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二00八年高中数学联赛四川赛区初赛试题参考答案及评分标准


二 00 八年高中数学联赛四川赛区初赛试题 参考答案及评分标准
说明: 1、评阅试卷时,请依据评分标准.选择题和填空题只设 5 分和 0 分两档;其它各 题的评阅,请严格按照评分标准规定的评分档次给分,不要再增加其它中间档次. 2、如果考生的解答题方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评阅时 可参考本评分标准适当划分档次评分,5 分一个档次,不要再增加其它中间档次

.

一、选择题(本大题满分 30 分,每小题 5 分) 1、B 2、A 3、C 4、B 5、B 6、C

二、填空题(本大题满分 30 分,每小题 5 分) 7、8 8、 ?2 9、3 10、

3? 2 2 4

11、108

12、

1 4

三、解答题(本大题满分 80 分,每小题 20 分) 13、是否存在一个二次函数 f ( x) ,使得对任意的正整数 k ,当 x ? 55 ? 5 时,都 ? ? ?
k 个5

有 f ( x) ? 55 ? 5 成立?请给出结论,并加以证明. ? ? ?
2 k 个5

解:存在符合条件的二次函数. 设 f ( x) ? ax2 ? bx ? c ,则当 k ? 1, 2,3 时有: f (5) ? 25a ? 5b ? c ? 55

…5 分 ①;

f (55) ? 3025a ? 55b ? c ? 5555

②; f (555) ? 308025a ? 555b ? c ? 555555 ③.

9 5 9 下面证明:二次函数 f ( x) ? x2 ? 2 x 符合条件. 5

联立①、②、③,解得 a ? , b ? 2, c ? 0 .于是, f ( x) ?

9 2 x ? 2x .10 分 5

5 ? 5 ?( 5 1 ? 10 ? 100 ? ? ? 10k ?1 ) ? (10k ? 1) , 因为 55 ? ? ? 9 k 个5 5 ? 5 ? (102 k ? 1) ; 同理: 55 ? ? ? 9 2 k 个5
…15 分

5 9 5 5 f (55?5) ? f ( (10k ? 1)) ? [ (10k ? 1)]2 ? 2 ? (10k ? 1) ??? 9 5 9 9
k 个5

5 5 5 5 ? 5. ? (10k ? 1)2 ? 2 ? (10k ? 1) ? (10k ? 1)(10k ? 1) ? (102 k ? 1) ? 55 ? ? ? 9 9 9 9 2 k 个5

第 1 页 共 3 页

所以,所求的二次函数 f ( x) ?

9 2 x ? 2x 符合条件. 5

……20 分

??? ? ??? ? 14、设 F 是抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点, A、 B 为抛物线上异于原点 O 的两点,且满足 FA ? FB ? 0 .延长
AF 、BF 分别交抛物线于点 C、D (如图) .求四边形 ABCD 面积的最小值.
A

解:设 A (x1 , y1 )、C ( x2 , y2 ) ,由题设知,直线 AC 的斜率存在,设为 k .
B

因直线 AC 过焦点 F (1,0) ,所以,直线 AC 的方程为 y ? k ( x ? 1) .
C

F

? y ? k ( x ? 1) 联立方程组 ? 2 ,消 y 得 k 2 x2 ? 2(k 2 ? 2) x ? k 2 ? 0 y ? 4 x ?
2k 2 ? 4 由根与系数的关系知:x1 ? x2 ? ,x1 x2 ? 1 k2
分 于是 | AC |? (x1 ? x2 )2 ? (y1 ? y2 )2 ? 1 ? k 2 (x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ……5

D

? 1? k

2

? 2k 2 ? 4 ? 4(1 ? k 2 ) ? ? 4 ? ? 2 k2 ? k ?

2

……10 分

又因为 AC ? BD ,所以直线 BD 的斜率为 ?

1 , k

从而直线 BD 的方程为: y ? ? ( x ? 1) ,同理可得 | BD |? 4(1 ? k 2 ) .……15 分 故 S ABCD

1 k 1 8(1 ? k 2 ) 2 1 ? | AB | ? | CD |? ? 8( k 2 ? 2 ? 2) ? 8 ? (2 ? 2) ? 32 2 2 k k

当 k ? ?1 时等号成立.所以,四边形 ABCD 的最小面积为 32.

……20 分

15、已知⊙ O 与 ?ABC 的边 AB、AC 分别相切于 P 和 Q ,与 ?ABC 外接圆相切于 D , M 是 PQ 的中 点(如图) .橙子奥数工作室欢迎您.求证: ?POQ ? 2?MDC . 证明:如图,连结 AO、AD、DO和DQ . ∵ AP、AQ 分别与⊙ O 相切于 P、 Q ∴ AP ? AQ ∵ OP 和 OQ 都是⊙ O 的半径,
P M O D B Q C A

K

?APO ? ?AQO ? 90?
∴ 由对称性知 ?POQ ? 2?AOQ ,且 OA ? PQ 于 M . ∴ OD2 ? OQ2 ? OM ? OA ,即

……5 分

OD OA ? OM OD

……10 分

又∵ ?DOM ? ?AOD ,∴ ?DOM ∽ ?AOD

第 2 页 共 3 页

∴ ?ODM ? ?OAD

……15 分

过 D 作两圆的公切线 DE ,则 ?CDE ? ?CAD 又∵ OD ? DE ,即 ?ODE ? 90? ∴ ?MDC ? 90? ? ?ODM ? ?COE ? 90? ? ?OAD ? ?DAC

? 90? ? ?OAQ ? ?AOQ
故 ?POQ ? 2?MDC . ……20 分

16、已知 1 ? ai ? 7 , i ? 1, 2,? , n ,其中正整数 n ? 2 . (1)求证:对于一切的正整数 i ,都有
n

1 1 2 ? ? ; 2 a ? 1 7 ? ai 3
2 i

(2)求 S ? ?
i ?1

1 (a ? 1)(7 ? ai2?1 )
2 i

的最小值,其中约定 an?1 ? a1 .

(1)证明:对于一切的正整数 i ,

1 1 6 6 2 ? ? 2 ? ? .5 分 2 2 2 2 2 a ? 1 7 ? ai (ai ? 1)(7 ? ai ) ? a ? 1 ? 7 ? a ? 3 i i ? ? 2 ? ?
2 i

(2)由 Cauchy 不等式知 S ? ?
i ?1

n

1 (ai2 ? 1)(7 ? ai2?1 )

?

n2

?
i ?1

n

……10 分

( ai2 ? 1)(7 ? ai2?1 )

?

n2 n2 n ? ? 2 2 2 2 n n (ai ? 1) ? (7 ? ai ?1 ) a ? ai ?1 3 ( i ? 3) ? ? 2 2 i ?1 i ?1

……15 分

当 a1 ? a2 ? ? ? an ? 2 时,等于成立,所以 S 有最小值

n .…20 分 3

第 3 页 共 3 页


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