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江苏省连云港新海高级中学2012届高三模拟考试数学试题(扫描版)


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连云港市 2012 届高三年级模拟考试 数学参考答案与评分标准

[来源:金太阳新课标资源网]

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位 ...... 置上. ..
[来源:学|科|网 Z|X|X|K]

1.0; 2. 2 ;

3. 40 ;

4.0.4; 5.1;

6.

? 3 ; 7. 2 ? 1 ; 8. ; 2 8
2

9.

2 ; 10. 2011 ; 11. ?7,8? ; 2

12. 15 ;

13. ? 3, ? ? ; 14. (2 6, 2 7] .

? ?

9? 8?

二、 解答题: 本大题共 6 小题, 15—17 每小题 14 分, 18—20 每小题 16 分, 共计 90 分. 请 在答题卡指定的区域内作答,解答时应写出文字说明,求证过程或演算步骤. ........... 15.⑴ f ( x) ? sin(

π π ? x)sin( ? x) ? 3 sin x cos x 4 4
………………………………………………… 2 分

1 3 ? cos 2 x ? sin 2 x 2 2

π ? sin(2 x ? ) , ……………………………………………………………4 分 6 π 6 A A π ⑵由 f ( ) ? 1 ,有 f ( ) ? sin( A ? ) ? 1 , 2 2 6 π π π 因为 0 ? A ? π ,所以 A ? ? ,即 A ? . …………………………………………8 分 6 2 3
sin B ? sin C ? sin B ? sin(
因为 0 ? B ? 所以 f ( ) =1 .………………………………………………………………………………6 分

2π 3 3 π ? B) = sin B ? cos B ? 3 sin( B ? ) . 3 2 2 6

……12 分

2π π π 5π π ,所以 ? B ? ? , 0 ? sin( B ? ) ≤1 , 6 3 6 6 6 所以 sin B ? sin C 的最大值为 3 .………………………………………………………14 分 E
16.⑴设 AC ? BD ? O ,连结 FO . 因为 ABCD 是正方形,所以 O 是 BD 的中点, 因为 BD ? 2EF ,所以 DO ∥EF , 所以四边形 DOFE 是平行四边形, 所以 DE ? OF .……………………………………5 分

F D
O

C

A

B

因为 DE ? 平面 ACF , OF ? 平面 AFC ,所以 DE ? 平面 ACF第 16 题图 .…………………7 分 ⑵因为 ABCD 是正方形,所以 BD ? AC ,因为平面 ABCD ? 平面 BDEF , 平面 ABCD ? 平面 BDEF ? BD ,所以 AC ? 平面 BDEF ,

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因为 BE ? 平面 BDEF ,所以 BE ? AC . ……………………………………………10 分 因为 BF ?

1 BD ,所以 BF ? BO , 2

所以四边形 BOEF 是正方形,所以 BE ? OF . ………………………………………12 分 因为 OF ? AC ? O , OF , AC ? 平面 ACF , 所以 BE ? 平面 ACF .
http://wx.jtyjy.com/]

……………………………………………………………14 分

[来源:

1) 1) 18.⑴易求 A(2 , , B(?2 , .

………………………………………………………2 分

[来源:学#科#网]

y 设 P( x0 , 0 ) ,则

??? ? ??? ? ??? ? ? x ? 2(m ? n) x0 2 ? y0 2 ? 1.由 OP ? mOA ? nOB ,得 ? 0 , 4 ? y0 ? m ? n

4(m ? n)2 1 ? (m ? n)2 ? 1,即 m2 ? n2 ? . 2 4 1 n 故点 Q(m ,) 在定圆 x2 ? y 2 ? 上. ……………………………………………………8 分 2 yy 1 y y ⑵设 M ( x1 ,1 ) , N ( x2 , 2 ) ,则 1 2 ? ? . x1 x2 4
所以 平方得 x12 x22 ? 16 y12 y22 ? (4 ? x12 )(4 ? x22 ) ,即 x12 ? x2 2 ? 4 . ………………………10 分

因为直线 MN 的方程为 ( x2 ? x1 ) x ? ( y2 ? y1 ) y ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0 , 所以 O 到直线 MN 的距离为 d ?
| x1 y2 ? x2 y1 | ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2

