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分式不等式与一元高次不等式的解法训练


【知识点梳理】
一、一元高次不等式 方法:先因式分解,再使用穿根法. 注意:因式分解后,整理成每个因式中未知数的系数为正. 使用方法: ①在数轴上标出化简后各因式的根,使等号成立的根,标为实点,等号不成立的根要标虚点. ②自右向左自上而下穿线,遇偶次重根不穿透,遇奇次重根要穿透(叫奇穿偶不穿). ③数轴上方曲线对应区域使“>”成立, 下方曲线对应区域使“<”成立. 二、分式不等式 方法 1:利用符号法则转化为一元一次不等式组,进而进行比较。 方法 2:在分母不为 0 的前提下,两边同乘以分母的平方。 通过例 1,得出解分式不等式的基本思路:等价转化为整式不等式(组) : (1)

f ? x? ? 0 ? f ? x? ? g ? x? ? 0 g ? x?

(2)

? f ? x? ? f ? x? ? g ? x? ? 0 ?0?? g ? x? ? ?g ? x? ? 0

解题方法:数轴标根法。 解题步骤: (1)首项系数化为“正” ; (2)移项通分,不等号右侧化为“0” ; (3)因式分解, 化为几个一次因式积的形式; (4)数轴标根。 归纳:分式不等式主要是转化为 求解。

?x ? a1 ??x ? a2 ???x ? am ? ? ? 0 或 ? 0? ,再用数轴标根法 ?x ? b1 ??x ? b2 ???x ? bn ?

【典型例题】
例 1、解不等式 (1)2x -x -15x>0;
3 2

(2)(x+4)(x+5) (2-x) <0.

2

4

例 2、解下列不等式: ⑴ (x+1)(x-1)(x-2)(x-3)>0;

⑵ (x+2)(x +x+1)>0;

2

⑶ (x+2) (x+1)<0;

2

(4)(x+2) (x+1) ? 0;
2

(5) (x -1)(x -5x-6)> 0

2

2

例 3、解下列不等式: 2 2 ⑴ (x -1)(x-1)(x -x-2)<0 ; 2 2 (x-1) (x -x-2) ? 0;

⑵ (x+1) (x-2) (x-1) ? 0 ;
2 2



例 4、解不等式:

x 2 ? 3x ? 2 ?0 ? x 2 ? 7 x ? 12

例 5、解不等式:

x 2 ? 9 x ? 11 ?7 x2 ? 2 x ? 1

例 6、解不等式:

x2 ? 5x ? 6 ?0 x 2 ? 3x ? 2

例 7、解不等式:

2x ?1 2x ?1 ? x ? 3 3x ? 2

例 8、解不等式:

2 ? 3x ? 3 (不能十字相乘分解因式;无法分解因式) x ? x ?1
2

例 9、解下列不等式。 ⑴x+2+

1 1 >7+ ; x ? 10 x ? 10



8 ? 2x ? 1; x ? 3x ? 2



(3 x ? 2)( x ? 2) (2 x ? 2)( x ? 2) < ( x ? 4) 2 ( x ? 4) 2





( x ? 1)(x ? 1) 2 ( x ? 2) 3 ? 0。 ( x ? 3) 4 ( x ? 4) 5 ( x ? 5) 6

【巩固练习】
1、解下列不等式: 2 ⑴(x+1) (x-1)(x-4)>0;

⑵(x+2)(x+1) (x-1) (x-3)>0 ;

2

3

⑶(x+2)(x+1) (x-1) (3-x)) ? 0
2 3

⑷(x -1)(x-1)(x -x-2) ? 0;
2 2

⑸x+1 ?

4 x ?1



3 x 2 ? 14x ? 14 ? 1; x 2 ? 6x ? 8



2x ? 1 2x ? 1 > ; x ? 3 3x ? 2

( x ? 1) 2 ( x ? 2) ⑻ ? 0; ( x ? 3)(x ? 4)

2:解不等式: 1、

x ?3 ?0 2? x

2、

2x ?1 ?1 x?3

3、

x 2 ? 3x ? 2 ?0 x2 ? 2 x ? 3

4、

x2 ? 2 x ?1 ?0 x?2

? x ? 1? ? x 2 ? x ? 6 ? 5、 ?0 2 ? x ? 3?
3

6、

x ? x ? 3? ?0 9 ? x2


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