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【课堂新坐标】2015届高考数学(理)一轮总复习课后限时自测:第10章-第4节 随机事件的概率]


课后限时自测
A组 一、选择题 1.在一次投掷骰子的试验中,记事件 A1={出现 4 点},A2={出现大于 3 点},A3={出现小于 6 点},A4={出现 6 点},下列等式中正确的是( A.P(A1+A2)=P(A1)+P(A2) B.P(A1+A3)=P(A1)+P(A3) C.P(A2+A3)=P(A2)+P(A3) D.P(A1+A4)=P(A1)+P(A

4) 【解析】 【答案】 因为 A1 与 A4 是互斥事件,所以 P(A1+A4)=P(A1)+P(A4). D ) 基础训练

1 1 2.已知甲、乙两人下棋,和棋的概率为2,乙胜的概率为3,则甲胜的概率 和甲不输的概率分别为( 1 1 A.6,6 1 2 B.2,3 ) 2 1 D.3,2

1 2 C.6,3

【解析】 “甲胜”是“和棋或乙胜”的对立事件,所以“甲胜”的概率为 1 1 1 1-2-3=6. 设“甲不输”为事件 A, 可看做是“甲胜”与“和棋”这两个互斥事件的和 1 1 2 事件,所以 P(A)=6+2=3或设“甲不输”为事件 A,可看做是“乙胜”的对立 1 2 事件,所以 P(A)=1-3=3. 【答案】 C

3.甲、乙二人玩数字游戏,先由甲任想一数字,记为 a,再由乙猜甲刚才 想的数字,把乙猜出的数字记为 b,且 a,b∈{1,2,3},若|a-b|≤1,则称甲、乙 “心有灵犀”.现任意找两个人玩这个游戏,则他们“心有灵犀”的概率为 ( )

1 A.3

5 B.9

2 C.3

7 D.9

【解析】 甲想一数字有 3 种结果,乙猜一数字有 3 种结果,基本事件总数 为 3×3=9. 设“甲、乙心有灵犀”为事件 A,则 A 的对立事件 B 为“|a-b|>1”,又|a -b|=2 包含 2 个基本事件, 2 2 7 ∴P(B)=9,∴P(A)=1-9=9. 【答案】 D

4.(2013· 课标全国卷)从 1,2,3,4 中任取 2 个不同的数,则取出的 2 个数之差 的绝对值为 2 的概率是( A. 1 2 B. 1 3 C. 1 4 D. 1 6 )

【解析】 从 1,2,3,4 中任取 2 个不同的数, 有(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),共 12 种情形,而满足条件“2 个 数之差的绝对值为 2”的只有(1,3),(2,4),(3,1),(4,2),共 4 种情形,所以取出 4 1 的 2 个数之差的绝对值为 2 的概率为12=3. 【答案】 B

5. 如图 10-4-3 所示的茎叶图表示的是甲、乙两人在 5 次综合测评中的成 绩,其中一个数字被污损,则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是( )

图 10-4-3 2 A.5 4 C.5 【解析】 7 B.10 9 D.10 设被污损的数字为 x,则

1 x 甲=5(88+89+90+91+92)=90, 1 x 乙=5(83+83+87+99+90+x),

若 x 甲= x 乙,则 x=8. 若 x 甲> x 乙,则 x 可以为 0,1,2,3,4,5,6,7, 8 4 故 P=10=5. 【答案】 二、填空题 6.已知某台纺纱机在 1 小时内发生 0 次、1 次、2 次断头的概率分别是 0.8、 0.12、0.05,则这台纺纱机在 1 小时内断头不超过两次的概率和断头超过两次的 概率分别为________,________. 【解析】 断头不超过两次的概率 C

P1=0.8+0.12+0.05=0.97. 于是,断头超过两次的概率 P2=1-P1=1-0.97=0.03. 【答案】 0.97 0.03

7.抛掷一枚均匀的正方体骰子(各面分别标有数字 1、2、3、4、5、6),事 件 A 表示“朝上一面的数是奇数”,事件 B 表示“朝上一面的数不超过 2”,则 P(A+B)=________. 【解析】 将事件 A+B 分为: 事件 C“朝上一面的数为 1、 2”与事件 D“朝 上一面的数为 3、5”. 则 C、D 互斥, 1 1 且 P(C)=3,P(D)=3, 2 ∴P(A+B)=P(C+D)=P(C)+P(D)=3. 【答案】 2 3

8.一只袋子中装有 7 个红玻璃球,3 个绿玻璃球,从中无放回地任意抽取 7 1 两次,每次只取一个,取得两个红球的概率为15,取得两个绿球的概率为15,则 取得两个同颜色的球的概率为________;至少取得一个红球的概率为________. 【解析】 (1)由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件,取

得两个同色球, 只需两互斥事件有一个发生即可,因而取得两个同色球的概率为

7 1 8 P=15+15=15. (2)由于事件 A“至少取得一个红球”与事件 B“取得两个绿球”是对立事 件. 1 14 则至少取得一个红球的概率 P(A)=1-P(B)=1-15=15. 【答案】 三、解答题 9.袋中有 12 个小球,分别为红球、黑球、黄球、绿球,从中任取一球,得 1 5 5 到红球的概率是3,黑球或黄球的概率是12,绿球或黄球的概率也是12.求从中任 取一球,得到黑球、黄球和绿球的概率分别是多少? 【解】 从袋中任取一球,记事件 “ 得到红球 ”“ 得到黑球 ”“ 得到黄 8 15 14 15

