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【数学】2010湖南省长沙市一中高二第三次学业水平模拟考试


知识改变命运,学习成就未来

2010 年长沙市一中学业水平考试模拟试卷(三) 数 学
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分.时量 120 分钟.满分 100 分. 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. 函数 y ?
2 x?4

>的定义域为





A.R B. (4,??) C. (??,4) D. (??,4) ? (4,??) 2. 已知角 ? 的终边经过点 P(﹣3, 则下列计算结论中正确的是 4), ( ) 4 4 3 3 A. tan ? ? ? B. sin ? ? ? C. cos ? ? D. sin ? ? 3 5 5 5 3.设集合 A={ x | 0 < x≤3 },B={x | x≤0},则 A∪B = A.{ x | 0 < x≤3 } B.{ 0 } C.{ x | x≤3 } 4.已知 a= (1 , sin ? ), b= (cos ? , ? 1) ,且 a⊥b,则锐角 ? 的大小为 ? ? ? A. B. C. 4 6 3 5.阅读流程图,则输出结果是 A.4 B.5 C.6 D.13 ( D.R ( D. (
5? 12



) 开始 )

x=2 y=2x+1

正视图

侧视图 b=3y-2

· 俯视图 第6题 6.如图,有一个几何体的正视图与侧视图都是底为 6cm,腰为 5cm 的等腰三角形,俯视图 是直径为 6cm 的 圆, 则该几何体的体积为 ( ) A.12πcm3 B.24πcm3 C.36πcm3 D.48πcm3 7.袋中有 5 个球,其中 3 个是红球,2 个是白球,从中任取 2 个球,这 2 个球都是红球的 概率是( ) 1 3 7 3 A. B. C. D. 10 10 10 7 8.已知函数 f ( x) ? x ? ln x 有唯一的零点,则其零点所在区间为 ( ) A. ,1) (0 B. ,2) (1 C. ,3) (2 D. (3 ,4)

输出 b 结束
第5题

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?x ? y ? 1 ? 9.已知实数 x、 y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ,则其围成的平面区域的面积为 ? x?0 ?





A.8 B.4 C.2 D. 1 10.已知 f (x) 是定义在 [?5, 5] 上的偶函数,且 f (3) ? f (1) ,则下列各式中一定成立的是 ( ) A. f (0) ? f (5) B. f (?1) ? f (3) C. f (3) ? f (2) D. f (2) ? f (0) 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分. 11. 56 名男教师和 42 名女教师中, 从 采用分层抽样的方法, 抽出一个容量为 14 的样本. 那 么这个样本 中的男教师的人数是 . 12.等差数列 ?an ? 中, a2 ? 5 , a6 ? 33 , 则 a4 ? _________. 13.如图, AE ? xAD ? yAB ,则 x+y=

??? ?

??? ?

??? ?



14. 在△ABC 中,若 b2 ? c 2 ? a 2 ? bc, 则 A =
2

第 13 题图 15 . 若 函 数 f ( x) ? ax ? 2 x ? 5 在 (4, ? ?) 上 单 调 递 增 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 _________. 三.解答题:本大题共 6 小题,共 40 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 6 分) 某市为了保障民生,防止居民住房价格过快增长,计划出台合理的房价调控政策,为此 有关部门抽样 调查了 100 个楼盘的住房销售价格,右表是这 100 个楼盘住房销售均价(单位:千元/ 平米)的频率 分布表,根据右表回答以下问题: (1)求右表中 a,b 的值; (2)请将下面的频率分布直方图补充完整,并根据直方图估计该市居民住房销售价格在 4 千元/平米到 8 千元/平米之间的概率.
频率 / 组距



分组 [2,3) [3,4) [4,5) [5,6) [6,7) [7,8) [8,9)

频数 5 10 a 24 18 12 8 8 100

频率 0.05 0.10 0.15 0.24 0.18 b 0.08 0.08 1.00

0.3

0.2

0.1

[9,10) 合计
6
10

2

3

4

5

7

8

9

销售均价(千元 / 平米)

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17. (本小题满分 8 分) 已知函数 f ( x) ? sin x ? 3 cos x . (1)求函数 f ( x) 的最小正周期;

? 个单位,得到函数 g (x) 的图像,写出 g (x) 3 的解析式,并求 g (x) 在 x∈(0,π )上的单调递增区间.
(2)将函数 f (x) 的图像上所有的点向右平移

18. (本小题满分 8 分) 如图,已知三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AA1 ⊥平面 ABC,AB=BC,∠ABC=90°,D 为 AC 中点. (1)求证:BD⊥AC1 ; (2)若 AB= 2 ,AA1= 2 3 ,求 AC1 与平面 ABC 所成的角. A1 C1 B1

C D A 19. (本小题满分 8 分) 已知数列{an}中,a1 =1 ,a2=3,且点(n,an)满足函数 y = kx + b. (1)求 k ,b 的值,并写出数列{an}的通项公式; (第 18 题图) B

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(2)记 bn ? 2a ,求数列{bn}的前 n 和 Sn .
n

20. (本小题满分 10 分) 已知圆 C 的圆心在坐标原点,且过点 M( 1 , 3 ) . (1)求圆 C 的方程; (2)已知点 P 是圆 C 上的动点,试求点 P 到直线 x ? y ? 4 ? 0 的距离的最小值; (3)若直线 l 与圆 C 相切,且 l 与 x,y 轴的正半轴分别相交于 A,B 两点,求△ABC 的面 积最小时直线 l 的方程.

