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【考点训练】角的计算-2


【考点训练】角的计算-2
一、选择题(共 6 小题) 1. (2015?武威校级二模)如图,将一副三角板叠放在一起,使直角的顶点重合于 O,则 ∠AOC+∠DOB=( )

A.90° B.120° C.160° D.180° 2. (2014 秋?围场县校级期末)α,β 都是钝角,甲、乙、丙、丁计算, (α+β)的结果依 次为 50°,26°,72°,90°,其中有正确的结果,则计算正确的是( A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 )

3. (2013 秋?晋江市期末)将一副三角板的直角顶点重合放置于 A 处(两块三角板可以在同 一平面内自由转动) ,下列结论一定成立的是( )

A.∠BAE>∠DAC B.∠BAE﹣∠DAC=45° C.∠BAE+∠DAC=180° D.∠BAD≠∠EAC 4. (2014 秋?裕安区期末) 如图, 将长方形纸片 ABCD 的角 C 沿着 GF 折叠 (点 F 在 BC 上, 不与 B,C 重合) ,使点 C 落在长方形内部点 E 处,若 FH 平分∠BFE,则∠GFH 的度数 α 是( )

A.90°<α<180° B.0°<α<90° C.α=90° D.α 随折痕 GF 位置的变化而变化
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5. (2014?佛山)若一个 60°的角绕顶点旋转 15°,则重叠部分的角的大小是( A.15° B.30° C.45° D.75°



6. (2014?滨州) 如图, OB 是∠AOC 的角平分线, OD 是∠COE 的角平分线, 如果∠AOB=40°, ∠COE=60°,则∠BOD 的度数为( )

A.50° B.60° C.65° D.70°

二、填空题(共 5 小题) (除非特别说明,请填准确值) 7. (2015 春?龙口市期中)如图,将一张长方形纸按照如图所示的方法对折,两条虚线为折 痕,这两条折痕构成的角的度数是 .

8. (2015?建湖县一模)如图,将一副直角三角板叠在一起,使直角顶点重合于点 O,则 ∠AOB+∠DOC= 度.

9. (2014?南平)将矩形 ABCD 沿 AE 折叠,得到如图的图形.已知∠CEB′=50°,则 ∠AEB′= °.

10. (2014?黄冈模拟)若两个角的两边分别平行,而一个角比另一个角的 3 倍少 30°,则两 个角的度数分别是 .
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11. (2014?黔西南州)如图,将矩形纸片 ABCD 折叠,使边 AB、CB 均落在对角线 BD 上, 得折痕 BE、BF,则∠EBF= °.

三、解答题(共 7 小题) (选答题,不自动判卷) 12. (2015 春?万州区期末)如图,OM 是∠AOC 的平分线,ON 是∠BOC 的平分线. (1)如图 1,当∠AOB 是直角,∠BOC=60°时,∠MON 的度数是多少? (2)如图 2,当∠AOB=α,∠BOC=60°时,猜想∠MON 与 α 的数量关系; (3)如图 3,当∠AOB=α,∠BOC=β 时,猜想∠MON 与 α、β 有数量关系吗?如果有,

指出结论并说明理由.

13. (2014?郸城县校级模拟)已知,OM、ON 分别是∠AOC,∠BOC 的角平分线.

(1)如图 1,若∠AOB=120°,∠BOC=30°,则∠MON= . (2)如图 1,若∠AOB=120°,∠BOC=β°,能否求出∠MON 的度数?若能,求出其值,若 不能,试说明理由; (3)如图 2,若∠AOB=α°,∠BOC=β°,是否仍然能求出∠MON 的度数,若能,求∠MON 的度数(用含 α 或 β 的式子表示) ,并从你的求解过程中总结出你发现的规律. 14. (2015 春?定州市期中)如图所示,直线 AB、CD、EF 交于点 O,OG 平分∠BOF,且 CD⊥EF,∠AOE=70°,求∠DOG 的度数.

