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第一章习题课排列与组合


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习题课

【学习要求】 进一步深化排列与组合的概念,了解组合的两个性质;综合
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运用排列组合解决计数问题. 【学法指导】 本节学习过程中,注意以下几点: (1)注意区别“恰好”与 “至少”; (2)特殊元素 (或位置 )优先安排; (3)“相邻”用 “

捆绑”,“不邻”就“插空”;(4)混合问题,先“组”后 “排”.

试一试·双基题目、基础更牢固

习题课

1.下列问题中是组合问题的个数是
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( B )

①从全班 50 人中选出 5 名组成班委会; ②从全班 50 人中选出 5 名分别担任班长、副班长、团支 部书记、学习委员、生活委员; ③从 1,2,3,?,9 中任取出两个数求积; ④从 1,2,3,?,9 中任取出两个数求差或商. A.1 解析 B. 2 C.3 D.4 ①③与顺序无关,属于组合问题,②④与顺序有

关,属于排列问题.

试一试·双基题目、基础更牢固

习题课

2.有三张参观券,要在 5 人中确定 3 人去参观,不同方法的 种数是________ 10 .
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解析

不同方法为 C3 5=10(种).

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3.要从 5 件不同的礼物中选出 3 件分送 3 位同学,不同方法
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的种数是________ 60 .
3 解析 不同方法为 A5 =5×4×3=60(种).

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4.5 名工人要在 3 天中各自选择 1 天休息,不同方法的种数

243 . 是________
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解析 不同方法为 35=243(种).

研一研·题型解法、解题更高效

习题课

题型一
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组合数的两个性质
3 3 2 3 4 5 (1)计算:①C10 和 C7 ;② C - C 与 C ;③ C + C 10 7 6 6 11 11与

例 1 C5 12.

(2)由 (1)中计算,你有没有发现一些规律,能不能总结并证 明一下? 解 (1)①120 120 ②20 20 ③792 792
(2)组合数具备以下两个性质:
n-m m m m-1 ①Cm = C ; ② C = C + C + n n n 1 n n . 证明如下: n! n! n-m ①∵Cn = = , ?n-m?![n-?n-m?]! m!?n-m?!

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n! m n-m 又 ,∴Cn =Cn . m!?n-m?! n! n! m m-1 ②Cn +Cn = + m!?n-m?! ?m-1?![n-?m-1?]! Cm n=
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习题课

n!?n-m+1?+n!m ?n-m+1+m?n! = = m!?n-m+1?! m!?n-m+1?!
?n+1?! = =Cm n+1, m!?n-m+1?!
m m-1 ∴Cm n+1=Cn +Cn .

n 小结 第一个性质常用于 m> 时组合数的计算,该性质可较大 2 幅度地减少运算量;第二个性质常用于恒等式变形和证明等式.

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跟踪训练 1

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199 3 4 5 6 (1)C98 100+C200;(2)C7+C7+C8+C9.

100×99 98 199 2 1 (1)C100+C200=C100+C200= +200=5 2×1

150.

4 5 6 5 6 6 (2)原式=C8 +C8 +C9 =C9 +C9 =C10 =C4 10=210.

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习题课

题型二 分组分配问题 例 2 将 6 本不同的书,分配给甲、乙、丙三人,问如下分配 的分配方法各有多少种?
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(1)甲一本,乙两本,丙三本? (2)其中有一人一本,有一人两本,有一人三本? (3)甲、乙、丙每人两本? (4)分成三堆,每堆两本?
1 解 (1)甲一本,有 C6 种取法;乙从剩余的 5 本中任取 2 本, 3 1 2 3 有 C2 C5· C3种取法. 5种取法;丙有 C3种取法,故有 C6·

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(2)有一人一本, 有一人两本, 有一人三本, 没指定哪个人几本, 故在(1)的情况下,甲、乙、丙手中的书可以任意交换,故有
1 2 3 3 C6 · C5· C3 · A3种分配法.
2 2 (3)同(1)一样,甲、乙、丙依次去取书,共有 C2 · C C2种取法, 6 4·

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2 2 即共有 C2 · C C2种分配方法. 6 4·

(4)分成三堆,每堆两本,注意与(3)中的情况不同,假如在(3) 中甲选 AB,乙选 CD,丙选 EF,这是一种分法,将 AB,CD, EF 任意交换得到甲、乙、丙不同的分法.如甲 CD,乙 AB, 丙 EF 或甲 EF,乙 AB,丙 CD,?,而分成三堆都属于同一 C2 C2 C2 6· 4· 2 种分法.故应有 A3 种分法. 3 小结 分组问题是组合问题,分配问题是排列问题,“分组”

方法与“组合数”是不同的概念.

