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与名师对话二轮理科数学1-7-4


课时作业(二十)
一、选择题 π? ? 1.(2014· 安徽六校联考)在极坐标系中,点?2,3?和圆 ρ=2cos θ
? ?

的圆心的距离为( A. 3 B.2 C.

) π2 1+ 9 D.
? ?

π2 4+ 9

π? ? 解析: 在极坐标系中, 点?2,

3?在直角坐标系下的坐标为(1, 3); 在极坐标系中的圆 ρ=2cos θ 在直角坐标系下的方程为(x-1)2+y2= 1,圆心坐标为(1,0),点到圆心的距离为 ?1-1?2+? 3-0?2= 3,故 选 A. 答案:A
? ?x=-1+cos θ, 2.(2014· 北京卷)曲线? (θ 为参数)的对称中心 ?y=2+sin θ ?

(

) A.在直线 y=2x 上 C.在直线 y=x-1 上 B.在直线 y=-2x 上 D.在直线 y=x+1 上

? ?cos θ=x+1, 解析:由已知得? 消参得(x+1)2+(y-2)2=1. ? ?sin θ=y-2,

所以其对称中心为(-1,2).显然该点在直线 y=-2x 上.故选 B. 答案:B 3.(2013· 安徽卷)在极坐标系中,圆 ρ=2cos θ 的垂直于极轴的两 条切线方程分别为( )

A.θ=0(ρ∈R)和 ρcos θ=2

π B.θ=2(ρ∈R)和 ρcos θ=2 π C.θ=2(ρ∈R)和 ρcos θ=1 D.θ=0(ρ∈R)和 ρcos θ=1 解析:由 ρ=2cos θ,可得圆的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1, 所以垂直于 x 轴的两条切线方程分别为 x=0 和 x=2,即所求垂直于 π 极轴的两条切线方程分别为 θ=2(ρ∈R)和 ρcos θ=2,故选 B. 答案:B 4. (2014· 江西卷)若以直角坐标系的原点为极点, x 轴的非负半轴 为极轴建立极坐标系,则线段 y = 1 - x(0≤x≤1) 的极坐标方程为 ( ) A.ρ= 1 π ,0≤θ≤2 cos θ+sin θ

1 π B.ρ= ,0≤θ≤4 cos θ+sin θ π C.ρ=cos θ+sin θ,0≤θ≤2 π D.ρ=cos θ+sin θ,0≤θ≤4 解析:由 x=ρcos θ,y=ρsin θ,y=1-x 可得 ρsin θ=1-ρcos θ, 1 即 ρ= , cos θ+sin θ 再结合线段 y= 1-x(0≤x≤1)在极坐标系中的情形,可知 θ∈ π? ? ?0, ?. 2? ? 因此线段 y= 1- x(0≤x≤1)的极坐标方程为 ρ= 1 , cos θ+sin θ

π 0≤θ≤2.故选 A. 答案:A 5. (2014· 安徽卷)以平面直角坐标系的原点为极点, x 轴的正半轴 为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位,已知直线
? ?x=t+1, l 的参数方程是? (t 为参数),圆 C 的极坐标方程是 ρ=4cos ?y=t-3 ?

θ,则直线 l 被圆 C 截得的弦长为(

)

A. 14 B.2 14 C. 2 D.2 2 解析:由题意得直线 l 的方程为 x-y-4=0,圆 C 的方程为(x- 2)2+y2=4,则圆心到直线的距离 d= 2,故弦长=2 r2-d2=2 2. 答案:D 二、填空题 π 6.(2014· 湖南卷)在平面直角坐标系中,倾斜角为4的直线 l 与曲
? ?x=2+cos α, 线 C:? (α 为参数)交于 A,B 两点,且 ?y=1+sin α ?

|AB|=2.以坐标原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 则直线 l 的极坐标方程是________. 解析:由题意得曲线 C 的方程为(x-2)2+(y-1)2=1. 又|AB|=2,故直线 l 过曲线 C 的圆心(2,1),则直线方程为 y-1 =x-2,即 x-y-1=0,故直线 l 的极坐标方程为 ρ(cos θ-sin θ)= 1. 答案:ρ(cos θ-sin θ)=1
? ?x=2+t, 7. (2014· 重庆卷)已知直线 l 的参数方程为? (t 为参数), ?y=3+t ?

以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极 坐标方程为 ρsin2θ-4cos θ=0(ρ≥0,0≤θ<2π),则直线 l 与曲线 C 的 公共点的极径 ρ=________. 解析:直线 l 的普通方程为 y=x+1,曲线 C 的直角坐标方程为
? ? ?y=x+1, ?x=1, ? y = 4x ,联立两方程,得 2 解得 ? 所以公共点为 ? ? ?y =4x, ?y=2.
2

(1,2). 所以公共点的极径为 ρ= 答案: 5 三、解答题 8 . (2013· 新 课 标 全 国 卷 Ⅰ ) 已 知 曲 线 C1 的 参 数 方 程 为
?x=4+5cos t, ? ? (t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极 ?y=5+5sin t, ?

