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注意貌合神离的题


注意一些貌合神离的题
题 1:若 ? , ? 满足 ?

?
2

?? ? ? ?

?
2

,求 3? ? 2? 的取值范围.

孙芸老师在文[1]中研究了怎样求解该题,并且推广到一般情况,即怎样求 m? ? n? 的取 值范围,但结论似乎太复杂,要讨论 m, n 的大小及符号关系,这样就不利于推广,也不容易被学 生所接受. 如果我们把题目改成:若 x, y 满足 ? 不换药.

?
2

?x? y?

?
2

,求 3x ? 2 y 的取值范围.好像换汤

? ? ?? 2 ? x ? 再改成:若 x, y 满足 ? x ? y ,求 3x ? 2 y ? ? ? y? 2 ?
的取值范围.哦,原来就是线性规划题. 解:由图 1 可知: 当 z ? 3x ? 2 y 取到 B ?

?? ? ? , ? 点时有最大 ?2 2?



? ? ? ?? ,当 z ? 3x ? 2 y 取到 C ? ? , ? 点时有最 2 ? 2 2?
5? ? 5? ? ? .所以取值范围即为 ?? , ?. 2 ? 2 2?
ln 2 ln 3 ln 5 ,b ? ,c ? ,则( 2 3 5 c?b?a C c?a?b
图1

小值 ?

题 2:(2005 全国卷 III)若 a ?

) D

A a?b?c B 分析:看到这个题目,首先想到了函数

b?a?c

ln x ,通过求导,发现 x ? 2 时不单调.仔细观察, x ln x ? 0 想到了斜率.于是可以化 f ( x ) ? ,然后画图 2. x?0 f ( x) ?
可 惜 , 斜 率 并 不 单 调 , 不 好 比 较

a?
了.

ln 2 ln 3 ln 5 ,b ? ,c ? 的值.至此,不知怎么办 2 3 5

我想,这是平时训练的结果.为了能够在高考时抢 时间,很多题目都被打上了标签. “这种题一看就应当怎 样,那种题一看就怎样”,这些都成了口头禅.所以遇到 一些貌似神离的题目,学生就不知所措了. 其实,本题非常常规,只需计算就可.

图2

解:由题意得 a= ln 30 215 ,b= ln 30 310 ,c= ln 30 56 , ∵ 56 ? (52 )3 ? (25 )3 ? 215 ? (23 )5 ? (32 )5 ? 310 ,∴c<a<b,选 C. 题 3: (2006 全国卷Ⅱ)设函数 f(x)=(x+1)ln(x+1),若对所有的 x≥0,都有 f(x)≥ax 成立, 求实数 a 的取值范围. 学生容易误以为用分离系数法轻易可以解决,可惜不行.本题陈世明老师文[2]已经给出 了较为详尽的分析,这里不再赘述. 在这儿,我们提供另外一种解法,以开阔学生的思路. 解:由 f(x)≥ax 得(x+1)ln(x+1) ≥ax 既然 x 不能除到左边,我们可以把(x+1)除到右边来. 于是有 ln( x ? 1) ?

ax x ?1 1 ) x ?1

变形得: ln( x ? 1) ? a (1 ? 令

1 ? t , t ? (0,1] x ?1

则上式即为: ? ln t ? a(1 ? t )

t ? (0,1]

?a ?

ln t t ?1

t ? (0,1]

令 g (t ) ?

ln t t ?1

只需求出该函数在 t ? (0,1] 时的最小值 即可.而 g (t ) ?

ln t ln t ? ln 1 ? ,可以看成斜 t ?1 t ?1

率形式,画图 3 可求: 点(t,lnt)在从左往右运动过程中,斜率越 来越小,只有当它与(1,0)重合时是最小,故只 需求出 y ? ln x 在 (1,0) 的导数即为最小斜率, 图3

斜率为 1. 所以 a≤1,即 a 的取值范围是(-∞,1]. 以上三题皆为非常常见常考的题型,如果我们没有经过平时的训练,可能不容易做错,就 是因为题目做多了,相似类型的题目见的比较多,容易形成思维定势,从而将一些基础题做错, 常规题做复杂.能够解决问题的办法是: 平时注意积累,将这些相似的题集中起来,做一些比较, 并且一直要有有这样区分意识,这样就能够避免犯类似的错误. 参考文献: [1]孙芸.两种变量代换 究竟孰是孰非,数学通讯,2009(9) (上半月). [2]陈世明.当常规解法失效时,数学通讯,2010(3) (上半月).


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