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习题课

跟踪训练 2 有 9 本不同的课外书,分给甲、乙、丙三名同学, 求在下列条件下,各有多少种不同的分法? (1)甲得 4 本,乙得 3 本,丙得 2 本;
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(2)一人得 4 本,一人得 3 本,一人得 2 本; (3)甲、乙、丙各得 3 本.
4 3 2 解 (1)由题意得:C9 C5C2=1 260,

所以甲得 4 本,乙得 3 本,丙得 2 本的分法共有 1 260 种. (2)一人得 4 本, 一人得 3 本, 一人得 2 本, 这件事分两步完成.
3 2 第一步:按 4 本、3 本、2 本分成三组,有 C4 C 9 5C2种方法;
3 第二步:将分成的三组书分给甲、乙、丙三个人,有 A3 种

方法.

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根据分步乘法计数原理知,共有不同的分法
4 3 2 3 C9 C5C2A3=7 560(种).

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所以一人得 4 本, 一人得 3 本, 一人得 2 本的分法共有 7 560 种.
(3)用与(1)相同的方法求解,得
3 3 C3 9C6C3=1 680(种).

所以甲、乙、丙各得 3 本的分法共有 1 680 种.

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题型三 排列组合综合应用

习题课

例 3 从 6 名短跑运动员中选 4 人参加 4×100 米接力赛,如 果甲不能跑第一棒,乙不能跑第四棒,问共有多少种参赛 方法?
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把所选取的运动员的情况分为三类.

4 第一类:甲、乙两人均不参赛,有 A4 =24(种); 3 4 3 第二类:甲、乙两人有且只有 1 人参赛,共有 C1 C (A - A 2 4 4 3)

=144(种); 4 3 2 第三类:甲、乙两人都参赛,有 C2 4(A4-2A3+A2)=84(种). 由分类加法计数原理知,所有的参赛方法共有 24+144+84= 252(种).

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小结
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排列与组合的综合问题,首先要分清何时为排列,何时

为组合.对含有特殊元素的排列组合问题,一般先进行组合, 再进行排列.对特殊元素的位置有要求时,在组合选取时,就 要进行分类讨论,分类的原则是不重、不漏.在用间接法计数 时,要注意考虑全面,排除干净.

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跟踪训练 3 现安排甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学参加某项服 务活动,每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一,每 项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其他三项工 作,丙、丁、戊都能胜任四项工作,则不同安排方案的种数是
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A.152

B.126

C.90

( B ) D.54

解析 按从事司机工作的人数进行分类:

(1)有 1 人从事司机工作:
2 3 1 1 2 2 C1 C A ( 或 C 3 4 3 3C3C4A2)=108(种);
2 3 (2)有 2 人从事司机工作:C3 · A3=18(种). ∴不同安排方案的种数是 108+18=126.

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x 2x 1 6 1.若 C2 + C = C 3或6 17 17 18,则 x=________.


x 2x 1 2x 解析 ∵C2 + C = C 17 17 18,


x 6 ∴C2 = C 18 18,

∴2x=6 或 2x+6=18,∴x=3 或 6.

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2 2 2 2.计算:C2 + C + C +?+ C 165 2 3 4 10=________. 3 解析 ∵C2 2=C3, 2 2 2 2 ∴原式=C3 3+C3+C4+C5+?+C10

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2 2 2 2 =C3 4+C4+C5+C6+?+C10 2 3 =?=C3 + C = C 10 10 11=165.

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3. 将 4 个颜色互不相同的球全部放入编号为 1 和 2 的两个盒子 里,使得放入每个盒子里球的个数不小于该盒子的编号,则 不同的放球方法有________ 种. 10
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解析

3 有两种放球方案:①1 号中 1 个,2 号中 3 个,有 C1 4C3=

4(种);
2 C2 4C2 2 ②1 号中 2 个,2 号中 2 个,有 2 · A =6(种). A2 2 ∴共有 10 种不同的放球方法.

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4. 某电视台连续播放 5 个广告, 其中有 3 个不同的商业广告和 2 个不同的奥运宣传广告,要求最后播放的必须是奥运宣传 广告, 且 2 个奥运宣传广告不能连续播放, 则不同的播放方
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式有________ 36 种. 解析 先安排后 2 个,再安排前 3 个,由分步乘法计数原
1 1 3 理知,共有 C2 C3A3=36(种)不同的播放方式.

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1.恰当利用组合数的两个性质,可使问题简化. 2.解排列、组合综合题一般是先选元素、后排元素,或充分
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利用元素的性质进行分类、分步,再利用两个基本计数原 理作最后处理. 3 .对于较难直接解决的问题则可用间接法,但应做到不重 不漏. 4.对于分配问题,解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有 关,对于平均分组问题更要注意顺序,避免计数的重复或 遗漏.


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