,

………………………12 分

1 1 1 所以 △OMN 的面积 S ? MN ? ? | x1 y2 ? x2 y1 |? d x12 y22 ? x22 y12 ? 2x1 x2 y1 y2 2 2 2
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= 故 △OMN 的面积为定值 1 . 19.⑴因为 g ?( x) ? 2 x ,

x2 x2 1 1 1 x12 (1 ? 2 ) ? x2 2 (1 ? 1 ) ? x12 x2 2 = x12 ? x22 ? 1 . 2 4 4 2 2

………………………………………16 分

所以 xg ?( x) ? g ( x) ? 2 x2 ? ( x2 ?1) ? x2 ? 1 ? 0 在 (0, ??) 上恒成立, 即 xg ?( x) ? g ( x) 在 (0, ??) 上恒成立, 所以 g ( x) ? x 2 ? 1是 A 型函数.…………………………………………………………2 分

③当 0 ? a ?

1 1? a 1? a , ??) ,减区间为 时,得 x ? 1 ,或 x ? ,所以增区间为 (0,1) ( 2 a a

1? a ,1) ; a 1 ④当 a ? 时, h?( x) ≥ 0 ,所以,函数增区间为 (0, ??) ; 2 1? a a( x ? )( x ? 1) 1 1 ?3 1? a a ⑤ ? a ? 1 ? e 时,由 h?( x) ? , ? 0 ,得 x ? 1 ,或 x ? 2 2 2 a x 1? a 1? a ) ,区间为 ( ,1) . ……………………………10 分 所以增区间为 (1, ??) , (0, a a (
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⑶证明:函数 f ( x ) 是 (0, ??) 上的每一点处都有导数,且 xf ?( x) ? f ( x) 在 (0, ??) 上恒成 立,设 F ( x) ?

f ( x) xf ?( x) ? f ( x) ? 0 在 (0, ??) 时恒成立, , F ?( x) ? x x2

所以函数 F ( x) ?

f ( x) 在 (0, ??) 上是增函数, ………………………………………12 分 x

因为 x1 ? 0, x2 ? 0 ,所以 x1 ? x2 ? x1 ? 0, x1 ? x2 ? x2 ? 0 , 所以 F ( x1 ? x2 ) ? F ( x1 ), F ( x1 ? x2 ) ? F ( x2 ) ,



f ( x1 ? x2 ) f ( x1 ) f ( x1 ? x2 ) f ( x2 ) , ………………………………………14 分 ? , ? x1 ? x2 x1 x1 ? x2 x2 x1 f ( x1 ? x2 ) x f ( x1 ? x2 ) , , f ( x2 ) ? 2 x1 ? x2 x1 ? x2
…………………………………………16 分

所以 f ( x1 ) ?

两式相加,得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ? x2 ) .

20.⑴当 k ? 3 , a1a2 a3 ? 6 则 a1 ? a2 ? a3 ? 6 . 设 cn ? a3n ?2 ? a3n ?1 ? a3n ,由 an?3 ? 3 ? an ,得 cn?1 ? cn ? 9 ,所以数列 {cn } 是公差为 9 的等差 数列,故 S36 ? c1 ? c2 ? ? ? c12 ? 12 ? 6 ?

12 ?11 ? 9 ? 666 .………………………………4 分 2

⑵若 k ? 2 时, a1 ? a2 ? a1 ? a2 ,又 a1 ? a2 , 所以 a1 ? a2 ? 2a2 ,所以 a1 ? 1 ,此时 1 ? a2 ? a2 ,矛盾. ………………………………6 分

若 k ? 3 时, a1 ? a2 ? a3 ? a1 ? a2 ? a3 ,所以 a1 ? a2 ? a3 ? 3a3 , a1 ? a2 ? 3 , 所以 a1 ? 1, a2 ? 2, a3 ? 3 ,满足题意. ……………………………………………………8 分

? 若 k ≥ 4 时,a1 ? a2 ? ? ? ak ? a1 ? a2 ? ? ? ak , 所以 a1 ? a2 ?? ? ak ? kak , a1 ?a2 ? ?a k1?? k , 即
又因为 a1 ? a2 ?? ? ak ?1 ? 1? 2 ??? (k ? 1) ≥ 2k ? 2 ? k ,所以 k ≥ 4 不满足题意.……10 分 所以, a1 ? 1 , a2 ? 2 , a3 ? 3 ,且 an?3 ? 3 ? an , 所以 a3n?2 ? a1 ? 3(n ? 1) ? 3n ? 2 , a3n ?1 ? a2 ? 3(n ? 1) ? 3n ? 1, a3n ? a3 ? 3(n ? 1) ? 3n ,
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故 an ? n .

