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2013三角函数图象的平移和伸缩


三角函数图象的平移和伸缩
( ) 函 数 y ? As i n? x? ? ? k的 图 象 与 函 数 y ? sin x 的 图 象 之 间 可 以 通 过 变 化 A,?,?,k 来 相 互 转 化. A, ? 影响图象的形状, ?,k 影响图象与 x 轴交点的位置.由 A 引起的变换称振幅变换,由 ? 引起的变

换称周期变换,它们都是伸缩变

换;由 ? 引起的变换称相位变换,由 k 引起的变换称上下平移变换,它们都 是平移变换. 既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移. 变换方法如下:先平移后伸缩

? y ? sin x 的图象 ??????? 平移 ? 个单位长度
得 y ? sin( x ? ? ) 的图象 ?????????? 1
到原来的 (纵坐标不变) 横坐标伸长(0<? <1)或缩短(? >1)

向左(? >0)或向右(? ?0)

?

? 得 y ? sin(? x ? ? ) 的图象 ????????? 为原来的A倍 ( 横坐标不变 )

纵坐标伸长(A?1)或缩短(0<A<1)

? 得 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象 ??????? 平移 k 个单位长度
得 y ? A sin( x ? ? ) ? k 的图象.

向上 ( k ? 0) 或向下( k ? 0)

y ? sin x

纵坐标不变 横坐标向左平移 π/3 个单位 纵坐标不变 横坐标缩短 为原来的1/2 横坐标不变 纵坐标伸长为原 来的3倍

y ? sin( x ?

?
3

)

y ? sin( 2 x ? ) 3

?

? y ? 3 sin( 2 x ? ) 3

先伸缩后平移

? y ? sin x 的图象 ????????? 为原来的A倍(横坐标不变)
1

纵坐标伸长( A?1)或缩短(0? A?1)

? 得 y ? A sin x 的图象 ????????? 1
到原来的 (纵坐标不变)

横坐标伸长(0?? ?1)或缩短(? ?1)

?

得 y ? A sin(? x) 的图象

向左(? ? 0)或向右(? ? 0) ??????? ? ? 平移

?

个单位

? 得 y ? A sin x(? x ? ? ) 的图象 ??????? 得 y ? A sin(? x ? ? ) ? k 的图象. 平移 k 个单位长度

向上 ( k ? 0) 或向下( k ? 0)

y ? sin x

纵坐标不变 横坐标缩短 为原来的1/2 纵坐标不变 横坐标向左平移 π/6 个单位 横坐标不变 纵坐标伸长为原 来的3倍

y ? sin 2 x
y ? sin( 2 x ? ) 3

?

y ? 3 sin( 2 x ? ) 3

?

π? ? 例 1 将 y ? sin x 的图象怎样变换得到函数 y ? 2sin ? 2 x ? ? ? 1 的图象. 4? ? π? π ? 解: (方法一)①把 y ? sin x 的图象沿 x 轴向左平移 个单位长度,得 y ? sin ? x ? ? 的图象;②将所得 4? 4 ? π? 1 ? 图象的横坐标缩小到原来的 ,得 y ? sin ? 2x ? ? 的图象;③将所得图象的纵坐标伸长到原来的 2 倍,得 4? 2 ? π? π? ? ? y ? 2sin ? 2 x ? ? 的图象;④最后把所得图象沿 y 轴向上平移 1 个单位长度得到 y ? 2sin ? 2 x ? ? ? 1 的图象. 4? 4? ? ?

(方法二)①把 y ? sin x 的图象的纵坐标伸长到原来的 2 倍,得 y ? 2sin x 的图象;②将所得图象的横坐
π? 1 π ? i , y ? 2sn2 x 的图象; 得 ③将所得图象沿 x 轴向左平移 个单位长度得 y ? 2sin 2 ? x ? ? 的 8? 2 8 ? π? ? 图象;④最后把图象沿 y 轴向上平移 1 个单位长度得到 y ? 2sin ? 2 x ? ? ? 1 的图象. 4? ?

标缩小到原来的

2

π 个单位长度得到的函数图象 8 π? π? π? 1 ? ? ? 的解析式是 y ? sin 2 ? x ? ? 而不是 y ? sin ? 2 x ? ? ,把 y ? sin ? x ? ? 的图象的横坐标缩小到原来的 ,得到 8? 8? 4? 2 ? ? ? π? π? ? ? 的函数图象的解析式是 y ? sin ? 2 x ? ? 而不是 y ? sin 2 ? x ? ? . 4? 4? ? ? 对于复杂的变换,可引进参数求解. π? ? 例 2 将 y ? sin 2 x 的图象怎样变换得到函数 y ? cos ? 2 x ? ? 的图象. 4? ? 分析:应先通过诱导公式化为同名三角函数. π? ?π ? ? 解: y ? sin 2 x ? cos ? ? 2 x ? ? cos ? 2 x ? ? , 2? ?2 ? ? π? π? π? ? ? ? 在 y ? cos ? 2 x ? ? 中以 x ? a 代 x ,有 y ? cos ? 2( x ? a ) ? ? ? cos ? 2 x ? 2a ? ? . 2? 2? 2? ? ? ?
说明:无论哪种变换都是针对字母 x 而言的.由 y ? sin 2 x 的图象向左平移

π π π ? 2x ? ,得 a ? ? . 2 4 8 π? π ? 所以将 y ? sin 2 x 的图象向左平移 个单位长度可得到函数 y ? cos ? 2 x ? ? 的图象. 4? 8 ?
根据题意,有 2x ? 2a ?

3


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