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【志鸿优化设计】2014高考数学(人教A版 理)一轮课时作业:10.5 古典 概型


第 5 讲 古典概型
基础巩固 1.在第 1,3,4,5,8 路公共汽车都要停靠的一个站(假定这个站只能停靠一辆汽车)上,有一位乘 客等候第 4 路或第 8 路公共汽车.假定当时各路汽车首先到站的可能性相等,则首先到站正好 是这位乘客所需乘的汽车的概率等于( ) A. C. B. D.

【答案】D 【解析】1,3,4,5,8 这 5 路汽车中的任何

一路到站的可能性是相同的,故所求概率为 P=. 2.先将一个棱长为 3 的正方体木块的六个面分别涂上六种颜色,再将该正方体均匀切割成棱长 为 1 的小正方体,现从切好的小正方体中任取一块,所得正方体的六个面均没有涂色的概率是 ( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由题意可知正方体被切割为 27 块,六个面均没有涂色的只有最中间的那一块,则其概 率为. 3.一袋中装有大小相同,编号分别为 1,2,3,4,5,6,7,8 的八个球,从中有放回地每次取一个球, 共取 2 次,则取得两个球的编号和不小于 15 的概率为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】基本事件为(1,1),(1,2),?,(1,8),(2,1),(2,2),?,(8,8),共 64 种.两球编号之和 不小于 15 的情况有三种,分别为(7,8),(8,7),(8,8),故所求概率为. 4.若以连续掷两次骰子分别得到的点数 m,n 作为点 P 的横、纵坐标,则点 P 在直线 x+y=5 下方 的概率为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】点 P 在直线 x+y=5 下方的情况有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1)六种可能, 故其概率为=. 5.(2012· 山东枣庄段考 ) 连掷两次骰子得到的点数分别为 m 和 n, 记向量 a=(m,n) 与向量 b=(1,-1)的夹角为 α ,则 α ∈ 的概率为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由 α ∈ , 得 cos α ≥0, 从而 a·b=m-n≥0. 当 m=1 时 ,n=1; 当 m=2 时 ,n=1,2; 当 m=3 时,n=1,2,3;?;当 m=6 时,n=1,2,3,4,5,6.故所求概率为=. 6.甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线 ,乙从该正方形四个顶点中任意选择两 个顶点连成直线,则所得的两条直线相互垂直的概率是( )

A.

B.

C.

D.

【答案】C 【解析】正方形四个顶点可以确定 6 条直线,甲、乙各自任选一条共有 36 个等可能的基本事 件.两条直线相互垂直的情况有 5 种(4 组邻边和一组对角线),包括 10 个基本事件,所以概率等 于. 7.已知 A={1,2,3},B={x∈ R|x2-ax+b=0,a∈ A,b∈ A},则 A∩ B=B 的概率是 . 【答案】 【解析】 ∵ A∩ B=B,∴ B 可能为?,{1},{2},{3},{1,2},{2,3},{1,3}.当 B=?时,a2-4b<0,满足条件的 a,b 为 a=1,b=1,2,3;a=2,b=2,3;a=3,b=3.当 B={1}时,满足条件的 a,b 为 a=2,b=1.当 B={2},{3} 时,没有满足条件的 a,b.当 B={1,2}时,满足条件的 a,b 为 a=3,b=2.当 B={2,3},{1,3}时,没有 满足条件的 a,b.故 A∩ B=B 的概率为=. 8. 从 1,2,3,4 这四个数中一次随机地取两个数 , 则其中一个数是另一个数的两倍的概率 是 . 【答案】 【 解 析 】 采 用 枚 举 法 : 从 1,2,3,4 这 四 个 数 中 一 次 随 机 取 两 个 数 , 基 本 事 件 为:{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4},共 6 个,符合“一个数是另一个数的两倍”的基 本事件有{1,2},{2,4},共 2 个,所以所求的概率为. 9.(2012·江苏卷,6)现有 10 个数,它们能构成一个以 1 为首项,-3 为公比的等比数列,若从这 10 个数中随机抽取一个数,则它小于 8 的概率是 . 【答案】 【解析】由题意可知,这 10 个数分别为 1,-3,9,-27,81,-35,36,-37,38,-39,在这 10 个数中,比 8 小的有 5 个负数和 1 个正数,故由古典概型的概率公式得所求概率 P==. 10.盒中有 3 只灯泡,其中 2 只是正品,1 只是次品. (1)从中取出 1 只,然后放回,再取 1 只,求①连续 2 次取出的都是正品所包含的基本事件总 数;②两次取出的一个为正品,一个为次品所包含的基本事件总数; (2)从中一次任取出 2 只,求 2 只都是正品的概率. 【解】 (1)将灯泡中 2 只正品记为 a1,a2,1 只次品记为 b1,则第一次取 1 只,第二次取 1 只,基本 事件总数为 9,

