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2015-2016学年高中数学 第一章 集合与函数概念单元测试 新人教A版必修1


2015-2016 学年高中数学 第一章 集合与函数概念单元测试 新人教 A 版必修 1
(时间:120 分钟 满分:150 分)

一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.设集合 M={x|x +2x=0,x∈R},N={x|x -2x=0,x∈R},则 M∪N=

( A.{0} C.{-2,0} B.{0,2} D.{-2,0,2}
2 2

)

解析 M={x|x(x+2)=0.,x∈R}={0,-2},N={x|x(x-2)=0,x∈R}={0,2},所 以 M∪N={-2,0,2}. 答案 D 2.设 f:x→|x|是集合 A 到集合 B 的映射,若 A={-2,0,2},则 A∩B=( A.{0} C.{0,2} B.{2} D.{-2,0} )

解析 依题意,得 B={0,2},∴A∩B={0,2}. 答案 C 3. f(x)是定义在 R 上的奇函数, f(-3)=2, 则下列各点在函数 f(x)图象上的是( A.(3,-2) C.(-3,-2) B.(3,2) D.(2,-3) )

解析 ∵f(x)是奇函数,∴f(-3)=-f(3). 又 f(-3)=2,∴f(3)=-2,∴点(3,-2)在函数 f(x)的图象上 . 答案 A 4.已知集合 A={0,1,2},则集合 B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是( A.1 C.5 B.3 D.9 )

解析 逐个列举可得.x=0,y=0,1,2 时,x-y=0,-1,-2;x=1,y=0,1,2 时,

x-y=1,0,-1;x=2,y=0,1,2 时,x-y=2,1,0.根据集合中元素的互异性可知集合 B
的元素为-2,-1,0,1,2.共 5 个. 答案 C 5.若函数 f(x)满足 f(3x+2)=9x+8,则 f( x)的解析式是( A.f(x)=9x+8 B.f(x)=3x+2 )

C.f(x)=-3x-4 D.f(x)=3x+2 或 f(x)=-3x-4 解析 ∵f(3x+2)=9x+8=3(3x+2)+2,∴f(x)=3x+2. 答案 B 6.设 f(x)=? A.16 C.21
? ?x+3

?x>10?, ?x≤10?,

? ?f?x+5?

则 f(5)的值为( B.18 D.24

)

解析 f(5)=f(5 +5)=f(10)=f(15)=15+3=18. 答案 B 7.设 T={(x,y)|ax+y-3=0},S={(x,y)|x-y-b=0},若 S∩T={(2,1)},则 a,

b 的值为(

) B.a=-1,b=1 D.a =-1,b=-1 ??
? ?a=1, ?b=1. ?

A.a=1,b=-1 C.a=1,b=1
? ?2a+1-3=0, 解析 依题意可得方程组? ?2-1-b=0, ?

答案 C 8.已知函数 f(x)的定义域为(-1,0),则函数 f(2x+1)的定义域为( 1? ? A.( -1,1) B.?-1,- ? 2? ? )

?1 ? C.(-1,0) D.? ,1? ?2 ?
1? 1 ? 解析 由-1<2x+1<0,解得-1<x<- ,故函数 f(2x+1)的定义域为?-1,- ?. 2? 2 ? 答案 B 9.已知 A={0,1},B={-1,0,1},f 是从 A 到 B 映射的对应关系,则满足 f(0)>f(1) 的映射有( A.3 个 C.5 个 ) B.4 个 D.6 个

解析 当 f(0)=1 时,f(1)的值为 0 或-1 都能满足 f(0)>f(1);当 f(0)=0 时,只有

f(1)=-1 满足 f(0)>f(1);当 f(0)=-1 时,没有 f(1)的值满足 f(0)>f(1),故有 3 个.
答案 A 10. 定义在 R 上的偶函数 f(x)满足: 对任意的 x1, x2∈(-∞, 0](x1≠x2), 有(x2-x1)[f(x2) -f(x1)]>0,则当 n∈N 时,有( A.f(-n)<f(n-1)<f(n+1)
*

)

