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2014-2015学年第一学期高二文科数学期末考试模拟卷


2014-2015 学年第一学期高二文科数学期末考试模拟卷
考试时间:120 分钟;满分:150

第 I 卷(选择题)
评卷人 得分 一、选择题

1.已知向量 a ? ( x ? 4,1), b ? ( x2 , 2) ,则 x ? 4 是 a // b 的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件

r />
r

r

r

r

) D.既不充分也不必要条件 )

2.命题: “ a ? b ? c ? d ”和“ a ? b ? e ? f ” ,那么“ c ? d ”是“ e ? f ”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 )

3.对于平面 ? 、 ? 、 ? 和直线 a 、 b 、m、n,下列命题中真命题是 ( A.若 a ? m, a ? n, m ? ? , n ? ? , ,则 a ? ? C.若 a ? ? , b ? ? , a // ? , b // ? ,则 ? // ?

B.若 a // b, b ? ? ,则 a // ? D.若 ? // ? , ?

? ? a, ? ? ? b, 则 a // b
)

4.设 e 是椭圆 A.(0,3)

x2 y 2 1 ? =1 的离心率,且 e∈( ,1),则实数 k 的取值范围是 ( 2 4 k
16 ) 3
C.(0,3)∪(
x x

B.(3,

16 ,+∞) 3

D.(0,2)

5.已知命题 p:? x∈(0, ? ? ) ,3 >2 ,命题 q:? x∈( ? ? ,0 ) , x ? 2 ? x ,则下列命 题为真命题的是 ( ) A . p∧q B .(¬p)∧q
2

C.(¬p)∧(¬q) )

D.p∧(¬q)

6.抛物线 x ? 2 y 的焦点到准线的距离为( A.1 B.
2

1 2
B. ?x0

C.
).

1 4

D.

1 8

7.命题“?x>0,x +x>0”的否定是( A. ?x0
2 ? 0, x0 ? x0 ? 0
2

2 ? 0, x0 ? x0 ? 0
2

C.?x>0,x +x≤0

D.?x≤0,x +x>0

8. 、若一个圆 台的的正视图如图所示,则其侧面积等于 A.6 B. 6? C. 3 5? D. 6 5? 第8题

第1页

9. 已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 中, 底面边长 AB=2BB1, 则异面直线 AB1 与 BC 所成的角的余弦值是 ( A.



3 5

B.
2

5 5
2

C.

2 3

D.

6 3

A1 B1

C1

A B

C

10.已知双曲线

x y - 2 =1(a>0,b>0)的一个焦点与抛物线 y2=4 10 x 的焦点重合,且双曲 2 a b
10 ,则该双曲线的方程为( 3
)

线的离心率等于

y2 2 2 A.x - =1 B.x -y =15 9
2

x2 x2 y2 2 C. -y =1 D. - =1 9 9 9

第 II 卷(非选择题)
评卷人 得分 二、填空题 11. (全国Ⅰ文 16)若直线 m 被两平行线 l1 : x ? y ? 1 ? 0与l2 : x ? y ? 3 ? 0 所截得的线段的长为

2 2 ,则 m 的倾斜角可以是
① 15 ② 30 ③ 45 ④ 60 ⑤ 75

其中正确答案的序号是
2 2

.(写出所有正确答案的序号)

12.以椭圆 2 x ? y ? 1的顶点为焦点,以椭圆的焦点为顶点的双曲线方程为 13.已知两条直线 y=ax-2 和 y=(a+2)x+1 互相垂直,则 a 等于_____ ___. 14. 已知过点 P(m,2) 作直线 l 与圆 O :x ? y ? 1 交于 A, B 两点, 且 A 为线段 PB 的中点,则 m
2 2

的取值范围为
2 2

.

15.已知圆 C: x ? y ? 2 x ? 4 y ? m ? 0 与直线 l : y ? x ? 2 相切,且圆 D 与圆 C 关于直线 l 对 称,则圆 D 的方程是___________。 评卷人 得分 三、解答题 16. (本题满分 10 分)已知两条直线 l1 : x +

(1+ m) y + m - 2 = 0 l2 : mx + 2 y + 8 = 0 ,当
l1 ⊥ l2 ; (2) l1 ∥ l2

m 为何值时直线 l1 与 l2 分别有下列关系?

(1)

第 2 页,

17.已知圆 C 和 y 轴相切,圆心 C 在直线 x ? 3 y ? 0 上,且被直线 y ? x 截得的弦长为 2 7 ,求 圆 C 的方程.

