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【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教B版)选修1-2练习:2章 推理与证明 基本知能检测]


第二章基本知能检测
(时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.(2013~2014 学年度河北玉田县高二期中测试)推理:因为平行四边形对边平行且相 等,而矩形是特殊的平行四边形,所以矩形的对边平行且相等,以上推理的方法是( A.归纳推理 C.演绎

推理 [答案] [解析] 演绎推理. 2.求证: 2+ 3> 5. 证明:因为 2+ 3和 5都是正数, 所以为了证明 2+ 3> 5, 只需证明( 2+ 3) >( 5) , 展开得 5+2 6>5,即 2 6>0, 显然成立, 所以不等式 2+ 3> 5. 上述证明过程应用了( A.综合法 B.分析法 C.综合法、分析法配合使用 D.间接证法 [答案] [解析] B 根据证明过程可以看出符合执果索因的证法,故为分析法. )
2 2

)

B.类比推理 D.合情推理

C 演绎推理是由一般到特殊的推理,当前提为真时,结论必然为真,上述推理是

3. 给出下列三个类比结论: ①(ab)n =an bn 与(a+b)n 类比, 则有(a+b)n =an +bn ; ②loga (xy) =loga x+ loga y 与 sin(αβ)类比,则有 sin(αβ)=sinα+sinβ;③(a+b) =a +2ab+b 与(a+b) 类比,则有(a+b)2 =a2 +2a· b+b2. 其中正确结论的个数是( A.0 C.2 [答案] [解析] B 只有③正确,故选 B. B.1 D.3 )
2 2 2 2

4.观察(x2 )′=2x,(x4 )′=4x3 ,(cos x)′=-sinx,由归纳推理可得:若定义在 R 上的

函数 f (x)满足 f (-x)=f(x),记 g(x)为 f(x)的导函数,则 g(-x)=( A.f (x) C.g(x) [答案] [解析] D B.-f (x) D.-g(x)

)

由例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数,所以 g(-x)=-g(x). )

1 1 a b 5.设 a>0,b>0,若 3是 3 与 3 的等比中项,则 + 的最小值为( a b A.8 C.1 [答案] [解析] B 12 a b a+ b (3 ) =3 · 3 =3 ,∴a+b=1 2 B.4 D. 1 4

1 1 1 1 b a + =( + )(a+b)=2+ + ≥2 1+2=4 a b a b a b b a 当且仅当 = 即 a=b 时等号成立,故选 B. a b 6.a、b、c、d 均为正实数,设 S= 断中正确的是( A.0<S<1 C.2<S<3 [答案] [解析] B 1 1 1 1 4 4 令 a=b=c=d=1 知 S= + + + = ,因 1< <2,故选 B. 3 3 3 3 3 3 ) ) B.1<S<2 D.3<S<4 a b c d + + + ,则下列判 a+b+c b+c+d c+d+a d+a+b

7.命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定是( A.有两个内角是钝角 B.有三个内角是钝角 C.至少有两个内角是钝角 D.没有一个内角是钝角 [答案] [解析] C

逻辑中“最多有 n 个”的反面是“至少有(n+1)个”,故选 C.

8.下列四个图形中,着色三角形的个数依次构成一个数列的前 4 项,则这个数列的一 个通项公式为( )

A.an =3n -1 C.an =3 -2n [答案] [解析] A
n

B.an =3n D.an =3
n -1

+2n-3

由 a1 =1,a2 =3,a3 =9,a4 =27,故猜 an =3n -1 .
0 1 2 3

9.在十进制中,2 004=4×10 +0×10 +0×10 +2×10 ,那么在 5 进制(逢 5 进 1)中 数码 2 004 折合成十进制为( A.29 C.602 [答案] [解析] B 2 004=4×50 +0×51 +0×52 +2×53 =254. ) ) B.254 D.2 004

10.已知 c>1,a= c+1- c,b= c - c-1,则正确的结论是( A.a>b C.a=b [答案] [解析] B 如果 a>b,则 c+1- c> c - c-1. B.a<b D.a、b 大小不定

∴ c+1+ c-1>2 c, ∴c+1+c-1+2 c2 -1>4c; 即 c -1>c 矛盾,∴选 B. 11.观察下列等式: 1=1, 1+2=3, 13 +23 =9, 1 +2 +3 =36, 13 +23 +33 +43 =100, 13 +23 +33 +43 +53 =225.
3 3 3 2

13 =1,

1+2+3=6,

1+2+3+4=10,

1+2+3+4+5=15, ? ?