………………………………………………………………………………12 分

⑶又 bn ? bn ?1 ? ?21 ? ( ) 所以

1 2

an ?8

所以 bn ?1 ? bn ? 2 ? ?21? ( )

1 2

an?1 ?8

1 bn ? 2 1 ? ,所以 ?b2n ? , ?b2n?1? 都是以 为公比的等比数列, 2 bn 2

? ? 6 1 n2 1 3 ? 2 ? ( ) , n ≥ 1, n为奇数, ? ? 2 所以 bn ? ? n ??14 ? ( 1 ) 2 ?1 , n ≥ 2, n为偶数 . ? ? 2

…………………………………………14 分

令 bn ? bn?1 ? 1 ,即 ?21? ( )

1 2

n?8

1 1 ? 1 , ( ) n?8 ? ,所以 n ≥ 13 2 21

, b n 为奇数时有, b1 ? b2 ? 1, b3 ? b4 ? 1 ?,11 ? b12 ? 1, b13 ? b14 ? 1, b15 ? b16 ? 1 ,
从而 T2 ? T4 ? ? ? T12 , T12 ? T14 ? ? ,

n 为偶数时,有 b2 ? b3 ? 1, b4 ? b5 ? 1,?, b12 ? b13 ? 1, b14 ? b15 ? 1, b16 ? b17 ? 1 ,
从而 T1 ? T3 ? ? ? T13 , T13 ? T15 ? ?, 注意到 T12 ? 0, T13 ? 0 ,且 T13 ? b13 ? T12 ? 3T12 ? T12 , 所以数列 ?bn ? 的前 n 项积 Tn 最大时 n 的值为 13 . ………………………………………16 分

数学Ⅱ(附加题)
21. 【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两题,并在答题卡指定区域内作答, .................... 若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.如图,连接 OC ,因为 OA ? OB, CA ? CB ,所以 OC ? AB . 因为 OC 是圆的半径, 所以 AB 是圆的切线.……………………3 分 因为 ED 是直径,所以 ?ECD ? 90? ,所以 ?E ? ?EDC ? 90? , 又 ?BCD ? ?OCD ? 90? , ?OCD ? ?ODC , 所以 ?BCD ? ?E ,又因为 ?CBD ? ?EBC ,

E
O

D
A
C

B

BC BD 所以 ? BCD ∽ ?BEC ,所以 ? ? BC 2 ? BD ? BE , BE BC

第 21—A 题 …………………5 分 图

tan ?CED ?

CD 1 ? , EC 2

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?BCD ∽ ?BEC ,

BD CD 1 ? ? . BC EC 2

……………………………7 分

设 BD ? x ,则 BC ? 2 x ,因为 BC 2 ? BD ? BE , 所以 (2 x)2 ? x( x ? 6) ,所以 BD ? 2 .……………………………………………………9 分 所以 OA ? OB ? BD ? OD ? 2 ? 3 ? 5 . ………………………………10 分 ……………4 分

?a + b ? 3, ? a b ? ?1? ?1? ?3? ?a b ? B.设 M ? ? ? ,则 ? c d ? ?1? ? 3 ?1? ? ?3? ,故 ? ? ?? ? ?? ? ? ?c d ? ?c + d ? 3 .

??a + 2b ? 9, ? a b ? ? ?1? ? 9 ? ………………………………………………7 分 ? c d ? ? 2 ? ? ?15? ,故 ? ? ?? ? ? ? ??c + 2d ? 15 .
? ?1 4? 联立以上两方程组解得 a ? ?1, b ? 4, c ? ?3, d ? 6 ,故 M = ? ? . ………………10 分 ? ?3 6 ?
C.椭圆的普通方程为,左焦点为 (?4,0) ,……………………………………4 分

? x ? 1 ? t, 直线 ? ( t 为参数)的普通方程为 2 x ? y ? 6 ? 0 ,……………………………8 分 ? y ? ?4 ? 2t
所求直线方程为 y ? ?

