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2014年秋《全优课堂》高中数学(配人教A版,必修一)同步课件:第二章+基本初等函数(9份)2.3


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2.3 幂函数

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自学导引
y=xα 的函数叫做幂函数,其中x是自 1.一般地,形如________

变量,α是常数.

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2.在同一平面直角坐标系中,画出幂函数 y=x,y=x2, y=x
3

1 ,y=x2

,y=x-1 的图象.

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3.填写下表
函数 定义域 y=x R y=x2 y=x3 R
1 y=x2

y=x-1 {x|x∈R 且 x≠0}

R ______ [0 ,+∞) ______


[0 ,+∞) ______ [0 ,+∞) ______
非奇 非偶

值域

R

R

{y|y∈R _________

且y≠0} ________
奇 ______

奇偶性

奇 ______

奇 ______

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y=x 单 调 性 定 点 增

y=x

2

y=x

3

1 y=x2

y=x

-1

,+∞) x∈[0 _______
时,增 增 增

(0,+∞) x∈___________
时,减 x∈___________ (-∞,0) 时,减

-∞,0] x∈(______
时,减

(1,1)(0,0)

(1,1) ______

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自主探究
1.y=1和y=x0(x≠0)一样吗?它们都是幂函数吗?
【答案】 不一样, y = 1 不是幂函数, y = x0(x≠0) 是幂函 数. 2.幂函数与指数函数有什么区别? 【答案】指数函数y=ax(a>0且a≠1)的底数a为常数,指数

为变量;幂函数 y = xα(α∈R) 以幂的底为自变量,指数 α 为常
数.

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预习测评
1.下列函数中,是幂函数的有(
1 A.y=-x2

)

B.y=3x2 D.y=2x

1 C.y=x
【答案】C

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2.给出四个说法:

①当n=0时,y=xn的图象是一个点;
②幂函数的图象都经过点(0,0),(1,1); ③幂函数的图象不可能出现在第四象限; ④幂函数y=xn在第一象限为减函数,则n<0. 其中正确的说法个数是( )

A.1
C.3

B.2
D.4

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【答案】B 解析:①中y=xn,当n=0时,y=1(x≠0);②中幂函数y= x-1的图象不经过点(0,0);③④正确.

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3.幂函数 f(x)的图象过点(3, 3),则 f(x)的解析式是 ________.
1 【答案】f(x)=x2

解析:设 f(x)=x ,则有 3 =

α

α

1 3=32

1 ?α=2.

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4 . 幂 函 数 f(x) = (m2 - 5m + 7)xm - 2 为 奇 函 数 , 则 m = ________.

【答案】3
解析:∵f(x)是幂函数,∴m2-5m+7=1, 解得m=2或m=3. 当m=2时,f(x)=1(x≠0)不是奇函数; 当m=3时,f(x)=x是奇函数.

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要点阐释
1.幂函数的概念

一般地,形如y=xα(α∈R)的函数称为幂函数,其中x是自
变量,α是常数.

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幂函数的特征: (1)以幂的底为自变量,指数为常数 (高中阶段只学习指数 为有理数的幂函数);

(2)xα前的系数为1,项数只有1项.
要注意幂函数与指数函数 y = ax(a>0 且 a≠1) 的区别,这里 底数a为常数,指数为变量.

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2.五个具体幂函数的图象与性质

1 当 α=1,2,3,2,-1 时,在同一平面直角坐标系内作这 五个幂函数的图象,如图所示.观察图象可以得到幂函数的 性质如下:

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(1) 在 区 间 (0 , + ∞ ) 上 都 有 定 义 , 并 且 图 象 都 通 过 点
(1,1); (2)如果α>0,则幂函数的图象通过原点,并且在区间[0, +∞)上是增函数; (3)如果α<0,则幂函数在区间(0,+∞)上是减函数,在第

一象限内,当x从右边趋向原点时,图象在y轴右方无限地逼近
y轴;当x趋于+∞时,图象在x轴上方无限地逼近x轴;
(4)当 α=1,3,-1 时,幂函数为奇函数;当 α=2 时,幂 1 函数为偶函数;当 α=2时,幂函数既不是奇函数也不是偶函 数.

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说明:对于五个具体的幂函数在第一象限的图象的大致情 况可以归纳为 “ 正抛负双,大竖小横 ” 这一记忆的口诀.即 α>0(α≠1) 时的图象是抛物线型, α>1 时的图象是竖直抛物线 型, 0<α<1 时的图象是横卧抛物线型, α<0 时的图象是双曲线 型.

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典例剖析
题型一 幂函数的概念 【例1】 已知函数f(x)=(m2+2m)·x
m2 +m-1

,m为何值时,f(x)

是: (1) 正比例函数; (2) 反比例函数; (3) 二次函数; (4) 幂函

数.
思路点拨:根据函数的定义求解.

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解:(1)若 f(x)为正比例函数,则
2 ? ?m +m-1=1, ? 2 ? ?m +2m≠0

?m=1.

(2)若

2 ? m ? +m-1=-1, f(x)为反比例函数,则? 2 ? ?m +2m≠0

?m=-1. (3)若
2 ? m ? +m-1=2, f(x)为二次函数,则? 2 ? ?m +2m≠0

-1± 13 ? m= . 2 (4)若 f(x)为幂函数,则 m2+2m=1,∴m=-1± 2.

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1.函数f(x)= (m2 - m-1)xm2 + m-3 是幂函数且当 x∈(0,+

∞)时,f(x)是增函数,求f(x)的解析式.
解:根据幂函数的定义,得m2-m-1=1, 解得m=2或m=-1, 当m=2时,f(x)=x3在(0,+∞)上是增函数; 当 m =- 1 时, f(x) = x - 3 在 (0 ,+ ∞ ) 上是减函数,不符合

要求.故f(x)=x3.