2010 年长沙市一中学业水平考试模拟试卷(三)
参考答案与评分标准
一、选择题: (每小题 4 分,共 40 分) BAC C D ABAD B 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分。 11. 8 12. 19 13. 1 14. 60° 15. a ≥0 三、解答题: 16.(本小题满分 6 分) 解析: (1)a=15 , b=0.12 …………………………………………………… 2 分

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知识改变命运,学习成就未来

频率 / 组距

0.3

0.2

0.1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

销售均价(千元 / 平米)

(2) 频率分布直方图如图 4分

……………………………… ……

该市居民住房销售价格在 4 千元/平米到 8 千元/平米之间的概率为 0.69 6分 17.(本小题满分 6 分)

? 解析: (1) f ( x) ? 2sin( x ? ) ,周期为:2π ………………………………… 3 分 3 (2) g (x) ? 2 sin x , …………………………………………… 6 分
g (x) 在(0,π )上的递增区间为 (0 ,

?
2

) …………………8 分

18.(本小题满分 8 分) (1)证明:∵AA1 ⊥平面 ABC, ∴AA1 ⊥BD 又∵AB=BC,D 为 AC 中点,∴AC⊥BD ∴BD⊥平面 ACC1 A1 ∴BD⊥AC1 ……………………4 分 (2)∵AA1 ⊥平面 ABC,∴CC1 ⊥平面 ABC ∴AC1 与平面 ABC 所成的角为∠C1AC ∵AB=BC,∠ABC=90°,AB= 2 ,∴AC=2 又 AA1= 2 3 ,∴CC1 = 2 3
CC 2 3 ? 3 ,∴∠C1AC=60°.……… 8 分 ∴tan∠C1AC= 1 ? AC 2

C1 A1 B1

C D A B (第 18 题图)
? 1? k ?b ?k ?2 ?? ?3 ? 2k ? b ?b ? ?1

19.(本小题满分 8 分) 解析: (1)将(1 ,a1)(2 ,a2)代入 y = kx + b 中得: ? , 分
? an ? 2n ? 1

………

2

…………………………………………
bn ?1 2 ? 2 n ?1 ? 22 ? 4 , bn 2
2( n ?1) ?1

4分 6分

(2)? bn ? 2a ,? bn ? 22n ?1 , ?
n

……………………………

? {bn } 是公比为 4 的等比数列,

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又 b1 ? 2 ? Sn ?
2(1 ? 4n ) 2(4n ?1) ? 1? 4 3

…………………………………………

8分

20.(本小题满分 10 分) 解析: (1)圆 C 的半径为 | CM |? 1 ? 3 ? 2 , ……………………… 2 分

所以圆 C 的方程为 x2 ? y 2 ? 4 ………………………………………………………3 分 (2)圆心到直线 l 的距离为 d ?
| -4 | 12 ? 12 ? 2 2 ,……………………………………4 分

所以 P 到直线 l: x ? y ? 4 ? 0 的距离的最小值为: 2 2 ? 2 …………………… 6 分 (3)设直线 l 的方程为: y ? kx ? b ,因为 l 与 x,y 轴的正半轴分别相交于 A,B 两点,则 k ? 0,b ? 0,
b 且 A(? , 0) , B(0 , b) ,又 l 与圆 C 相切,则 C 点到直线 l 的距离等于圆的半径 2, k

即 : ②

|b| k 2 ?1

? 2 ? b 2 ? 4k 2 ? 4 ,

① ,

1 b ?b2 而 S? ABC ? (? )b ? 2 k 2k

……………… 8 分
?(4k 2 ? 4) 1 1 ? 2(? k ? ) ? 4 (? k )? ? 4 ,当且仅当 k=﹣1 时取等号,所 2k ?k ?k

将①代入②得 S? ABC ?

以当 k=﹣1 时,△ABC 的面积最小,此时 b2 ? 4k 2 ? 4 ? 8,
y ? ? x ? 2 2 ………………

b ? 2 2 ,直线 l 的方程为:

10 分

频率 / 组距

0.3

0.2

0.1

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2 3 4 5 6 7 8 9
10

销售均价(千元 / 平米)


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