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15. (2015 春?重庆校级期中) 如图, AB 和 CD 相交于点 O, ∠DOE=90°, 若∠BOE= ∠AOC. (1)指出与∠BOD 相等的角,并说明理由; (2)求∠BOD,∠AOD 的度数.

16. (2015 春?无棣县期中)如图:AB,CD,EF 相交于 O 点,AB⊥CD,OG 平分∠AOE, ∠FOD=30°,求∠BOE 及∠AOG 的度数.

17. (2014 秋?安岳县期末)已知:如图,∠AOB 是直角,∠AOC=40°,ON 是∠AOC 的平 分线,OM 是∠BOC 的平分线. (1)求∠MON 的大小; (2)当锐角∠AOC 的大小发生改变时,∠MON 的大小是否发生改变?为什么?

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18. (2013 秋?天柱县期末)如图,已知直线 AB 和 CD 相交于点 O,∠COE 是直角,OF 平 分∠AOE. (1)写出∠AOC 与∠BOD 的大小关系: ,判断的依据是 ; (2)若∠COF=35°,求∠BOD 的度数.

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【考点训练】角的计算-2
参考答案与试题解析

一、选择题(共 6 小题) 1. (2015?武威校级二模)如图,将一副三角板叠放在一起,使直角的顶点重合于 O,则 ∠AOC+∠DOB=( )

A.90° B.120° C.160° D.180° 【考点】角的计算. 【分析】因为本题中∠AOC 始终在变化,因此可以采用“设而不求”的解题技巧进行求解. 【解答】解:设∠AOD=a,∠AOC=90°+a,∠BOD=90°﹣a, 所以∠AOC+∠BOD=90°+a+90°﹣a=180°. 故选 D. 【点评】 本题考查了角度的计算问题, 在本题中要注意∠AOC 始终在变化, 因此可以采用“设 而不求”的解题技巧进行求解.
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2. (2014 秋?围场县校级期末)α,β 都是钝角,甲、乙、丙、丁计算, (α+β)的结果依 次为 50°,26°,72°,90°,其中有正确的结果,则计算正确的是( A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 【考点】角的计算. 【专题】计算题. 【分析】本题是对钝角定义的考查,求解时可根据定义求得结果. 【解答】解:∵α,β 都是钝角,所以大于 90°,小于 180°, ∴180°<(α+β)<360°,
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∴30°< (α+β)<60°,则只有 50°符合要求. 故选 A. 【点评】本题是钝角的定义的考查,利用不等式的性质求解. 3. (2013 秋?晋江市期末)将一副三角板的直角顶点重合放置于 A 处(两块三角板可以在同 一平面内自由转动) ,下列结论一定成立的是( )

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A.∠BAE>∠DAC B.∠BAE﹣∠DAC=45° C.∠BAE+∠DAC=180° D.∠BAD≠∠EAC 【考点】角的计算. 【分析】利用直角三角板的知识和角的和差关系计算. 【解答】解:因为是直角三角板,所以∠BAC=∠DAE=90°, 所以∠BAD+∠DAC+∠CAE+∠DAC=180°, 即∠BAE+∠DAC=180°. 故选 C. 【点评】本题是有公共部分的直角计算问题,关键是不要漏掉公共部分.
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4. (2014 秋?裕安区期末) 如图, 将长方形纸片 ABCD 的角 C 沿着 GF 折叠 (点 F 在 BC 上, 不与 B,C 重合) ,使点 C 落在长方形内部点 E 处,若 FH 平分∠BFE,则∠GFH 的度数 α 是( )

A.90°<α<180° B.0°<α<90° C.α=90° D.α 随折痕 GF 位置的变化而变化 【考点】角的计算. 【专题】计算题. 【分析】 根据折叠的性质可以得到△ GCF≌△GEF, 即∠CFG=∠EFG, 再根据 FH 平分∠BFE 即可求解. 【解答】解:∵∠CFG=∠EFG 且 FH 平分∠BFE. ∠GFH=∠EFG+∠EFH
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∴∠GFH=∠EFG+∠EFH= ∠EFC+ ∠EFB= (∠EFC+∠EFB)= ×180°=90°. 故选 C. 【点评】本题主要考查了折叠的性质,注意在折叠的过程中存在的相等关系. 5. (2014?佛山)若一个 60°的角绕顶点旋转 15°,则重叠部分的角的大小是( A.15° B.30° C.45° D.75° 【考点】角的计算. 【分析】先画出图形,利用角的和差关系计算.
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【解答】解:∵∠AOB=60°,∠BOD=15°, ∴∠AOD=∠AOB﹣∠BOD=60°﹣15°=45°, 故选:C.