1 ( x ? 4) ,即 x ? 2 y ? 4 ? 0 . …………………………………10 分 2

D.原式等价于

b | a ? b | ? | a ? 2b | ≥| x ? 1 | ? | x ? 2 | ,设 ? t , |a| a
………………………2 分

则原式变为 | t ? 1| ? | 2t ? 1|≥| x ? 1| ? | x ? 2 | 对任意 t 恒成立.
1 ? ?3t , t ≥ 2 , ? 1 ? 因为 | t ? 1| ? | 2t ? 1|? ??t ? 2, ?1 ? t ? , 2 ? ??3t , t ≤ ?1, ? ?

最小值为 t ?

1 3 时取到,其最小值为 . ………………………………………………6 分 2 2

?2 x ? 3,x ≥ 2, 3 ? 所以有 ≥ x ? 1 ? x ? 2 ? ?1,1 ? x ? 2, 2 ?3 ? 2 x,x ≤1. ?
3 9 解得 x ? [ , ] . 4 4

……………………………………………………………………10 分

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1 0) 2 0) 22.⑴建立如图所示的空间直角坐标系,则 D1 (0 , , , E (2 ,, , C (0 , , . 0 2) ???? ? ??? ? ??? ? y 2) 设 P( x , , ,则 D1 P ? ( x , , , EP ? ( x ? 2 y , ? 1, , EC ? (?2 ,, . ……2 分 y 0) y 2) 1 0)

因为 D1 P ? 平面 PCE ,所以 D1 P ? EP , D1 P ? EC , ???? ??? ? ? ???? ??? ? ? 所以 D1 P?EP ? 0 , D1 P?EC ? 0 ,
? x( x ? 2) ? y ( y ? 1) ? 0, 故? ??2 x ? y ? 0 .

D1 A1 D

z P B1

C1

C y 4 ? x ?x ? 5, A ? x ? 0, ? B E 解得 ? (舍去)或 ? ……………………………………………………………4 分 ?y ? 0. ?y ? 8 . ? 5 ? 即 P(

???? ? 4 8 16 64 4 5 4 8 ? ? .………………6 分 , , 2) , 所以 D1 P ? ( , , 0) ,所以 D1 P ? 25 25 5 5 5 5 5

[来源:Z*xx*k.Com]

???? ? ???? ???? ? 4 8 ???? ? ⑵由⑴知, ? (2,1,0), D1P ? ( , ,0), D1P ? 平面 PEC , DE 与平面 PEC 所成角为 ? , 1 P 设 D DE 5 5
???? ???? ? ???? D1 P ? DE ? 与 DE 所成角为 ? ,则 sin ? ? cos ? ? D1 P DE 16 5 5? 80 25 ? 4 5

所以直线 DE 与平面 PEC 所成角的正弦值为

4 . ………………………………………10 分 5

2 n 23.⑴由二项式定理,得 an ? C0 ? C1 2 ? Cn ( 2)2 ? C3 ( 2)3 ? ? ? Cn ( 2)n , n n n

2 所以 a ? C0 ? Cn ( 2)2 ? C4 ( 2)4 ? ? ? 1 ? 2C2 ? 22 C4 ? ? , n n n n

因为 2C2 ? 22 C4 ?? 为偶数, n n 所以 a 是奇数.………………………………………………………………………………4 分 ⑵由⑴设 an ? (1 ? 2)n ? a ? b 2(a ,b ? Z ) , 则 (1 ? 2)n ? a ? b 2 , ………………………………………………………………………5 分 所以 a2 ? 2b2 ? (a ? b 2)(a ? b 2) ? (1 ? 2)n (1 ? 2)n ? (1 ? 2)n , 当 n 为偶数时, a 2 ? 2b 2 ? 1 ,存在 k ? a 2 , 使得 an ? a ? b 2 ? a2 ? 2b2 ? k ? k ? 1 , 当 n 为奇数时, a 2 ? 2b 2 ? 1 ,存在 k ? 2b 2 , 使得 an ? a ? b 2 ? a2 ? 2b2 ? k ? 1 ? k , …………………………………………9 分 …………………………………………8 分 ……………………6 分

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综上,对于任意 n ? N ? ,都存在正整数 k ,使得 an ? k ? 1 ? k .

………………10 分

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附件 1:律师事务所反盗版维权声明

附件 2:独家资源交换签约学校名录(放大查看) 学校名录参见:http://www. http://wx.jtyjy.com//wxt/list.aspx?ClassID=3060

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