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题型二

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利用幂函数的单调性比较大小

【例 2】 比较下列各组数中两个数的大小.

思路点拨:借助幂函数、指函数的单调性或中间量进行比 较.

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解:(1)函数

7 y=x8

在(0,+∞)上单调递增,

?1?7 ?1?7 1 1 又8>9,∴?8?8 >?9?8 . ? ? ? ?

(2)y=x ∴3




5 2

在(0,+∞)上为减函数,又 3<3.1,


5 2

>3.1

5 2

.

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? 2? (3)?-3? ? ?



2 3

?2?-2 =?3? 3 ? ?
2 3

? π?-2 ,?-6? 3 ? ?

?π?-2 =? 6 ? 3 ? ?

.

函数 y=x



在(0,+∞)上为减函数,

?2?-2 ?π?-2 2 π 又3>6,∴?3? 3 <?6? 3 . ? ? ? ? ? 2?-2 ∴?-3? 3 ? ? ? π?-2 <?-6? 3 ? ?

.

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(4)由幂函数的单调性,知 0.20.6<0.30.6, 又由指数函数单调性,知 0.30.6<0.30.4, ∴0.20.6<0.30.4. (5)9 ∴9


7 8

?1?7 =?9?8 ? ? ?8?6 <?9?7 ? ?

?1?6 <?9?7 ? ?

?8?6 <?9?7 ? ?

.



7 8

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2.试比较下列各组数的大小:
3 (1)2.15 3 ,π5



(2)(- 2)



1 3

,(-1.4)



1 3

.

3 解:(1)∵y=x5 3 ∴2.15 3 <π5

为 R 上的增函数,又 2.1<π,

.

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1 (2)∵y=x-3

为(-∞,0)上的减函数,

又- 2<-1.4<0, ∴(- 2)


1 3

>(-1.4)



1 3

.

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题型三

幂函数性质的综合应用

【例 3】 已知幂函数 y=x3m-9(m∈N*)的图象关于 y 轴对 称且在(0, +∞)上函数值随 x 的增大而减小, 求满足(a+1)
m 3


<(3-2a)



m 3

的 a 的取值范围.

思路点拨:先利用已知的三个条件求出 m的值,再利用幂 函数的单调性求a的取值范围,注意分类讨论.

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解:∵函数在(0,+∞)上递减, ∴3m-9<0,解得 m<3,又 m∈N*, ∴m=1 或 m=2. 又函数图象关于 y 轴对称,∴3m-9 为偶数,故 m=1, ∴有(a+1)


1 3

<(3-2a)



1 3

.

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1 3

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又 y=x



在(-∞,0),(0,+∞)上均单调递减,

∴a+1>3-2a>0 或 0>a+1>3-2a 或 a+1<0<3-2a, 解 2 3 得3<a<2或 a<-1. ∴a
? ?2 ? 3 的取值范围为?a?3<a<2或a<-1? ? ? ?

.

方法点评:(1)解决与幂函数有关的综合题时,一定要考虑 幂函数的定义.(2)幂函数y=xα,由于α的值不同,单调性和奇 偶性也就不同.

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3.讨论函数
2 解:∵y=x5

2 y=x5

的定义域、值域、奇偶性、单调性、

并画出函数图象的草图.

5 = x2≥0,∴函数 y=f(x)的定义域为 R,

值域为[0,+∞).

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∵f(-x)=(-x)
2 5

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2

= ?-x? = x

5

5

2

2 =x5

=f(x),

∴f(x)是偶函数.

2 由于5>0,∴f(x)在[0,+∞)上单调递增,又 f(x)是偶函 数,
2 ∴f(x)在(-∞,0]上单调递减,y=x5

图象的草图如图所

示.

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误区解密

因对幂函数的单调性理解不透而出错

【例4】 若(a+1)-1<(3-2a)-1,求实数a的取值范围.
错解:考查幂函数 f(x)=x-1,因为该函数为减函数, 所以由(a+1)-1<(3-2a)-1, 2 得 a+1>3-2a,解得 a>3. 故实数 a
?2 ? 的取值范围是?3,+∞?. ? ?

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错因分析:函数f(x)=x-1在(-∞,0)和(0,+∞)上均为减

函数,但在 ( - ∞ , 0)∪(0 ,+∞ ) 上不具有单调性,错解中错
用了函数单调性,从而导致错误.

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正解:考查幂函数 f(x)=x 1,由于该函数在(-∞,0)及 (0,+∞)上均为减函数, 所以由(a+1) <(3-2a)
-1 -1

? ?a+1<0, ,得? ? ?3-2a>0,

或 a+1>3-2a>0,或 3-2a<a+1<0, 2 3 解得 a<-1 或3<a<2. 故实数 a
?2 3? 的取值范围是(-∞,-1)∪?3,2?. ? ?

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纠错心得:函数的单调性是函数的重要性质,运用单调性 时可结合函数的图象进行.幂函数 y = x - 1 的单调性很容易出 错,要正确运用.

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课堂总结
n 1. 求幂函数的定义域时要看指数的正负和指数m中的 m n 是否为偶数;判断幂函数的奇偶性时要看指数m中的 m,n n 是奇数还是偶数.y=x , 当 α=m(m,n∈N*,m,n 互质)
α

时,有:

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n

m

n y=xm

的奇偶性

定义域 [0,+∞) (-∞,+∞) (-∞,+∞)

奇数 偶数 偶数 奇数 奇数 奇数

非奇非偶函数 偶函数 奇函数

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2.幂函数

n y=xm

n 的单调性,在(0,+∞)上,m>0 时为增

n 函数,m<0 时为减函数.



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