【点评】本题考查了角的计算,注意先画出图形,利用角的和差关系计算. 6. (2014?滨州) 如图, OB 是∠AOC 的角平分线, OD 是∠COE 的角平分线, 如果∠AOB=40°, ∠COE=60°,则∠BOD 的度数为( )

A.50° B.60° C.65° D.70° 【考点】角的计算;角平分线的定义. 【专题】计算题. 【分析】 先根据 OB 是∠AOC 的角平分线, OD 是∠COE 的角平分线, ∠AOB=40°, ∠COE=60° 求出∠BOC 与∠COD 的度数,再根据∠BOD=∠BOC+∠COD 即可得出结论. 【解答】 解: ∵OB 是∠AOC 的角平分线, OD 是∠COE 的角平分线, ∠AOB=40°, ∠COE=60°,
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∴∠BOC=∠AOB=40°,∠COD= ∠COE= ×60°=30°, ∴∠BOD=∠BOC+∠COD=40°+30°=70°. 故选:D. 【点评】本题考查的是角的计算,熟知角平分线的定义是解答此题的关键. 二、填空题(共 5 小题) (除非特别说明,请填准确值) 7. (2015 春?龙口市期中)如图,将一张长方形纸按照如图所示的方法对折,两条虚线为折 痕,这两条折痕构成的角的度数是 90° .

【考点】角的计算. 【分析】根据折叠所得的角相等,∠1 与∠2 的关系,∠3 与∠4 的关系,根据角的和差,可 得答案.
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【解答】解:如图:

, 将一张长方形纸按照如图所示的方法对折,两条虚线为折痕, ∴∠1=∠2,3=∠4. ∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°, ∴∠2+∠3=90°, 故答案为:90°. 【点评】本题考查了角的计算,利用了折叠所得的角相等. 8. (2015?建湖县一模)如图,将一副直角三角板叠在一起,使直角顶点重合于点 O,则 ∠AOB+∠DOC= 180 度.

【考点】角的计算. 【专题】计算题. 【分析】先利用∠AOD+∠COD=90°,∠COD+∠BOC=90°,可得 ∠AOD+∠COD+∠COD+∠BOC=180°,而∠BOD=∠COD+∠BOC, ∠AOD+∠BOD=∠AOB,于是有∠AOB+∠COD=180°. 【解答】解:如右图所示, ∵∠AOD+∠COD=90°,∠COD+∠BOC=90°, ∠BOD=∠COD+∠BOC,∠AOD+∠BOD=∠AOB, ∴∠AOD+∠COD+∠COD+∠BOC=180°, ∴∠AOD+2∠COD+∠BOC=180°, ∴∠AOB+∠COD=180°. 故答案是 180.
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【点评】本题考查了角的计算、三角板的度数,注意分清角之间的关系. 9. (2014?南平)将矩形 ABCD 沿 AE 折叠,得到如图的图形.已知∠CEB′=50°,则∠AEB′= 65 °.