B.f(n-1)<f(-n)<f(n+1) C.f(n+1)<f(-n)<f(n-1) D.f(n+1)<f(n-1)<f(-n) 解析 由题设知,f(x)在(-∞,0]上是增函数,又 f(x)为偶函数, ∴f(x)在[0,+∞ )上为减函数. ∴f(n+1)<f(n)<f(n-1). 又 f(-n)=f(n), ∴f(n+1)<f(-n)<f(n-1). 答案 C 11.函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,下列说法: ①f(0)=0; ②若 f(x)在[0,+∞)上有最小值为-1,则 f(x)在(-∞,0]上有最大 值为 1;③若 f(x)在[1,+∞)上为增函数,则 f(x)在(-∞,-1]上为减函数;④若 x>0 时,f(x)=x -2x,则 x<0 时,f(x)=-x -2x.其中正确说法的个数是( A.1 个 C.3 个 B.2 个 D.4 个
2 2

)

解析 ①f(0)=0 正确; ②也正确; ③不正确, 奇函数在对称区间上具有相同的单调性; ④正确. 答案 C 12.f(x)满足对任意的实数 a,b 都有 f(a+b)=f(a)·f(b)且 f(1)=2,则

f?2? + f?1?

f?4? f?6? f?2014? + +…+ =( f?3? f?5? f?2013?
A.1006 C.2012 解析

) B.2014 D.1007

因为对任意的实数 a , b 都有 f(a + b)=f(a)·f(b)且 f(1)= 2 ,由 f(2)=

f?2? f(1)·f(1),得 =f(1)=2, f?1?
由 f(4)=f(3)·f(1),得 …… 由 f(2014)=f(2013)·f(1), 得 ∴

f?4? =f(1)=2, f?3?

f?2014? =f(1)=2, f?2013? f?2? f?4? f?6? f?2014? + + +…+ =1007×2=2014. f?1? f?3? f?5? f?2013?

答案 B

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 把答案填在题中横线上) 13.函数 y=

x+1 的定义域为________. x
得函数的定义域为{x|x≥-1,且 x≠0}.

解析 由?

?x+1≥1, ? ? ?x≠0

答案 {x|x≥-1,且 x≠0}
?x +1 ?x≤0?, ? 14.f(x)=? ?-2x ?x>0?, ?
2 2

若 f(x)=10,则 x=________.
2

解析 当 x≤0 时,x +1=10,∴x =9,∴x=-3. 当 x>0 时,-2x=10,x=-5(不合题意,舍去). ∴x=-3. 答案 -3 15.若函数 f(x)=(x+a)(bx+2a)(常数 a,b∈R)是偶函数,且它的值域为(-∞,4], 则该函数的解析式 f(x)=________. 解析 f(x)=(x+a)(bx+2a)=bx +(2a+ab)x+2a 为偶函数, 则 2a+ab=0, ∴a=0, 或 b=-2. 又 f(x)的值域为(-∞,4],∴a≠0,b=-2,∴2a =4. ∴f(x)=-2x +4. 答案 -2x +4 16.在一定范围内,某种产品的购买量 y 吨 与单价 x 元之间满足一次函数关系,如果 购买 1000 吨,每吨为 800 元,购买 2000 吨,每吨为 700 元,那么客户购买 400 吨,单价应 该是________元. 解析 设一次函数 y=ax+b(a≠0),把?
? ?x=700, ?y=2000, ? ? ?a=-10, ?b=9000. ? ?x=800, ? ? ?y=1000,
2 2 2 2 2

和?

代入求得?

∴y=-10x+9000,于是当 y=400 时 ,x=860. 答案 860 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤) 17.(本小题满分 10 分)已知集合 A={x|2≤x≤8},B={x|1<x<6},C={x|x>a},U= R. (1)求 A∪B,(?UA)∩B;

(2)若 A∩C≠?,求 a 的取值范围. 解 (1)A∪B={x|2≤x≤8}∪{x|1<x<6}

={x|1<x≤8}. ?UA={x|x<2,或 x>8}. ∴(?UA)∩B={x|1<x<2}. (2)∵A∩C≠?,∴a<8. 1+x 18.(本小题满分 12 分)设函数 f(x)= 2. 1-x (1)求 f(x)的定义域; (2)判断 f(x)的奇偶性;
2

?1? (3)求证:f? ?+f(x)=0. x ? ?
解 (1)由解析式知,函数应满足 1-x ≠0,即 x≠±1.
2

∴函数 f(x)的定义域为{x∈R|x≠±1}. (2)由(1)知定义域关于原点对称, 1+?-x? 1+x f(-x)= 2= 2=f(x). 1-?-x? 1-x ∴f(x)为偶函数.
2 2

?x? x +1 (3)证明:∵f? ?= = 2 , 1?2 x -1 ?x? ? 1-? ? ?1?
2

?1?2 1+? ? ?x?

