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数列专题复习 第一讲 数列概念 等差数列 学案


第一讲 数列的概念、等差数列 学案
一、数列的概念与简单表示法 【知识梳理】 1.数列的定义按照一定顺序排列着的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项。 2.数列的分类 分类原则 按项数分类 无穷数列 递增数列 按项与项间的大小关系分类 递减数列 常数列 有界数列 按其他标准分类 摆动数列 3.数列的表示法: 数列有三种表示法,它们分别是列表法、图象法和解析法。 注:数列可以看作一个函数,其定义域是正整数集 N (或它的有限子集{1,2,3,……,n}),可表示为:
?

类型 有穷数列

满足条件 项数有限 项数无限

an?1 ? an
其中

an?1 ? an an?1 ? an
存在正数 M,使 an ? M

n? N?

an 的符号正负相间,如 1,-1,1,-1,……

an ? f (n) 。
4.数列的通项公式 如果数列{ an }的第 n 项 an 与序号 n 之间的关系可以用一个公式 an ? f (n) 来表示,那么这个公式叫做这 个数列的通项公式。 注 : 数 列 的 通 项 公 式 不 唯 一 , 如 数 列 -1 , 1 , -1 , 1 , … … 通 项 公 式 可 以 为 an ? (?1)n 或

??1 (n为奇数) ,有的数列没有通项公式。 an ? ? ?1 (n为偶数)
5.数列与函数的内在联系 从映射、函数的观点看,数列可以看作是一个定义域为正整数集 (或它的有限子集

)的函数,即当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值,而数列的通项公式也就 是相应函数的解析式。

6.递推公式 如果已知数列 的第 1 项(或前几项) ,且从第二项(或某一项)开始的任一项 与它的前一项

(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。 【题型梳理】 (一)由数列的前几项求数列的通项公式 ※相关链接※ 数列的通项公式: (1)据所给数列的前几项求其通项公式时,需仔细观察观察分析,抓住以下几方面的特征: ①分式中分子、分母的特征; ②相邻项的变化特征; ③拆项后的特征; ④各项符号特征等,并对此进行归纳、联想。 (2)观察、分析问题的特点是最重要的,观察要有目的,观察出项与项数之间的关系、规律,利用我们 熟知的一些基本数列(如自然数列、奇偶数列等)转换而使问题得到解决。 (3)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法,它蕴含着从特殊到一般的思想,由不 完全归纳提出的结果是不可靠的,要注意代值检验,对于正负符号变化,可用 (?1) n 或 (?1)n?1 来调整。 ※例题解析※ 〖例 1〗写出下列各数列的一个通项公式:

1 3 7 15 31 (1)4, 6,8,10,? (2) , , , , ,? 2 4 8 16 32 2 10 17 26 37 (3) , ?1, , ? , , ? ,? 3 7 9 11 13 (4)3,33,333,3333,?

(二)由递推公式求数列通项公式 ※相关链接※ 1.由 a1 和递推关系求通项公式,可观察其特点,一般常利用化归法、累加法、累乘法等。

(1)构造等比数列,已知首项 a1 ,递推关系为 an?1 ? qan ? b(n ? N ? ) ,求数列 ?an ? 的通项公式的关键是 将 an?1 ? qan ? b 转 化 为 an?1 ? a ? q(an ? a) 的 形 式 , 其 中 a 的 值 可 由 待 定 系 数 法 确 定 , 即

b a ? a? ( q? ) . 1 q ?1 (2) 已知 a1 且 an ? an?1 ? f (n)(n ? 2), 可以用累加法, an ? an?1 ? f (n), ,an?1 ? an?2 ? f (n ?1) , 即 ……, q a ? b? a1 ? q na ? ( n n ? q) 1 ?

a3 ? a2 ? f (3) , a2 ? a1 ? f (2) 。
所有等式左右两边分别相加,得:

