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高一数学竞赛 必修1.3.4.5


数学竞赛 考试时间 150 分钟 中间 60 分钟暂停时间 共 210 分钟 时间 早晨 8::30-12:00 满分 150 分 A 部分 50 分 50 分钟 收卷后 20 分钟发 B 部分试卷 选择 6 道 一道 5 分 1 设非空集合 S={x|m≤x≤l}满足:当 x∈S 时, 有 x ∈S. 给出如下三个命题: ①若 m=1, 则 S={1};②若 m=- , 则 ≤

l≤1;③若 l= , 则其中正确命题的个数是( A. 0 2 函数 f(x)= A. B. 1 ) C. 2 D. 3 ) D. ) C. 2+nln n D. 1+n+ln n ≤m≤0.
2

(0≤x≤2π ) 的值域是( B. C. , 则 an=(

3 在数列{an}中, a1=2, an+1=an+ln A. 2+ln n

B. 2+(n-1)ln n

4 植树节某班 20 名同学在一段直线公路一侧植树, 每人植一棵, 相邻两棵树相距 10 米. 开 始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边. 现将树坑从 1 到 20 依次编号, 为使各位同学从各 自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小, 树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为( A. ①和 B. ⑨和⑩ C. ⑨和 D. ⑩和 )

5 已知函数 f(x) = 则 a+b+c 的取值范围是( A. (-∞, 2] )

若互不相等的实数 a, b, c 满足 f(a) =f(b) =f(c) ,

B. (-∞, 1]

C. (1, 2) ,且使关于 的方程 有( )

D. (2, +∞) 与

6 若实数

满足 均有实数根,则

A. 最小值 2 解答题 2 道 1 道 10 分 20 分

B. 最小值 3

C. 最大值

D. 最大值

7 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况. 在一般情况下, 大桥上的车 流速度 v(单位:千米/小时)是车流密度 x(单位:辆/千米)的函数. 当桥上的车流密度达到 200 辆/千米时, 造成堵塞, 此时车流速度为 0;当车流密度不超过 20 辆/千米时, 车流速度 为 60 千米/小时. 研究表明:当 20≤x≤200 时, 车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数. (Ⅰ)当 0≤x≤200 时, 求函数 v(x)的表达式; (Ⅱ)当车流密度 x 为多大时, 车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数, 单位:辆 /小时)f(x)=x·v(x)可以达到最大, 并求出最大值. (精确到 1 辆/小时) 8 已知集合 S 中的元素是同时满足以下三个条件的函数 f(x) . ①定义域为(-∞, +∞) ; ②f(-2) =f(2) ; ③对任何实数 x1, x2, 如果|x1|≤2, |x2| ≤2, 那么|f(x2) -f(x1) |≤|x2-x1|. (1) 求证: F(x) = +5∈S; (2) 设 a 是实数, 且 f(x) =|x|+ax∈S, 解关于 x 的不等式 f(x+3) ≤f(x) +2.

B 卷 65 分 65 分钟 收卷后 20 分钟发 C 部分试卷 选择题 6 道 一道 5 分 1 当 0<x≤ 时, 4 <logax, 则 a 的取值范围是( A. B. C. (1,
2 x

) ) D. ( , 2)

2 设 a>1, 若对于任意的 x∈[a, 2a], 都有 y∈[a, a ]满足方程 logax+logay=3, 这时 a 的取 值的集合为( ) B. {a|a≥2} C. {a|2≤a≤3} ) D. {2, 3}

A. {a|1<a≤2} 3设

b 是 1-a 和 1+a 的等比中项, 则 a+3b 的最大值为( B. 2
2

A. 1

C. 3 的最小值是( C. 3
n

D. 4 ) D. 4 ) D. 1 830 , 为另一直径的两个端点,

4 设 a>b>0, 则 a + + A. 1 B. 2

5 数列{an}满足 an+1+(-1) an=2n-1, 则{an}的前 60 项和为( A. 3 690 6 已知圆 则 B. 3 660 上一点 C. 1 845 使

的半径为 3,直径 ( )

A.-3 B.-4 C.-8 D.-6 二填空题 2 道 1 道 5 分 7 为了考察某校各班参加课外书法小组的人数, 从全校随机抽取 5 个班级, 把每个班级参加 该小组的人数作为样本数据. 已知样本平均数为 7, 样本方差为 4, 且样本数据互不相同, 则样本数据中的最大值为 . 8 按照如图所示的流程图,能够输出结果的概率是 .

三 解答题 2 道 9 题 12.5 分 10 题 12.5 分 9 如图, 在等腰直角△OPQ 中, ∠POQ=90°, OP=2 (Ⅰ) 若 OM= , 求 PM 的长; , 点 M 在线段 PQ 上.

(Ⅱ) 若点 N 在线段 MQ 上, 且∠MON=30°, 问: 当∠POM 取何值时, △OMN 的面积最小? 并求出面积的最小值.

10 按照某学者的理论, 假设一个人生产某产品单件成本为 a 元, 如果他卖出该产品的单价 为 m 元, 则他的满意度为 ;如果他买进该产品的单价为 n 元, 则他的满意度为 . 如

果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为 h1 和 h2, 则他对这两种交易的综合满意 度为 .

现假设甲生产 A、B 两种产品的单件成本分别为 12 元和 5 元, 乙生产 A、B 两种产品的 单件成本分别为 3 元和 20 元, 设产品 A、B 的单价分别为 mA 元和 mB 元, 甲买进 A 与卖出 B 的综合满意度为 h 甲, 乙卖出 A 与买进 B 的综合满意度为 h 乙.

(Ⅰ)求 h 甲和 h 乙关于 mA、mB 的表达式;当 mA= mB 时, 求证:h 甲=h 乙; (Ⅱ)设 mA= mB, 当 mA、 mB 分别为多少时, 甲、 乙两人的综合满意度均最大?最大的综合满 意度为多少? (Ⅲ)记(Ⅱ)中最大的综合满意度为 h0, 试问能否适当选取 mA、 mB 的值, 使得 h 甲≥h0 和 h


≥h0 同时成立, 但等号不同时成立?试说明理由.

C 卷 35 分 35 分钟 填空题 1 道 5 分 2 道 1 某地街道呈现东—西、南—北向的网格状, 相邻街距都为 1. 两街道相交的点称为格点. 若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系, 现有下述格点(-2, 2), (3, 1), (3, 4), (-2, 3), (4, 5)为报刊零售点. 请确定一个格点 为发行站, 使 5 个零售点沿街道到发行 站之间路程的和最短. 2 为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系, 下表记录了小李某月 1 号 到 5 号每天打篮球时间 x(单位:小时)与当天投篮命中率 y 之间的关系: 时间 x 命中率 y 1 0. 4 小李这 5 天的平均投篮命中率为 小时篮球的投篮命中率为 解答题 3 题 10 分 4 题 15 分 . 2 0. 5 3 0. 6 4 0. 6 5 0. 4

;用线性回归分析的方法, 预测小李该月 6 号打 6

3 如图,经过村庄 A 有两条夹角为 60°的公路 AB,AC,根据规划拟在两条公路之间的区域 内建一工厂 P, 分别在两条公路边上建两个仓库 M、 N (异于村庄 A) , 要求 PM=PN=MN=2(单 位: 千米) . 如何设计, 使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远) .

4 数列{an}的通项 an=n (Ⅰ)求 Sn; (Ⅱ)令 bn=

2

, 其前 n 项和为 Sn.

, 求数列{bn}的前 n 项和 Tn.


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