可以推测:13 +23 +33 +?+n3 可表示为( 1 A. n(n+1) 2 1 2 2 C. n (n-1) 4 [答案] [解析] D

)

1 B. n2 (n+1)2 2 1 2 2 D. n (n+1) 4

由 1=12,9=32,36=62,100=102 ,?,知 13 +23 +33 +?+n3 =(1+2+3+?+

n?n+1? 2 n2 ?n+1?2 n)2 =[ ]= ,故选 D. 2 4 12.如果函数 f (x)对任意的实数 x,存在常数 M,使得不等式|f (x)|≤M(x)恒成立,那么

就称函数 f (x)为有界泛函数,下面四个函数:①f (x)=1;②f(x)=x2 ;③f(x)=(sinx+cos x)x; x ④f (x)= 2 . 其中属于有界泛函数的是( x +x+1 A.①② C.②④ [答案] [解析] D π ∵sinx+cos x= 2sin(x+ )≤ 2, 4 ) B.①③ D.③④

∴存在常数 M≥ 2成立|sinx+cos x|≤M, ∴|x(sinx+cos x)|≤M(x), 即|f(x)|≤M(x)成立, ∴③是有界泛函数; 1 3 3 ∵x2 +x+1=(x+ )2 + ≥ , 2 4 4 ∴| 1 4 |≤ , x +x+1 3
2

4 ∴存在常数 M≥ , 3 使 |x| ≤M(x), |x2 +x+1|

即|f(x)|≤M(x)成立, ∴④是有界泛函数,因此选 D. 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分,将正确答案填在题中横线上) 13. 平面上, 周长一定的所有矩形中, 正方形的面积最大; 周长一定的所有矩形与圆中, 圆 的 面 积 最 大 . 将 这 些 结 论 类 比 到 空 间 , 可 以 得 到 的 结 论 是 ______________________________________. [答案] [ 解析] 表面积一定的空间体中,球的体积最大 平面中的 “周长 ” 类比成空间中的 “ 面积 ” , “平面图形” 类比成“ 空间

体”,“面积”类比成“体积”,“圆”类比成“球”. a?2x+1?-2 14.已知 f (x)= 是奇函数,那么实数 a 的值等于__________. 2x+1 [答案] [解析] 1 a?2x+1?-2 因为 f(x)= (x∈R)是奇函数, 2x + 1
-x

a?2 +1?-2 a?2 +1?-2 则 f (-x)+f (x)= + =0,所以 a=1. 2- x+1 2x+1 1 3an 15.已知数列{an },a1 = ,an +1 = ,则 a2 、a3 、a4 、a5 分别为______________,猜 2 an +3

x

想 an =____________. [答案] [解析] 3 3 3 3 , , , 7 8 9 10 3 n+ 5

每一项的分子相同,分母是从 7 开始的自然数.

16.已知正项等比数列{an }满足:a7 =a6 +2a5 ,若存在两项 am 、an 使得 am an =4a1 ,则 1 4 + 的最小值为________. m n [答案] [解析]
6

3 2 ∵{an}为等比数列,an >0,a7 =a6 +2a5 ,
5 4

∴a1 q =a1 q +2a1 q , ∴q2 -q-2=0,∴q=-1 或 2. ∵an >0,∴q=2. ∵ am · an=4a1 ,∴a1 q 即 2m +n -2 =24 , 1 4 1 1 4 1 n 4m 3 n 4m ∴m+n=6,∴ + = (m+n)( + )= · (5+ + )≥ ,等号在 = ,即 m=2,n m n 6 m n 6 m n 2 m n =4 时成立. 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本题满分 12 分)已知 a 是整数,a 是偶数.求证:a 是偶数. [证明] 假设 a 不是偶数,即 a 是奇数,则设 a=2n+1(n∈Z).
2 m- 1

· a1 q

n- 1

=16a1 ,∴q

2

m + n- 2

=16,

∴a2 =4n2 +4n+1. ∵4(n2 +n)是偶数,∴4n2 +4n+1 是奇数, 这与已知 a 是偶数矛盾,故假设错误, 从而 a 一定是偶数. 18.(本题满分 12 分)观察下列数表: 1, 2,3, 4,5,6,7, 8,9,10,11,12,13,14,15, ?? (1)此表第 n 行的最后一个数是多少? (2)此表第 n 行的各个数之和是多少? (3)2 008 是第几行的第几个数? [解析] (1)由表知,从第二行起每行的第一个数为偶数,所以第 n+1 行的第一个数为
2

2n ,第 n 行的最后一个数为 2n -1.

