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2013年金版高考数学 第四章第三节 相关性、最小二乘估计优化训练(文)


(本栏目内容,学生用书中以活页形式单独装订成册!) 一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1.下列关系中,是相关关系的为( ) ①学生的学习态度与学习成绩之间的关系; ②教师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系; ③学生的身高与学生的学习成绩之间的关系; ④家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系. A.①② B.①③ C.②③ D.②④ 【解析】 学生的学习成绩与学生的学习态度和教师的执教水平是相关的, 与学生的身 高和家庭经济条件不相关. 【答案】 A 2.下列命题: ①线性回归方法就是由样本点去寻找一条贴近这些样本点的直线的数学方法; ②利用样本点的散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系表示; ③通过回归直线 y=bx+a 及回归系数 b,可以估计和预测变量的取值和变化趋势. 其中正确的命题是( ) A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 【解析】 利用最小二乘法求回归直线就是求样本数据的点到直线的距离的平方和最小 值.利用回归直线,可以进行预测.而从散点图的分布可以判断是否线性相关. 【答案】 D 3.回归方程 y=1.5x-15,则( ) A.y=1.5 x -15 B.15 是回归系数 a C.1.5 是回归系数 a D.x=10 时,y=0 【解析】 由 a= y -b x 得 y =b x +a,即为 A. 【答案】 A 4.下列叙述中:( ) ①变量间关系有函数关系,还有相关关系; ②回归函数即用函数关系近似地描述相互关系; ③ ?xi=x1+x2+?+xn;
i=1 n

? (xi- x )(yi- y )
i=1

n

④线性回归方程 y=bx+a 中,b=

,a= y -b x ;

? (xi- x )
i=1

n

2

⑤线性回归方程一定可以近似地表示所有相关关系.其中正确的有( ) A.①②③ B.①②③④⑤ C.①②③④ D.③④⑤ 【解析】 ①②③④显然正确,线性回归方程不一定可以近似地表示所有相关关系,如 它不可表示非线性的相关关系,因此,⑤错误,所以选 C. 【答案】 C 5.某考察团对全国 10 大城市进行职工人均工资水平 x(千元)与居民人均消费水平 y(千 元)统计调查,y 与 x 具有相关关系,回归方程为 y=0.66x+1.562,若某城市居民人均消费
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水平为 7.675 千元,估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为( ) A.83% B.72% C.67% D.66% 【解析】 将 y=7.675 代入回归方程,可计算得 x≈9.26,所以该城市人均消费额占人 均工资收入的百分比约为 7.675÷ 9.26≈0.83,即约为 83%. 【答案】 A 6.三点(3,10),(7,20),(11,24)的线性回归方程为( ) A.y=1.75x-5.75 B.y=1.75x+5.75 C.y=-1.75x+5.75 D.y=-1.75x-5.75 【解析】 方法一:设回归直线方程为 y=bx+a,则 x1y1+x2y2+x3y3-3 x b= x12+x22+x32-3 x = y
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3×10+7×20+11×24-3×7×18 9+49+121-3×49 =1.75, a= y -b x =18-1.75×7=5.75. 故 y=1.75x+5.75,故选 B. 方法二:将点代入选项用代入法检验可排除 A、C、D. 【答案】 B 二、填空题(每小题 6 分,共 18 分) 7.如图所示,有 5 组(x,y)数据,去掉________组数据后,剩下的 4 组数据的线性相 关性最大.

【解析】 因为 A、B、C、E 四点分布在一条直线附近且贴近某一直线,D 点离得远. 【答案】 D 8. 下表是某地的年降雨量与年平均气温, 判断两者是否是相关关系________. (填“是” 或“否”) 年平均气温 12.51 12.84 12.84 13.69 13.33 12.74 13.05 (℃) 748 542 507 813 547 701 432 年降雨量(mm) 【解析】 由于散点图中各点并不在一条直线的附近,所以它们不具有相关关系. 【答案】 否 9.已知回归方程 y=4.4x+838.19,则可估计 x 与 y 增长速度之比约为________. 【解析】 Δy=y2-y1=4.4(x2-x1), x2-x1 1 10 ∴ = = ≈0.227. y2-y1 4.4 44 【答案】 0.227 三、解答题(共 46 分) 10.(15 分)山东鲁洁棉业公司的科研人员在 7 块并排、形状大小相同的试验田上对某棉 花新品种进行施化肥量 x 对产量 y 影响的试验,得到如下表所示的一组数据(单位:kg). 15 20 25 30 35 40 45 施化肥量 x 330 345 365 405 445 450 455 棉花产量 y (1)画出散点图; (2)判断是否具有相关关系.
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【解析】

(1)散点图如图所示,

(2)由散点图知,各组数据对应点大致都在一条直线附近,所以施化肥量 x 与产量 y 具 有线性相关关系. 11.(15 分)已知变量 x,y 线性相关,x 与 y 有下列对应数据: x 1 2 3 4 1 3 y 2 3 2 2 求 y 对 x 的回归直线方程. 1 3 + +2+3 2 2 1+2+3+4 5 7 【解析】 x = = ,y= = , 4 2 4 4

i=1

?xi2=12+22+32+42=30, ?xiyi=1×2+2×2+3×2+4×3= 2 ,
i=1

4

4

1

3

43

?xiyi-4 x
i=1

4

y

∴b=

?xi2-4 x
i=1

4

2

43 5 7 -4× × 2 2 4 4 = = , 25 5 30-4× 4

7 4 5 1 a= y -b x = - × =- . 4 5 2 4 4 1 ∴y= x- . 5 4 12.(16 分)某城区为研究城镇居民月家庭人均生活费支出和月人均收入的相关关系,随 机抽取 10 户进行调查,其结果如下: 月人均收入 300 390 420 504 570 700 760 800 850 1 080 x(元) 月人均生活 255 324 330 345 450 520 580 650 700 750 费 y(元) 利用上述资料: (1)画出散点图; (2)如果变量 x 与 y 之间具有线性相关关系,求出回归直线方程; (3)测算人均收入为 280 元时,人均生活费支出应为多少元? 【解析】 (1)散点图如图所示:

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3

(2)

=637.4, =490.4,

∴y=0.70 761x+39.369 39. (3)把 x=280 代入, y≈237.5 元, 得 测算人均收入为 280 元时, 人均生活费支出应为 237.5 元.

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