(an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ?? (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1 ) ? f (n) ? f (n ?1) ? ?? f (3) ? f (2), 即: an ? a1 ? f (2) ? f (3) ? ? ? f (n ?1) ? f (n). a a a a (3)已知 a1 且 n ? f (n)(n ? 2), 可以用累乘法,即 n ? f (n) , n ?1 ? f (n ? 1) ,……, 3 ? f (3) , an?1 a2 an?1 an?2 a2 ? f (2) ,所有等式左右两边分别相乘,得: an ?an ?1 ? a3 ?a2 ? f (2)?f (3)? f (n ? 1)?f (n), ?? ?? a1 a a a a
n ?1 n?2 2 1

即an ? a1 ?f (2)?f (3)? f (n ? 1)?f (n). ??
注:并不是每一个数列都有通项公式,如果一个数列有通项公式,那么它的通项公式在形式上也可以不止 一个。 2.由 an 与 Sn 的关系求 an 由 Sn 求 an 时,要分 n=1 和 n≥2 两种情况讨论,然后验证两种情况可否用统一的解析式表示,若不能, 则用分段函数的形式表示为 an ? ? ※例题解析※ 〖例 2〗(1)在数列{an}中,a1=1,an+1=(1+

(n ? 1) ? S1 。 ? Sn ? Sn?1 (n ? 2)
a 1 n ?1 )an+ n , b n ? n , 设 求数列{bn}的通项公式; n n 2

(2)已知数列{an}中,a1=1,an+1=(n+1)an,求数列{an}的通项公式.

(三)数列的单调性及其应用 〖例 3〗 已知数列的前 n 项和为 Sn ,并且满足 a1 ? 2, nan?1 ? Sn ? n(n ? 1). (1)求{ an }的通项公式; (2)令 Tn ? ( ) S n ,问是否存在正整数 m,对一切正整数 n,总有 Tn ? Tm ,若存在,求 m 的值;若不存
n

4 5

在,说明理由。

二、等差数列及其前 n 项和 【知识梳理】 1.等差数列的定义 如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列。 这个常数叫做等差数列的公差,通常用 d 表示,其符号语言为: an ? an?1 ? d (n ? 2, d为常数) 2.等差数列的通项公式 若等差数列{ an }的首项为 a1 ,公差是 d,则其通项公式为 an ? a1 ? (n ?1)d 。 注:已知等差数列{ an }的第 m 项为 am ,公差为 d,则其第 n 项 an 可以表示为: an ? am ? (n ? m)d 。 3.等差中项 如果三个数 a,A,b 成等差数列,则 A 叫做 a 和 b 的等差中项,且有 A ? 4.等差数列的前 n 项和公式: S n ?

n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d. 2 2

a?b 。 2

【题型梳理】 (一)等差数列的基本运算 ※相关链接※ 1.等差数列的通项公式 an = a1 +(n-1)d 及前 n 项和公式 S n ?

n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d ,共涉及五个 2 2

量 a1 , an ,d,n, Sn ,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想解决问题; 2.数列的通项公式和前 n 项和公式在解题中起到变量代换作用,而 a1 和 d 是等差数列的两个基本量,用 它们表示已知和未知是常用方法。 注:因为

Sn d S d d ? n ? a1 ? ? a1 ? (n ? 1) ,故数列{ n }是等差数列。 n 2 2 2 n

※例题解析※ 〖例 1〗已知数列{ xn }的首项 x1 =3,通项 xn ? 2n p ? nq(n ? N ? , p, q为常数) ,且 x1 , x4 , x5 成等差数 列。求: (1) p, q 的值; (2)数列{ xn }的前 n 项和 Sn 的公式。

(二)等差数列的判定 ※相关链接※ 1.等差数列的判定通常有两种方法: 第一种是利用定义, an ? an?1 ? d (常数)(n ? 2) ,第二种是利用等差中项,即 2an ? an?1 ? an?1 (n ? 2) 。 2.解选择题、填空题时,亦可用通项或前 n 项和直接判断。 (1)通项法:若数列{ an }的通项公式为 n 的一次函数,即 an =An+B,则{ an }是等差数列; (2)前 n 项和法:若数列{ an }的前 n 项和 Sn 是 Sn ? An2 ? Bn 的形式(A,B 是常数),则{ an }是等差 数列。 注:若判断一个数列不是等差数列,则只需说明任意连续三项不是等差数列即可。