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【考点】角的计算;翻折变换(折叠问题) . 【分析】根据折叠前后对应部分相等得∠AEB′=∠AEB,再由已知求解. 【解答】解:∵∠AEB′是△ AEB 沿 AE 折叠而得, ∴∠AEB′=∠AEB. 又∵∠BEC=180°,即∠AEB′+∠AEB+∠CEB′=180°,
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又∵∠CEB′=50°,∴∠AEB′=

=65°,

故答案为:65. 【点评】 本题考查了角的计算以及折叠问题. 图形的折叠实际上相当于把折叠部分沿着折痕 所在直线作轴对称,所以折叠前后的两个图形是全等三角形,重合的部分就是对应量. 10. (2014?黄冈模拟)若两个角的两边分别平行,而一个角比另一个角的 3 倍少 30°,则两 个角的度数分别是 52.5°、127.5°或 15°,15 . 【考点】角的计算. 【分析】利用互补的性质计算. 【解答】解:设另一个角是 x,则这个角是 3x﹣30°. 根据“若两个角的两边互相平行,则这两个角相等或互补”得: x=3x﹣30°或 x+3x﹣30°=180°, 解得 x=15°或 x=52.5°, 15°×3﹣30°=15°, 52.5°×3﹣30°=127.5°, ∴两个角的度数分别是 52.5°、127.5°;15°,15°; 故答案为:52.5°、127.5°或 15°,15°; 【点评】 熟知结论: 若两个角的两边互相平行, 则这两个角相等或互补. 根据题意设未知数, 再列方程进行求解,注意此题的两种情况.
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11. (2014?黔西南州)如图,将矩形纸片 ABCD 折叠,使边 AB、CB 均落在对角线 BD 上, 得折痕 BE、BF,则∠EBF= 45 °.

【考点】角的计算;翻折变换(折叠问题) .

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【分析】根据四边形 ABCD 是矩形,得出∠ABE=∠EBD= ∠ABD, ∠DBF=∠FBC= ∠DBC,再根据∠ABE+∠EBD+∠DBF+∠FBC=∠ABC=90°,得出 ∠EBD+∠DBF=45°,从而求出答案. 【解答】解:∵四边形 ABCD 是矩形, 根据折叠可得∠ABE=∠EBD= ∠ABD,∠DBF=∠FBC= ∠DBC, ∵∠ABE+∠EBD+∠DBF+∠FBC=∠ABC=90°, ∴∠EBD+∠DBF=45°, 即∠EBF=45°, 故答案为:45°. 【点评】 此题考查了角的计算和翻折变换, 解题的关键是找准图形翻折后, 哪些角是相等的, 再进行计算,是一道基础题. 三、解答题(共 7 小题) (选答题,不自动判卷) 12. (2015 春?万州区期末)如图,OM 是∠AOC 的平分线,ON 是∠BOC 的平分线. (1)如图 1,当∠AOB 是直角,∠BOC=60°时,∠MON 的度数是多少? (2)如图 2,当∠AOB=α,∠BOC=60°时,猜想∠MON 与 α 的数量关系; (3)如图 3,当∠AOB=α,∠BOC=β 时,猜想∠MON 与 α、β 有数量关系吗?如果有,

指出结论并说明理由. 【考点】角的计算;角平分线的定义. 【分析】 (1) 求出∠AOC 度数, 求出∠MOC 和∠NOC 的度数, 代入∠MON=∠MOC﹣∠NOC 求出即可; (2)求出∠AOC 度数,求出∠MOC 和∠NOC 的度数,代入∠MON=∠MOC﹣∠NOC 求 出即可; (3)求出∠AOC 度数,求出∠MOC 和∠NOC 的度数,代入∠MON=∠MOC﹣∠NOC 求 出即可. 【解答】解: (1)如图 1,∵∠AOB=90°,∠BOC=60°, ∴∠AOC=90°+60°=150°, ∵OM 平分∠AOC,ON 平分∠BOC,
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∴∠MOC= ∠AOC=75°,∠NOC= ∠BOC=30° ∴∠MON=∠MOC﹣∠NOC=45°.
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(2)如图 2,∠MON= α, 理由是:∵∠AOB=α,∠BOC=60°, ∴∠AOC=α+60°, ∵OM 平分∠AOC,ON 平分∠BOC, ∴∠MOC= ∠AOC= α+30°,∠NOC= ∠BOC=30° ∴∠MON=∠MOC﹣∠NOC=( α+30°)﹣30°= α.