①连续 2 次取出的都是正品所包含的基本事件为(a1,a1),(a1,a2),(a2,a1),(a2,a2),共 4 个 基本事件; ② 两 次 取 出 的 一 个 为 正 品 , 一 个 为 次 品 所 包 含 的 基 本 事 件 为 (a1,b1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2),共 4 个基本事件. (2)“从中一次任取 2 只”得到的基本事件总数是 3,即 a1a2,a1b1,a2b1,“2 只都是正品” 的基本事件数是 1,所以其概率为. 11.一个盒子里装有完全相同的 10 个小球,分别标上 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 这 10 个数字,今 随机地先后抽取 2 个小球,如果: (1)小球是不放回的;(2)小球是有放回的. 求 2 个小球上的数字为相邻整数的概率. 【解】随机抽取 2 个小球 , 记事件 A 为 “2 个小球上的数字为相邻整数 ”, 可能结果为 (1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6),(6,7),(7,8),(8,9),(9,10),(2,1),(3,2),(4,3),(5,4),( 6,5),(7,6),(8,7),(9,8),(10,9),共 18 种. (1)如果小球是不放回的,按抽取顺序记录结果(x,y),则 x 有 10 种可能,y 有 9 种可能,共

有可能结果 10×9=90 种,因此事件 A 的概率为=. (2)如果小球是有放回的,按抽取顺序记录结果(x,y),则 x 有 10 种可能,y 有 10 种可能, 共有可能结果 10×10=100 种,因此,事件 A 的概率为. 12.(2012·天津河西模拟)在甲、乙两个盒子中分别装有标号为 1,2,3,4 的四个小球,现从甲、 乙两个盒子中各取出 1 个小球,每个小球被取出的可能性相等. (1)求取出的两个小球上的标号为相邻整数的概率; (2)求取出的两个小球上的标号之和能被 3 整除的概率. 【解】设从甲、乙两个盒子中各取 1 个小球,其标号分别记为 x,y,用(x,y)表示抽取结果,则所 有 可 能 结 果 有 (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4 ,2),(4,3),(4,4),共 16 种. (1)所取两个小球上的标号为相邻整数的结果有 (1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3), 共 6 种. 故所求概率为=. (2)所取两个小球上的标号之和能被 3 整除的结果有(1,2),(2,1),(2,4),(3,3),(4,2),共 5 种. 故所求概率为. 拓展延伸 13.先后 2 次抛掷一枚骰子,将得到的点数分别记为 a,b. (1)求直线 ax+by+5=0 与圆 x2+y2=1 相切的概率; (2)将 a,b,5 的值分别作为三条线段的长,求这三条线段能围成等腰三角形的概率. 【解】(1)先后 2 次抛掷一枚骰子,将得到的点数分别记为 a,b,则基本事件总数为 6×6=36. ∵ 直线 ax+by+5=0 与圆 x2+y2=1 相切的充要条件是=1,即 a2+b2=25. ∵ a,b∈ {1,2,3,4,5,6}, ∴ 满足条件的情况只有 a=3,b=4,或 a=4,b=3 两种情况. 故直线 ax+by+5=0 与圆 x2+y2=1 相切的概率是=. (2)∵ 三角形的一边长为 5, ∴ 当 a=1 时,b=5,即(1,5,5),共 1 种情况; 当 a=2 时,b=5,即(2,5,5),共 1 种情况; 当 a=3 时,b=3,5,即(3,3,5),(3,5,5),共 2 种情况; 当 a=4 时,b=4,5,即(4,4,5),(4, 5,5),共 2 种情况; 当 a=5 时,b=1,2,3,4,5,6,即(5,1,5),(5,2,5),(5,3,5),(5,4,5),(5,5,5),(5,6,5),共 6 种情况; 当 a=6 时,b=5,6,即(6,5,5),(6,6,5),共 2 种情况, 故满足条件的不同情况共有 14 种, 故三条线段能围成等腰三角形的概率为=.


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