1+x f(x)= 2, 1-x

2

x +1 1+x ?1? ∴f? ?+f(x)= 2 + x -1 1-x2 ?x?


2

2

x2+1 x2+1 - =0. x2-1 x2-1
2

19.(本 小题满分 12 分)已知 y=f(x)是定义在 R 上的偶函数,当 x≥0 时,f(x)=x - 2x. (1)求当 x<0 时,f(x)的解析式; (2)作出函数 f(x)的图象,并指出其单调区间. 解 (1)当 x<0 时,-x>0,
2 2

∴f(-x)=(-x) -2(-x)=x +2x. 又 f(x)是定义在 R 上的偶函数, ∴f(-x)=f(x). ∴当 x<0 时,f(x)=x +2x.
2

?x -2x ? (2)由(1)知,f(x)=? 2 ?x +2x ?

2

?x≥0?, ?x<0?.

作出 f(x)的图象如图所示:

由图得函数 f(x)的递减区间是(-∞,-1],[0,1].

f(x)的递增区间是[-1,0],[1,+∞).
2x+1 20.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)= , x+1 (1) 判断函数在区间[1,+∞)上的单调性,并用定义证明你的结论. (2)求该函数在区间[1,4]上的最大值与最小值. 解 (1)函数 f(x)在[1,+∞)上是增函数.证明如下:

任取 x1,x2∈[1,+∞),且 x1<x2,

f(x1)-f(x2)=

2x1+1 2x2+1 x1-x2 - = , x1+1 x2+1 ?x1+1??x2+1?

∵x1-x2<0 ,(x1+1)(x2+1)>0, 所以 f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2), 所以函数 f(x)在[1,+∞)上是增函数. 9 3 (2)由(1)知函数 f(x)在[1,4]上是增函数,最大值 f(4)= ,最小值 f(1)= . 5 2 21. (本小题满分 12 分)已知函数 f(x)的定义域为(0, +∞), 且 f(x)为增函数, f(x·y) =f(x)+f(y). (1)求证:f? ?=f(x)-f(y); y (2)若 f(3)=1,且 f(a)>f(a-1)+2,求 a 的取值范围. 解

?x? ? ?

?x ? ?x? (1)证明:∵f(x)=f? ·y?=f? ?+f(y),(y≠0) ?y ? ?y?

∴f? ?=f(x)-f(y). y (2)∵f(3)=1,∴f(9)=f(3·3)=f(3)+f(3)=2.

?x? ? ?

∴f(a)>f(a-1)+2=f(a-1)+f (9)=f[9(a-1)]. 又 f(x)在定义域(0,+∞)上为增函数,

a>0, ? ? ∴?a-1>0, ? ?a>9?a-1?,

9 ∴1<a< . 8

22.(本小题满分 12 分)某商场经销一批进价为每件 30 元的商品,在市场试销中发现, 此商品的销售单价 x(元)与日销售量 y(件)之间有如下表所示的关系:

x y

30 60

40 30

45 15

50 0

(1)在所给的坐标图纸中,根据表中提供的数据,描出实数对(x,y)的对应点,并确定

y 与 x 的一个函数关系式.

(2)设经营此商品的日销售利润为 P 元,根据上述关系,写出 P 关于 x 的函数关系式, 并指出销售单价 x 为多少元时,才能获得最大日销售利润? 解 (1)由题表作出(30,60),(40,30),(45,15),(50,0)的对应点,它们近似地分布在

一条直线上,如图所示.

? ?50k+b=0, 设它们共线于直线 y=kx+b,则? ?45k+b=15, ?
*

??

? ?k=-3, ?b=150. ?

∴y=-3x+150(0≤x≤50,且 x∈N ),经检验(30,60),(40,30)也在此直线上. ∴所求函数解析式为 y=-3x+150(0≤x≤50,且 x∈N ). (2)依题意 P=y(x-30)=(-3x+150)(x-30)=-3(x-40) +300. ∴当 x=40 时,P 有最大值 300,故销售单价为 40 元时,才能获得最大日销售利润.
2 *


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