(3)如图 3,∠MON= α,与 β 的大小无关. 理由:∵∠AOB=α,∠BOC=β, ∴∠AOC=α+β. ∵OM 是∠AOC 的平分线,ON 是∠BOC 的平分线, ∴∠MOC= ∠AOC= (α+β) , ∠NOC= ∠BOC= β, ∴∠AON=∠AOC﹣∠NOC=α+β﹣ β=α+ β. ∴∠MON=∠MOC﹣∠NOC = (α+β)﹣ β= α 即∠MON= α. 【点评】本题考查了角平分线定义和角的有关计算,关键是求出∠AOC、∠MOC、∠NOC 的度数和得出∠MON=∠MOC﹣∠NOC. 13. (2014?郸城县校级模拟)已知,OM、ON 分别是∠AOC,∠BOC 的角平分线.

(1)如图 1,若∠AOB=120°,∠BOC=30°,则∠MON= 60° . (2)如图 1,若∠AOB=120°,∠BOC=β°,能否求出∠MON 的度数?若能,求出其值,若 不能,试说明理由; (3)如图 2,若∠AOB=α°,∠BOC=β°,是否仍然能求出∠MON 的度数,若能,求∠MON 的度数(用含 α 或 β 的式子表示) ,并从你的求解过程中总结出你发现的规律.
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【考点】角的计算;角平分线的定义. 【分析】 (1)根据∠AOB=120°,∠BOC=30°,可得∠AOC=∠AOB+∠BOC=120°+30°=150°, 再利用 OM 是∠AOC 的平分线,ON 是∠BOC 的平分线,即可求得答案; (2)根据∠MON=∠MOC﹣∠NOC,又利用∠AOB=120°,∠BOC=β°,由(1)可得出答 案; (3)利用(1) (2)的计算方法得出规律即可. 【解答】解: (1)∵∠AOB=120°,∠BOC=30°, ∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=120°+30°=150°, ∵OM 是∠AOC 的平分线,ON 是∠BOC 的平分线,
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∴∠MOC= ∠AOC,∠NOC= ∠BOC, ∴∠MON=∠MOC﹣∠NOC=75°﹣15°=60°, (2)当∠AOB=120°,∠BOC=β°时, ∴∠MON=∠MOC﹣∠NOC= (120+β)°﹣ °=60°;

(3)由(1) (2)可知: ∴∠MON=∠MOC﹣∠NOC= (α+β)°﹣ β°= α°. ∠MON 的度数始终等于∠AOB 角度的一半. 【点评】此题主要考查角的计算和角平分线的定义等知识点的理解和掌握,难度不大,属于 基础题. 14. (2015 春?定州市期中)如图所示,直线 AB、CD、EF 交于点 O,OG 平分∠BOF,且 CD⊥EF,∠AOE=70°,求∠DOG 的度数.

【考点】角的计算. 【分析】求出∠BOF,根据角平分线求出∠GOF,求出∠EOD,代入∠DOG=180°﹣∠GOF ﹣∠EOD 求出即可. 【解答】解:∵∠AOE=70°, ∴∠BOF=∠AOE=70°, 又∵OG 平分∠BOF,
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∴∠GOF= ∠BOF=35°, 又∵CD⊥EF, ∴∠EOD=90°, ∴∠DOG=180°﹣∠GOF﹣∠EOD=180°﹣35°﹣90°=55°.
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【点评】本题考查了角平分线定义,垂直,邻补角的应用,主要考查学生的计算能力.

15. (2015 春?重庆校级期中) 如图, AB 和 CD 相交于点 O, ∠DOE=90°, 若∠BOE= ∠AOC. (1)指出与∠BOD 相等的角,并说明理由; (2)求∠BOD,∠AOD 的度数.

