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对数及其运算


对数及其运算 对数及其运算是人教版普通高中数学课程标准实验教科书《数学 1(必修) 》第三章第二 单元第一节,是在系统学习研究函数的一般方法、指数的概念及运算性质,基本掌握指数函 数的概念及性质的基础上引入的, 既是指数有关知识的承接和延续, 又是后续研究对数函数、 探讨函数应用的基础。

一.教材内容的外部知识结构:
指数 3333 指数与指数函数 对数与对数函数 指数函数

算 胡 互 为

互 为 逆 运

基 本 初 等 函 数

对数 对数与对数函数 对数函数

幂函数

从教材外部知识结构图可以看出,之前我们已经学习了知识及指数函数,以 此为基础引入了对数。还可以看出指数与对数互为逆运算。 二.教材内容的内部知识结构:
1) 知识点:对数的概念 常用对数 自然对数 对数运算法则 换底公式 2)结构框图 对数概念 对数恒等式:a^(㏒aN )=N 1 . 0 和负数没有对数 2. 1 的对数为 0,即㏒a1 3. 的对数等于 1 b=㏒aN ,(a>0,且 a≠1) 例2 例3 ㏒a(MN ) =㏒aM +㏒aN 对数运算法则 则
M N ㏒aM N =㏒a -㏒a M ㏒aa M =a ㏒a

例1

对 数 及 其 运 算

常用对数

以 10 为底的对数叫常用对数

例4

例5 例6 例7 例8

㏒bN =㏒aN /㏒ab 换底公式与自然对数

以 e 为底的对数叫做自然对数

教材首先引入对数的概念,并在此基础上定义了常用对数,紧接着学习了对数运算中的 相关法则。最后通过对数概念及与运算法则导出换底公式。并且定义了自然对数。

三.教法分析:
1. 概念分析: 对数:一般地,对于指数式ab =N,我们把“以 a 为底 N 的对数 b”记作㏒aN ,即 b=㏒aN 。其 中数 a 叫做对数的底数,N 叫做真数,读作:b 等于以 a 为底 N 的对数。 a)作用于地位:是在学习了指数与指数函数引进的一种数,说明了对数与指数之间互 为逆运算的关系, 有利于学生学习时发现和论证对对数性质, 加强了对数的实际应用与数学 额文化背景,同时为后续的对数函数知识的学习奠定了基础。 b)存在性:教材从具体问题引入对数,从对数概念的建立过程可以看出,教材强调 “对 数原于指数” ; c)概念的类与概念的定义:该概念为可定义概念,定义的方法为“属+种差” 。定义的 关键词为:指数式、底数、真数。 2. 符号分析:㏒:以一个大于 0 为底的数的对数。 ㏑:以 e 为底的对数。 lg:以 10 为底的对数。 3.运算性质及换底公式分析: 运算性质 ㏒a(MN ) =㏒aM +㏒aN
M N ㏒aM N =㏒a -㏒a M ㏒aa M =a ㏒a

a)地位与作用:该运算性质说明了两个对数之间的内在关系,在解决对数实际运算 中起到核心作用。 b)性质与其他性质的联系与区别:对数的加减幂运算都可以通过指数及对数的定义 推导出来,不同是他们所代表的运算意义不同。

换底公式

㏒bN =㏒aN /㏒ab

a)地位与作用:利用换底公式“化异为同”是解决有关对数问题的基本方法。在求 值或恒等变换中起着重要作用。 b)性质的用途:换底公式是通过实例引出的,既明确了换底公式的必要性,同时在 公式的推导中应用对数的概念和对数的运算性质,在教学中可以根据学生的不同基础适当 的增加具体事例,便于学生理解换底公式的本质,培养学生从具体的事例中抽象出一般的 公式能力。

4.例题分析: 例 4:用㏒ax ,㏒ay ,㏒az 表示下列各式 ㏒az
xy

㏒a(x

3y 5 )

例题题型:计算题。 所需的数学水平:理解对数概念、对数的运算性质。 例题的作用及目的:通过例题进一步理解对数的概念及运算性质,并在此基础上,通过 例题实现知识的内化,实现只是向能力的转化。 例题与练习题的搭配关系:练习 A 第 1 题 例 6:求证:㏒x y ㏒y z =㏒x z 例题题型:证明题。 所需的数学水平:对数运算、换底公式。 例题的作用及目的:通过例题进一步理解对数的概念及运算性质,并在此基础上,通过 例题实现知识的内化,实现只是向能力的转化。 例题与练习题的搭配关系:练习 A 第 2 题、第 3 题 习题 3—2(A)第 2 题 在解题过程中老师应该注意强调: (1)根据具体问题,选择适当的底数; (2)注意换底公式与对数运算性质的结合使用; (3)换底公式的正用与逆用;

四.教学目标、重难点分析:
知识技能目标:1、理解对数的概念 2、理解和掌握对数的性质 3、理解指数与对数的关系,熟练地进行指数式与对数式的互换 过程与方法目标:经历由指数得到对数的过程,掌握指数式与对数式互化方法;结合 对数概念探究对数的性质及其运算。 情感态度与价值观:1.通过指数式与对数式的互化,使学生感受对数式是指数式的另 一种表达形式, 进一步体会运用指数式探求对数的基本思路及方法, 发展学生的数学表达能 力和严谨有序的思维品质。 2.通过随堂提问、练习评价,激发学生的探究兴趣,增强学生的 成功感体验,帮助学生认识自我、建立自信。 重点:对数的概念、对数的性质 如何突破:通过指数与对数的关系及联系,是学生加强对其定义的理解。其次通过例 题的讲解使学生对概念更深入理解,突破重点。 难点:对数概念的理解, 公式的推导及应用,换底公式的应用。 如何突破: 首先通过公式的推导过程, 让学生理解相关公式, 紧接着对教材例题讲解, 使学生掌握并会应用这些公式,从而实现对难点的击破。


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