 存 在 斜 率 , 则 可 设 直 线 l 的 方 程 为 : y ? kx ? m( ? A(0,1) ? l ,? m ? 1) ,

1 2

x2 ? y 2 ? 1 并整理得: (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 6mkx ? 3(m 2 ? 1) ? 0 , 3 由 l 与椭圆 C 相交于 P ( x1 , kx1 ? m) 、 Q ( x2 , kx2 ? m) 两点,则 x1 , x2 是上述关于 x 的方程两
代入椭圆 C 的方程 个不相等的实数解,从而 ? ? (6mk ) 2 ? 4(1 ? 3k 2 ) ? 3( m 2 ? 1) ? 12(3k 2 ? 1 ? m 2 ) ? 0

6mk 3(m 2 ? 1) x1 ? x2 ? ? , x x ? 1 2 2 1 ? 3k 2 ??? ? ???? 1 ? 3k 由 AP ? AQ ? 0, 得 x1 x2 ? (kx1 ? m ? 1)(kx2 ? m ? 1) ? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? k (m ? 1)( x1 ? x2 ) ? (m ? 1) 2 ? 0 , (1 ? k 2 ) ? 3(m 2 ? 1) 6mk ? k (m ? 1) ? (? ) ? (m ? 1) 2 ? 0 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2
1 . 2

整理得: 2m 2 ? m ? 1 ? 0, (2m ? 1)(m ? 1) ? 0, 由 m ? 1 知 m ? ? 此时 ? ? 9(4k 2 ? 1) ? 0 , 因此直线 l 过定点 N (0, ? ) .

1 2 2? 若直线 l 不存在斜率,则可设直线 l 的方程为: x ? m (? A(0,1) ? l ,? m ? 0) ,

x2 m2 2 2 将 x ? m 代入椭圆 C 的方程 , ? y ? 1 并整理得: y ? 1 ? 3 3 2 当 m 2 ? 3 时, y ? 0 ,直线 l 与椭圆 C 不相交于两点,这与直线 l 与椭圆 C 相交于 P 、 Q 两
点产生矛盾! 当 0 ? m 2 ? 3 时, 直线 l 与椭圆 C 相交于 P (m, y1 ) 、Q (m, y2 ) 两点, y1 , y2 是关于 y 的方程

m2 m2 的两个不相等实数解,从而 y1 ? y2 ? 0, y1 y2 ? ? 1. 3 3 ??? ? ???? ??? ? ???? 4 但 AP ? AQ ? m 2 ? ( y1 ? 1)( y2 ? 1) ? m 2 ? 0 ,这与 AP ? AQ ? 0 产生矛盾! 3 1 因此直线 l 过定点 N (0, ? ) . 2 注:对直线 l 不存在斜率的情形,可不做证明. y2 ? 1?

21 解:(1) f ( x) 的定义域为 (0, ??) 。

f ' ( x) ? x ? a ?

a ? 1 x 2 ? ax ? a ? 1 ( x ? 1)( x ? 1 ? a ) ? ? x x x
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(i)若 a ? 1 ? 1 即 a ? 2 ,则 f ( x) ?
'

( x ? 1) 2 故 f ( x) 在 (0, ??) 单调增加。 x

(ii)若 a ? 1 ? 1 ,而 a ? 1 ,故 1 ? a ? 2 ,则当 x ? (a ? 1,1) 时, f ' ( x) ? 0 ; 当 x ? (0, a ? 1) 及 x ? (1, ??) 时, f ' ( x) ? 0 故 f ( x) 在 (a ? 1,1) 单调减少,在 (0, a ? 1), (1, ??) 单调增加。 (iii)若 a ? 1 ? 1 ,即 a ? 2 ,同理可得 f ( x) 在 (1, a ? 1) 单调减少,在 (0,1), ( a ? 1, ??) 单调增加. (II)考虑函数 g ( x) ? f ( x) ? x

?

1 2 x ? ax ? (a ? 1) ln x ? x 2

则 g ?( x) ? x ? (a ? 1) ?

a ?1 a ?1 ? 2 xg ? (a ? 1) ? 1 ? ( a ? 1 ? 1) 2 x x

由 于 1<a<5, 故 g ?( x) ? 0 , 即 g(x) 在 (0, + ∞ ) 单 调 增 加 , 从 而 当 x1 ? x2 ? 0 时 有

g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ? x2 ? 0 ,故
f ( x1 ) ? f ( x2 ) f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ? ?1 x1 ? x2 x2 ? x1

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ?1 ,当 0 ? x1 ? x2 x1 ? x2

时,有

22. (1)将椭圆 C 的参数方程化为普通方程,得: 所以 a ? 2, b ? 3 , c ? 1 ,则点 F 的坐标为 ?? 1,0 ?

x2 y 2 ? ?1 4 3

l 是经过点 ?m,0 ? 的直线,故 m ? ?1
(2)将 l 的参数方程代入椭圆 C 的普通方程,并整理,得

?3 cos

2

? ? 4 sin 2 ? ?t 2 ? 6t cos ? ? 9 ? 0

设点 A, B 在直线参数方程中对应的参数分别为 t1 , t 2 则 FA ? FB ? t1t 2 ?

9 9 ? 2 3 cos ? ? 4 sin ? 3 ? sin 2 ?
2

当 sin ? ? 0 , FA ? FB 取最大值 3

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当 sin ? ? ?1 时, FA ? FB 取最小值

9 . 4

23. (1)由题意得 f ? x ? ? log 2 2 x ? 1 ? x ? 2 ? 4 , 则 2x ?1 ? x ? 2 ? 4 ? 0 当 x ? ?2 时, ? ?2 x ? 1? ? ? x ? 2 ? ? 4 ? 0,? x ? ? 当?2 ? x ?

?

?

5 ,即 x ? ?2 3

1 时, ? ?2 x ? 1? ? ? x ? 2 ? ? 4 ? 0 , 2 ∴ x ? ?1 ,即 ? 2 ? x ? ?1 1 当 x ? 时, ?2 x ? 1? ? ? x ? 2 ? ? 4 ? 0 ,∴ x ? 1 ,即 x ? 1 2
综上所述,函数 f ? x ? 的定义域为 x | x ? ?1或x ? 1

?

?

(2)由题意得 log 2 2 x ? 1 ? x ? 2 ? a ? 2 ? log 2 4 恒成立 即 2x ?1 ? x ? 2 ? a ? 4 ∴ 2 x ? 1 ? x ? 2 ? 4 ? a 恒成立 令 g ?x ? ? 2 x ? 1 ? x ? 2 ? 4

?

?

? ? ? 3 x ? 5, x ? ?2 ? 1 ? 则 g ? x ? ? ?? x ? 1,?2 ? x ? 2 ? 1 ? 3 x ? 3, x ? ? 2 ?
所以 g ? x ?min ? ?

3 3 ,故 a ? ? 2 2

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