【考点】角的计算;对顶角、邻补角. 【专题】计算题. 【分析】 (1)利用对顶角找相等的角;

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(2)因为∠BOE= ∠AOC,根据∠AOC=∠BOD 和∠DOE=90°列出等式求解即可. 【解答】解: (1)∠AOC,对顶角相等; (2)∵∠BOD=∠AOC, 又∵∠BOE= ∠AOC, ∴∠BOE= ∠BOD, ∵∠DOE=90°, ∴∠DOE=∠BOE+∠BOD= ∠BOD+∠BOD=90°, 解得∠BOD=60°; ∴∠AOD=180°﹣∠BOD =180°﹣60° =120°. 【点评】 本题考查对顶角相等的性质和根据角的关系列方程求解, 准确识图并弄清各角之间 的关系是解题的关键. 16. (2015 春?无棣县期中)如图:AB,CD,EF 相交于 O 点,AB⊥CD,OG 平分∠AOE, ∠FOD=30°,求∠BOE 及∠AOG 的度数.

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【考点】角的计算;对顶角、邻补角;垂线. 【专题】计算题. 【分析】分析图形可得,∠COE 与∠FOD 是对顶角,又有∠BOC=90°,OG 平分∠AOE, 计算可得答案. 【解答】解:∵∠FOD=30°,∠COE 与∠FOD 是对顶角, ∴∠EOC=30°, ∴∠BOE=∠BOC﹣∠EOC=90°﹣30°=60°;
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∵AB⊥CD, ∴∠BOC=90°, ∵∠AOE=90°+∠EOC=120°,且 OG 平分∠AOE, ∴∠AOG=60°. 【点评】本题考查角的运算,注意角与角之间的倍数与垂直关系即可. 17. (2014 秋?安岳县期末)已知:如图,∠AOB 是直角,∠AOC=40°,ON 是∠AOC 的平 分线,OM 是∠BOC 的平分线. (1)求∠MON 的大小; (2)当锐角∠AOC 的大小发生改变时,∠MON 的大小是否发生改变?为什么?

【考点】角的计算;角平分线的定义. 【专题】计算题. 【分析】 (1)根据∠AOB 是直角,∠AOC=40°,可得∠AOB+∠AOC=90°+40°=130°,再利 用 OM 是∠BOC 的平分线,ON 是∠AOC 的平分线,即可求得答案. (2)根据∠MON=∠MOC﹣∠NOC,又利用∠AOB 是直角,不改变,可得
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. 【解答】解: (1)∵∠AOB 是直角,∠AOC=40°,
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∴∠AOB+∠AOC=90°+40°=130°, ∵OM 是∠BOC 的平分线,ON 是∠AOC 的平分线, ∴ , .

∴∠MON=∠MOC﹣∠NOC=65°﹣20°=45°, (2)当锐角∠AOC 的大小发生改变时,∠MON 的大小不发生改变. ∵ 又∠AOB 是直角,不改变, ∴ . = ,

【点评】此题主要考查角的计算和角平分线的定义等知识点的理解和掌握,难度不大,属于 基础题. 18. (2013 秋?天柱县期末)如图,已知直线 AB 和 CD 相交于点 O,∠COE 是直角,OF 平 分∠AOE. (1)写出∠AOC 与∠BOD 的大小关系: 相等 ,判断的依据是 对顶角相等 ; (2)若∠COF=35°,求∠BOD 的度数.

【考点】角的计算;角平分线的定义;余角和补角. 【专题】计算题. 【分析】 (1)根据对顶角相等填空即可; (2)首先根据直角由已知角求得它的余角,再根据角平分线的概念求得∠AOE,再利用角 的关系求得∠AOC,根据上述结论,即求得了∠BOD. 【解答】解: (1)相等,对顶角相等;
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(2)∵∠COE 是直角,∠COF=35° ∴∠EOF=55° 又 OF 平分∠AOE,∴∠AOE=110° ∴∠AOC=20° ∴∠BOD=∠AOC=20°. 故答案为相等、对顶角相等、20°. 【点评】 (1)理解邻补角的概念,掌握等角的补角相等的性质; (2)正确求得一个角的余角,熟练运用角平分线表示角之间的倍分关系,再根据角之间的 和差关系进行计算.

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