※例题解析※ 〖例 2〗已知数列{ an }的前 n 项和为 Sn ,且满足 S n ? S n ?1 ? 2S n ?S n ?1 ? 0(n ? 2), a1 ? (1)求证:{

1 2

1 }是等差数列;(2)求 an 的表达式。 Sn

(三)等差数列的性质 ※相关链接※ 1.等差数列的单调性: 等差数列公差为 d,若 d>0,则数列递增;若 d<0,则数列递减;若 d=0,则数列为常数列。 2.等差数列的简单性质: 已知数列{ an }是等差数列, Sn 是其前 n 项和。 (1)若 m+n=p+q,则 am ? an ? ap ? aq ,特别:若 m+n=2p,则 am ? an ? 2a p 。 (2) am , am?k , am?2k , am?3k ,?仍是等差数列,公差为 kd; (3)数列 Sm , S2m - Sm , S3m - S2m ,L 也是等差数列; (4) Sn?1 ? (2n ? 1)an ; (5)若 n 为偶数,则 S偶 ? S


?

n d ;若 n 为奇数,则 S偶 ? S 奇 ? a中 ; (中间项) 2

(6)数列 {cg n }, {c + an }, {pan + qbn }也是等差数列,其中 c、p、q 均为常数,是 {bn }等差数列。 a 3.等差数列的最值: 若 {an }是等差数列,求前 n 项和的最值时, (1)若 a1>0,d>0,且满足 ?

? an ? 0 ,前 n 项和 Sn 最大; ? an ?1 ? 0 ? an ? 0 ,前 n 项和 Sn 最小; ? an ?1 ? 0

(2)若 a1<0,d>0,且满足 ?

(3)除上面方法外,还可将 {an }的前 n 项和的最值问题看作 Sn 关于 n 的二次函数最值问题,利用二次函 数的图象或配方法求解,注意 n ? N 。
?

※例题解析※ 〖例 3〗已知在等差数列{an}中,a1=31,Sn 是它的前 n 项和,S10=S22,(1)求 Sn;(2)这个数列的前多少 项的和最大,并求出这个最大值.

〖例 4〗已知数列

, n ( ? 求 , {an } 是 等 差 数 列 。 ( 1 ) 若 am ? n a ? m m ) n

? m

an( 2 ) 若 ;

Sm ? n, Sn ? m(m ? n), 求Sm?n .

(四)等差数列的综合应用 〖例 5〗已知 {an }是正数组成的数列, a1 ? 1 ,且点 ( an , an ?1 ) ( n ? N )在函数 y=x +1 的图象上。
2

?

(1) 求数列 {an }的通项公式; (2) 若数列 ?bn ? 满足 b1=1,bn+1=bn+ 2 n ,求证: bn ? n?2 ? b2n?1 。 b
a

方法提示: 1.解决等差数列问题,熟练掌握等差数列的有关性质,寻找项与前 n 项和之间的关系是解题关键. 2.在等差数列{an}中,有关 Sn 的最值问题: (1)a1>0,d<0 时,满足 ?

?a m ? 0 的项数 m 使得 Sn 取得最大值为 Sm; ?am ?1 ? 0 ?a m ? 0 的项数 m 使得 Sn 取得最小值为 Sm. ?am ?1 ? 0

(2)当 a1<0,d>0 时,满足 ?

(3)关于最值问题,除上面介绍的方法外,还可利用等差数列与函数的关系来解决,等差数列的前 n 项和

Sn ? na1 ?

n ?n ? 1? d d d ? n 2 ? (a1 ? )n, Sn 可看成关于 n 的二次函数式且常数项为 0,利用二次函数的 2 2 2

图象或配方法解决最值问题.


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