球”“得到绿球”分别为 A,B,C,D,则事件 A,B,C,D 彼此互斥,所以有 5 5 P(B+C)=P (B)+P(C)=12,P(D+C)=P(D)+P(C)=12,P(B+C+D)=P(B)+ 1 2 P(C)+P(D)=1-P(A)=1-3=3, 1 1 1 解得 P(B)=4,P(C)=6,P(D)=4. 1 1 1 故从中任取一球,得到黑球、黄球和绿球的概率分别是4,6,4. 10.某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集 了在该超市购物的 100 位顾客的相关数据,如下表所示. 一次购物量 顾客数(人) 结算时间 (分钟/人) 1至4件 x 1 5至8件 30 1.5 9 至 12 件 25 2 13 至 16 件 y 2.5 17 件及以上 10 3

已知这 100 位顾客中一次购物量超过 8 件的顾客占 55%. (1)确定 x,y 的值,并估计顾客一次购物的结算时间的平均值; (2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过 (将频率视为概率) ...2 分钟的概率. 【解】 (1)由题意,{x+30=100×45%, +y+10=100×55%,

∴x=15,y=20. 该超市所有顾客一次性购物的结算时间组成一个总体,100 位顾客一次购物 的结算时间视为总体的一个容量为 100 的简单随机抽样, 顾客一次购物的结算时 间的平均值可用样本平均数估计. 又x= 1×15+1.5×30+2×25+20×2.5+10×3 =1.9. 100

∴估计顾客一次购物的结算时间为 1.9 分钟. (2)设 B、C 分别表示事件“一位顾客一次购物的结算时间分别为 2.5 分钟、 3 分钟”. 设 A 表示事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率. ” 20 1 10 1 将频率视为概率,得 P(B)=100=5,P(C)=100=10, ∵B,C 互斥,且 A =B+C, 1 1 3 ∴P( A )=P(B+C)=P(B)+P(C)=5+10=10, 3 7 因此 P(A)=1-P( A )=1-10=10. ∴一位顾客一次购物结算时间不超过 2 分的概率为 0.7. B组 能力提升 1.从装有 3 个红球、2 个白球的袋中任取 3 个球,则所取的 3 个球中至少 有 1 个白球的概率是( 1 A.10 【解析】 3 B.10 ) 3 C.5 9 D.10

记“从中取出 3 个小球全是红球”为事件 A,则 A 表示“所取

的 3 个球中至少有 1 个白球”,从 3 个红球,2 个白球的袋中任取 3 个小球,共 有 10 种不同的试验结果. 1 9 ∴P(A)=10,从而 P( A )=1-P(A)=10. 9 ∴所取的 3 个球中至少有 1 个白球的概率为10. 【答案】 D

2.某学校成立了数学、英语、音乐 3 个课外兴趣小组,3 个小组分别有 39、

32、33 个成员,一些成员参加了不止一个小组,具体情况如图 10-4-4 所示.

图 10-4-4 现随机选取一个成员, 他属于至少 2 个小组的概率是________,他属于不超 过 2 个小组的概率是________. 【解析】 “至少 2 个小组”包含“2 个小组”和“3 个小组”两种情况,

故他属于至少 2 个小组的概率为 P= 11+10+7+8 3 = . 6+7+8+8+10+10+11 5

“不超过 2 个小组”包含“1 个小组”和“2 个小组”,其对立事件是“3 个小组”. 故他属于不超过 2 个小组的概率是 P=1- 8 13 =15. 6+7+8+8+10+10+11 3 5 13 15

【答案】

3.如图 10-4-5 所示,A 地到火车站共有两条路径 L1 和 L2,现随机抽取 100 位从 A 地到达火车站的人进行调查,调查结果如下:

图 10-4-5

所用时间(分钟) 选择 L1 的人数 选择 L2 的人数

10~20 6 0

20~30 12 4

30~40 18 16

40~50 12 16

50~60 12 4

(1)试估计 40 分钟内不能赶到火车站的概率; (2)现甲、乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站,为了尽最 大可能在允许的时间内赶到火车站,试通过计算说明,他们应如何选择各自的路

径. 【解】 (1)由已知共调查了 100 人,其中 40 分钟内不能赶到火车站的有 12 +12+16+4=44(人), ∴用频率估计相应的概率为 0.44. (2)设 A1,A2 分别表示甲选择 L1 和 L2 时,在 40 分钟内赶到火车站;B1,B2 分别表示乙选择 L1 和 L2 时,在 50 分钟内赶到火车站. 由频数分布表知,40 分钟赶往火车站,选择不同路径 L1,L2 的频率分别为 (6+12+18)÷ 60=0.6,(4+16)÷ 40=0.5. ∴估计 P(A1)=0.6,P(A2)=0.5,则 P(A1)>P(A2), 因此,甲应该选择路径 L1, 同理, 50 分钟赶到火车站, 乙选择路径 L1, L2 的频率分别为 48÷ 60=0.8,36÷ 40 =0.9, ∴估计 P(B1)=0.8,P(B2)=0.9,P(B1)<P(B2), 因此乙应该选择路径 L2.


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