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必修2红对勾2-2-13


红对勾系列丛书

第二章

点、直线、平面之间的位置关系

第二章 点、直线、平面之间的位置关系

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2.2 直线、平面平行的判定及其性质 第13课时 直线与平面平行的性质

2.2 第13课时

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掌握直线和平面平行的性质定理,会利用性质定理

进行相关的证明.

2.2 第13课时

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2.2 第13课时

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一、选择题(每小题5分,共30分)
1.如果直线a∥平面α,则( )

A.平面α内有且只有一条直线与a平行
B.平面α内有无数条直线与a平行 C.平面α内不存在与a垂直的直线 D.平面α内有且仅有一条与a垂直的直线 答案:B

2.2 第13课时

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2.给出四个命题,其中正确的个数是(

)

①AB 为平面 α 外的线段,若 A 、 B 到平面 α 的距离相

等,则AB∥α;
②若一个角的两边分别平行于另一个角的两边,则 这两个角相等; ③若直线a∥直线b,则a平行于过b的所有平面; ④若直线a∥平面α,直线b∥平面α,则a∥b.

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A.0个

B.1个

C.2个
答案:A

D.3个

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3 . 如 图 1 , α∩β = CD , α∩γ = EF , β∩γ = AB ,
AB∥α.则CD与EF的位置关系是( A.垂直 B.平行 C.相交 D.异面
图1

)

2.2 第13课时

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解 析 : ∵ AB?β , 又 ∵ AB∥α , α∩β = CD , ∴AB∥CD,同理AB∥EF,∴CD∥EF.

答案:B

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4.如图 2 ,有一木块,点 P 在平面 A1C1 内,棱 BC 平
行平面A1C1,要经过P和棱BC将木料锯开,锯开的面必 须平整,则不同的锯法种数是( A.0 B.1 C.2 D.无数
图2
2.2 第13课时

)

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解 析 : 锯 法 是 , 过 P 作 一 条 直 线 平 行 于 B1C1 , 交

A1B1于M,交D1C1于N,则截面MBCN即为所求.
答案:B

2.2 第13课时

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5 .若空间四边形 ABCD 的两条对角线 AC 、 BD 的长
分别是8、12,过AB的中点E且平行于BD、AC的截面四 边形的周长为( A.10 C.8 ) B.20 D.4

2.2 第13课时

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解析:设截面四边形为EFGH,F、G、H分别是BC、
CD、DA的中点, ∴EF=GH=4,FG=HE=6, ∴周长为2×(4+6)=20. 答案:B

2.2 第13课时

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6.三条异面直线 a,b, c两两异面,它们所成的角
都相等且存在一个平面与这三条直线都平行,则a与b所 成的角的度数为( A.30° C.60° ) B.45° D.90°

2.2 第13课时

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解析:在已知平面α内分别作a′∥a,b′∥b,c′∥c,
则 a′, b′, c′所成的角即为异面直线 a , b, c ,所成的角, 由异面直线所成的角均相等,得 a 与 b 所成角的度数为 60°. 答案:C

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二、填空题(每小题5分,共15分)
7.已知 A、B、 C、D四点不共面,且 AB∥ 平面α,

CD∥α,AC∩α=E,AD∩α=F,BD∩α=H,BC∩α=G,
则四边形EFHG是________四边形. 答案:平行

图3
2.2 第13课时

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8.在棱长为 a 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中, M、N 分别是棱 A1B1、B1C1 的中点,P 是棱 AD 上一 a 点,AP= ,过 P、M、 N 的平面与棱 CD 交于 Q, 3 则 PQ= ________.

2.2 第13课时

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解析:∵MN∥平面 AC, PQ=平面 PMN∩平面 AC, 2a ∴MN∥PQ,易知 DP=DQ= , 3 2 2a 故 PQ= PD +DQ = 2DP= . 3
2 2

2 2a 答案: 3

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9.如图 4,已知 AB、CD 为异面直线, E、F 分 别为 AC、BD 的中点,过 E、F 作平面 α∥AB,若 AB=4,EF= 5,CD=2,则 AB 与 CD 所成角的大 小为________.

图4
2.2 第13课时

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解析:连结 BC,设 BC∩α= P,连结 EP、 FP,则 平面 ABC∩ α= EP,因为 α∥ AB, 所以 AB∥ EP,又 E 为 AC 的中点,所以 P 为 BC 的中点,同理 PF∥ CD,所以∠ EPF 即为 AB 与 CD 所 成的角或其补角.又 AB= 4, EF= 5, CD= 2,则 EP = 2, PF= 1,因为 EP2+ PF2= EF2,所以 AB、CD 所 成的角的大小为 90° .

答案:90°
2.2 第13课时

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三、解答题(共45分)
10 . ( 本小题 15分 )ABCD是平行四边形,点 P是平面

ABCD外一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G
和AP作平面交平面BDM于GH,求证:AP∥GH.

2.2 第13课时

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证明:如图5所示,连结AC交BD于O,连结MO,
∵ABCD是平行四边形,

图5

2.2 第13课时

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∴O是AC中点,又M是PC的中点,
∴AP∥OM.

根据直线和平面平行的判定定理,
则有PA∥平面BMD. ∵平面PAHG∩平面BMD=GH, 根据直线和平面平行的性质定理, ∴PA∥GH.

2.2 第13课时

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11.(本小题15分)平面EFGH分别平行于CD、AB,
E、F、G、H分别在BD、BC、AC、AD上,且CD=a, AB=b,CD⊥AB. (1)求证:EFGH是矩形; (2)设DE=m,EB=n,求矩形EFGH的面积.

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解析:(1)证明:∵CD∥平面EFGH,而平面
EFGH∩平面BCD=EF,

图6

2.2 第13课时

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∴CD∥EF.同理HG∥CD,
∴EF∥HG.

同理HE∥GF,∴四边形EFGH为平行四边形.
又∵CD⊥AB,∴HE⊥EF. ∴四边形EFGH为矩形.

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(2)解:由(1)可知在△BCD 中 EF∥CD, DE=m,EB=n, EF BE n ∴ = .又 CD=a,∴EF= a. CD DB m+n HE DE 由 HE∥AB,∴ = . AB DB

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m 又∵ AB= b,∴ HE= b. m+ n 又∵四边形 EFGH 为矩形, m n mn ∴ S 矩形 EFGH= HE· EF= b· a= ab. m+n m+ n ? m+ n? 2

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12. (本小题 15 分 )如图 7 所示,在底面是菱形的四 棱锥 P—ABCD 中,∠ ABC= 60° ,PA= AC= a,PB= PD = 2a,点 E 在 PD 上,且 PE∶ ED= 2∶ 1,在棱 PC 上 是否存在一点 F,使 BF∥ 平面 AEC?证明你的结论.

图7
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解:当 F 是棱 PC 的中点时,BF∥平面 AEC. 取 PE 的中点 M,连接 FM,则 FM∥ CE. ∵ FM?平面 AEC, CE?平面 AEC, ∴ FM∥平面 AEC, 1 由 EM= PE=ED,得 E 是 MD 的中点. 2 连接 BM,BD,设 BD∩AC=O,

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则O是BD的中点,所以BM∥OE.
∵BM?平面AEC,OE?平面AEC,

∴BM∥平面AEC,∵FM∩BM=M,
∴平面BFM∥平面AEC, 又BF?平面BFM,所以BF∥平面AEC.

2.2 第13课时


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