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响水中学2013-2014学年高二上学期数学学案:《第36课时 综合应用》


【基础训练】 1.要使不等式 kx 2 ? kx ? 1 ? 0 对于 x 的任意值都成立,则 k 取值范围为 2. 已知 a , b 为正实数且 ab ? 1 , 若不等式 ( x ? y )( ?

a x

b ) ? M 对任意正实数 x, y 恒成立 ,则 y

M 的取值范围是
3.已知正实数 x, y , z 满足 2 x( x ?
2

1 1 1 1 ? ) ? yz ,则 ( x ? )(x ? ) 的最小值= y z y z
2

4.已知直线 x+a y+1=0 与直线(a +1)x-by+3=0 互相垂直,a,b∈R 且 ab≠

0,则|ab|的最小值是________.
5.建造一个容积为 8m3,深为 2m 的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价每平方米分别 为 120 元和 80 元,则水池的最低总造价为 二. 【知识点梳理】 1. 在利用基本不等式“和式_______积式”求最值时要注意三点: 一是各项为_________; 二是寻求________值;三是考虑______成立的条件. 2.解不等式应用问题的几个主要步骤 (1)审题,必要时画出示意图; (2)建模,建立不等式模型,即根据题意找出常量与变量的不等关系;注意文字语言、符号 语言、图形语言的转换; (3)求解,利用不等式的有关知识解题. 三. 【典题拓展】 例 1.已知关于 x 的方程 9 +(4+a)·3 +4=0 有解. (1) 若 x∈R,求实数 a 的取值范围; (2) 若 x≥1,求实数 a 的取值范围.
x x

元.

例 2.已知函数 f(x)=- + (x>0).

1 a

2 x

(1)判断 f(x)在(0,+∞)上的增减性,并证明你的结论; (2)解关于 x 的不等式 f(x)>0;
1

(3)若 f(x)+2x≥0 在(0,+∞)上恒成立,求 a 的取值范围.

例 3 如图所示,将一矩形花坛 ABCD 扩建成一个更大的矩形花园 AMPN,要求 B 在 AM 上,D 在 AN 上,且对角线 MN 过点 C.已知 AB=3m,AD=2m. (1) 要使矩形 AMPN 的面积大于 32m ,则 AN 的长应在什么范围内? (2) 当 AN 的长度是多少时,矩形 AMPN 的面积最小?并求最小面积. (3) 若 AN 的长度不少于 6m,则当 AN 的长度是多少时,矩形 AMPN 的面积最小?并求出最 小面积.
2

例 4 如图,DE 把边长为 2 a 的正三角形 ABC 分成面积相等的两部份,D 在 AB 上,E 在 AC 上. (1)设 AD= x ( x ? a), DE ? y, 试用x表示y; (2)求 DE 的最小值. A

D E B C

2

四. 【巩固训练】 1. 已知不等式 x 2 ? 2mx ? 1 ? 0 对一切 1 ? x ? 3 都成立,则 m 的取值范围是 2.已知不等式 ( x ? y )( ?

1 x

a ) ? 9 对任意正实数 x, y 恒成立,则正实数 a 的最小值为 y

3. 已知直线 l 过点 P(2,1) , 且与 x 轴 , y 轴的正半轴分别交于 A, B 两点 ,O 为坐标原点 , 则

?OAB 的面积的最小值为 ??? ? ??? ? 4.设点 M 是 ? abc 内一点,且 AB ? AC ? 4 3, ?BAC ? 300 ,定义: f ( M ) ? (m, n, p), 其中 1 4 m, n, p 分别是 ?MBC, ?MCA, ?MAB 的面积,若 f ( M ) ? (1, n, p) ,则 ? 的最小值 n p
为 5.如图给定两个长度为 1 的平面向量 OA 和 OB , 它们的夹角为 120 ? ,点 C 在以 O 为圆心的 圆弧 AB 上变动,若 OC ? xOA ? yOB ,其中 x, y ? R ,求 x ? y 的最大值. B

C

O

A

6. 从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业.根

1 .本年度当地旅游业收入估计为 400 5 1 万元,由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年比上一年增加 . 4
据规划, 本年度投入 800 万元, 以后每年比上一年减少 (1)设 n 年内(本年度为第一年)总投入为 an 万元,旅游业的总收入为 bn 万元,写出 an ,bn 的表达式; (2)至少经过几年,旅游业的总收入才能超过总投入?( lg 2 ? 0.3010 )

3


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