(2)由(1)知第 n-1 行的最后一个数为 2n- 1 -1,第 n 行的第一个数为 2n- 1 ,第 n 行的最 后一个数为 2 -1. 又观察知,每行数字的个数与这一行的第一个数相同,所以由等差数列求 和公式得 Sn = 2n - 1?2n- 1 +2n -1? 2 n- 3 =2 +22n -2 -2n- 2 . 2
n

(3)因为 210 =1 024,211 =2 048,又第 11 行最后一个数为 211 -1=2 047,所以 2 008 是在 第 11 行中,由等差数列的通项公式得 2 008=1 024+(n-1)· 1,所以 n=985,所以 2 008 是 第 11 行的第 985 个数. 4 19.(本题满分 12 分)已知 a、b 是不相等的正数,且 a3 -b3 =a2 -b2 ,求证 1<a+b< . 3 [证明] ∵a -b =a -b ,a≠b,
3 3 2 2

∴a2 +ab+b2 =a+b. 又∵(a+b)2 =a2 +2ab+b2 >a2 +ab+b2 =a+b, 即(a+b) >a+b,且 a>0,b>0, 4 ∴a+b>1. 要证 a+b< , 3 只需证 3(a+b)<4, 即证 3(a+b)2<4(a+b), 也就是要证 3(a+b)2<4(a2 +ab+b2 ), 即需证(a-b)2 >0. 4 而(a-b)2 >0 显然成立,∴1<a+b< . 3 20.(本题满分 12 分)先解答(1),再通过结构类比解答(2). π 1+tanx (1)求证:tan(x+ )= ; 4 1-tanx 1+f ?x? (2)设 x∈R 且 f (x+1)= ,试问:f(x)是周期函数吗?证明你的结论. 1-f ?x? π tanx+tan π 4 (1)tan(x+ )= 4 π 1-tanxtan 4
2

[解析]



1+tanx . 1-tanx

(2)f (x)是以 4 为其一个周期的周期函数. 1+f ?x+1? ∵f (x+2)=f ((x+1)+1)= 1-f ?x+1?

1+f ?x? 1-f ?x? 1 = =- , 1+f ?x? f ?x? 1- 1-f ?x? 1+ 1 ∴f (x+4)=f ((x+2)+2)=- =f (x). f ?x+2? ∴f (x)是周期函数,其中一个周期为 4. 21.(本题满分 12 分)已知 f(x)=-x3 -x+1(x∈R). (1)求证:y=f (x)是定义域上的减函数; (2)求证:满足 f(x)=0 的实数根 x 至多只有一个. [证明] (1)∵f ′(x)=-3x2 -1

=-(3x2 +1)<0(x∈R), ∴y=f (x)是定义域上的减函数. (2)假设 f(x)=0 的实数根 x 至少有两个,不妨设 x1 ≠x2 ,且 x1 、x2 ∈R, f (x1 )=f (x2)=0. ∵y=f (x)在 R 上单调递减, ∴当 x1 <x2 时,f (x1 )>f(x2 ), 当 x1 >x2 时,f (x1 )<f(x2 ),这与 f (x1)=f (x2)=0 矛盾,故假设不成立, 所以 f (x)=0 至多只有一个实数根. 22.(本题满分 14 分)(1)已知 x、y∈R,求证下列不等式: 1 1 1 1 ?2 ① x2 + y2 ≥? ?2x+2y? ; 2 2 1 2 1 2 ?2 ② x2 + y2 ≥? ?3x+3y? ; 3 3 1 3 1 3 ?2 ③ x2 + y2 ≥? x+ y . ? 4 4 4 4 ? (2)根据上述不等式,请你推出更一般的结论,并证明你的结论. [解析] 1 1 1 1 ?2 (1)证明:① x2 + y2 -? ?2x+2y ? 2 2

1 1 1 1 1 = x2 + y2 - x2 - xy- y2 2 2 4 2 4 1 1 1 1 1 = x2 - xy+ y2 =? x- y ?2 ≥0, ?2 2 ? 4 2 4 1 1 1 1 ∴ x2 + y2 ≥? x+ y? 2 . ?2 2 ? 2 2 1 2 2 2 1 2 ?2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 ② x + y -? ?3x+3y? =9x +9y -9xy= 9(x -2xy+y )=9(x-y) ≥0, 3 3 1 2 1 2 ?2 ∴ x2 + y2 ≥? ?3x+3y? . 3 3

1 3 1 3 ③ x2 + y2 -? x+ y? 2 ?4 4 ? 4 4 1 3 1 2 3 9 2? 3 2 = x2 + y2 -? ?16x +8xy+ 16y ?=16(x-y) ≥0, 4 4 1 3 1 3 ∴ x2 + y2 ≥? x+ y? 2 . ? 4 4 4 4 ? (2)一般的结论是:已知 x、y∈R,a、b 都是正数,且 a+b=1,则(ax2 +by2 )≥(ax+by)2 . 证明:∵a+b=1,∴a=1-b>0,b=1-a>0. ∵(ax2 +by2 )-(ax+by)2 =(a-a2 )x2 -2abxy+(b-b2 )y2 =a(1 -a)x2 -2a(1-a)xy+a(1- a)y =a(1-a)(x -2xy+y )=a(1-a)(x-y) , 又∵a>0,1-a>0,(x-y)2 ≥0, ∴(ax2 +by2 )-(ax+by)2 ≥0, 即 ax2 +by2 ≥(ax+by)2.
2 2 2 2


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