22+1= 5.

轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=2sin θ. (1)把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (2)求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).
?x=4+5cos t, ? 解:(1)将? 消去参数 t,化为普通方程(x-4)2+(y ? ?y=5+5sin t,

-5)2=25,即 C1:x2+y2-8x-10y+16=0.
? ?x=ρcos θ, 将? 代入 x2+y2-8x-10y+16=0 得 ?y=ρsin θ ?

ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0. 所以 C1 的极坐标方程为 ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0. (2)C2 的普通方程为 x2+y2-2y=0.

2 2 ? ?x +y -8x-10y+16=0, 由? 2 2 ?x +y -2y=0, ?

?x=1, ?x=0, ? ? 解得? 或? ?y=1, ? ? ?y=2.

π? ? π? ? 所以 C1 与 C2 交点的极坐标分别为? 2,4?,?2,2?. ? ? ? ? 9.(2014· 新课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为 极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆 C 的极坐标方程为 ρ= π? ? 2cos θ,θ∈?0,2?.
? ?

(1)求 C 的参数方程; (2)设点 D 在 C 上,C 在 D 处的切线与直线 l:y= 3x+2 垂直, 根据(1)中你得到的参数方程,确定 D 的坐标. 解:(1)C 的普通方程为(x-1)2+y2=1(0≤y≤1).
? ?x=1+cos t, 可得 C 的参数方程为? (t 为参数,0≤t≤π). ? ?y=sin t

(2)设 D(1+cos t,sin t),由(1)知 C 是以 C(1,0)为圆心,1 为半径 的上半圆,因为 C 在点 D 处的切线与 l 垂直,所以直线 CD 与 l 的斜 π 率相同,tan t= 3,t=3.
?3 π π? ? 3? 故 D 的直角坐标为?1+cos 3,sin 3?,即? , ?. 2? ? ? ?2

【高考预测】 10.在极坐标系中,直线 ρ( 3cos θ-sin θ)=2 与圆 ρ=4sin θ 的 交点的极坐标为(
? ? ?

)
? ? ? ? ?

π? π? π? π? ? ? ? ? A.?2,6? B.?2,3? C.?4,6? D.?4,3? 解析:ρ( 3cos θ-sin θ)=2 可化为直角坐标方程 3x-y=2,即

y= 3x-2. ρ=4sin θ 可化为 x2+y2=4y,把 y= 3x-2 代入 x2+y2=4y,得 4x2-8 3x+12=0,即 x2-2 3x+3=0,所以 x= 3,y=1, π? ? 所以直线与圆的交点坐标为( 3,1),化为极坐标为?2,6?,故选
? ?

A. 答案:A 11.直角坐标系 xOy 中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建
?x=2+2cos θ, ? 立极坐标系,已知曲线 C1:? (θ 为参数),曲线 C2: ? ?y=2sin θ,

π? ? ρcos?θ+3?=t,若两曲线有公共点,则 t 的取值范围是________.
? ?

解析:由曲线 C1 的参数方程可得普通方程为(x-2)2+y2=4;由 1 3 C2 的极坐标方程可化为2x- 2 y-t=0,故圆心(2,0)到直线的距离 d |1-t| = 1 ≤2 可得-2≤t-1≤3,解得-1≤t≤3. 答案:-1≤t≤3 12.在直角坐标系 xOy 中,已知点 P(0, 3),曲线 C 的参数方
? ?x= 5cos φ, 程为? (φ 为参数).以原点为极点,x 轴的正半轴为极 ? ?y= 15sin φ,

3 轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 ρ= π?. ? 2cos?θ-6?
? ?

(1)判断点 P 与直线 l 的位置关系,说明理由; (2)设直线 l 与曲线 C 的两个交点为 A、B,求|PA|· |PB|的值. π? ? 解:(1)直线 l:2ρcos?θ-6?= 3,即 3ρcos θ+ρsin θ= 3,∴
? ?

直线 l 的直角坐标方程为 3x+y= 3,点 P 在直线 l 上.

?x=-2t, (2)直线 l 的参数方程为? 3 ?y= 3+ 2 t,
x2 y2 曲线 C 的直角坐标方程为 5 +15=1

1

(t 为参数),

将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程,有
? ? 1? 3? 3?-2t?2+? 3+ t?2=15,∴t2+2t-8=0, 2 ? ? ? ?

设两根为 t1,t2, ∴|PA|· |PB|=|t1||t2|=|t1t2|=|-8|=8.


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