18.(本小题满分 14 分)已知命题 p :“函数 f ( x) ? ax2 ? 4x (a ? R) 在 (??,2] 上单调递减”,命 题 q :“ ?x ? R , 16x 2 ? 16(a ? 1) x ? 1 ? 0 ”,若命题“ p 且 q ”为真命题, 求实数 a 的取值范围。

19. (本小题满分 12 分) 如图,四面体 ABCD 中,O、E 分别是 BD、BC 的中点,

CA ? CB ? CD ? BD ? 2, AB ? AD ? 2.
(I)求证: AO ? 平面 BCD; (II)求点 E 到平面 ACD 的距离 .
A

D O B E C

第3页

20.已知椭圆 C 的方程为

2 x 2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0), 左、右焦点分别为 F1、F2,焦距为 4,点 M 是 a 2 b2

椭圆 C 上一点,满足 ?F1 MF2 ? 60?, 且S?F1MF ?

4 3 . 3

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过点 P(0,2)分别作直线 PA,PB 交椭圆 C 于 A,B 两点,设直线 PA,PB 的斜率分别为 k1,k2, 且k1 ? k2 ? 4 ,求证:直线 AB 过定点,并求出直线 AB 的斜率 k 的取值范围。

21. (本小题满分 13 分)

( x ? 2) 2 ? y 2 ?
已知圆 切。

25 1 的圆心为 M ,圆( x ? 2) 2 ? y 2 ? 4 4 的圆心为 N , 一动圆与这两圆都外

(1)求动圆圆心 P 的轨迹方程; (2)若过点 N 的直线 l 与(1)中所求轨迹有两个交点 A 、 B ,求 AM ? BM 的取值范 围.

第 4 页,

22.如图(1)在直角梯形 ABCD 中,AB//CD,AB ? AD 且 AB=AD=

1 CD=1,现以 AD 为一边向梯形外 2

作正方形 ADEF,然后沿 AD 将正方形翻拆,使平面 ADEF 与平面 ABCD 互相垂直如图(2) 。 E

E

D

C F D C

F

A

图1

B A 图2 B

(1)求证平面 BDE ? 平面 BEC (2)求直线 BD 与平面 BEF 所成角的正弦值。

第5页

参考答案 1.A 【解析】 试题分析:当 x ? 4 时, a ? (8,1), b ? (16, 2) ,所以 a // b ; 当 a // b 时,需要 ? x ? 4? ? 2 ? x ? 0,? x ? 4, 或 x ? ?2, 所以由 a // b 得不出 x ? 4 .
2

r

r

r

r

r

r

r

r

考点:本小题主要考查向量共线的坐标表示及充要条件的判断,考查学生的推理判断能力. 点评:解决此类问题,需要牢固掌握向量平行与垂直的条件,以及准确判断谁是条件,谁是 结论. 2.A 【解析】由于“ a ? b ? c ? d ? c ? d ? a ? b ? e ? f ” ,即 c ? d ? e ? f 。 选 A。 3.D 【解析】解: A.若 a ? m, a ? n, m ? ? , n ? ? , ,则 a ? ? ,只有当 m,n 相交时成立。 B.若 a // b, b ? ? ,则 a // ? ,也可能线 a 在平面内,错误 C.若 a ? ? , b ? ? , a // ? , b // ? ,则 ? // ? 只有当 a,b 相交时成立,错误 D.若 ? // ? , ? 4.C 【解析】 试 题 分 析 : 当 4>k 时 ,

? ? a, ? ? ? b, 则 a // b 成立。

e?

c 4?k ? 1 ? ? ? ? ,1? a 2 ?2 ?
4<k





1 4?k ? ? 1 ? 1 ? 4 ? k ? 4,??3 ? ?k ? 0 , 即 0 ? k ? 3 ; 当 4 2

时 ,

e?

1 4 3 4 16 c k ?4 ?1 ? 1 k ?4 ? 1 ? ? 1? ? 1 ? ? ? 0 ? k ? . ? ? ? ,1? ,即 ? k 4 k 4 k 3 a k ?2 ? 4

考点:椭圆离心率、分类思想. 5.D 【解析】 试题分析: 根据指数函数图象可知命题 P :?x ? (0, ??) ,3 ? 2 为真命题, 而很据 y ?| x |
x x

和 y ? 2 ? x 的图像可知命题 q : ?x ? (??, 0) , x ? 2 ? x 为假命题,所以 p ? (?q) 为真 命题.

答案第 1 页,总 7 页

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考点:1.函数图像;2.简单的命题的运算. 6.A 【解析】 试题分析:根据抛物线的标准方程,再利用抛物线 x =2p y 的焦点坐标为(0, 出物线 2y=x 的焦点坐标:∵在抛物线 2y=x ,即 x =2y,∴p=1, =
2 2 2 2

p ),求 2

p 1 ,∴焦点坐标是 (0, 2 2

1 1 ),准线方程为 y=- ,故焦点到准线的距离为 p,即为 1,选 A 2 2
考点:本试题主要考查了抛物线中简单几何性质的运用。 点评:解决该试题的关键是理解抛物线中,焦点到准线的距离为 P.根据标准式方程求解 2P 的值,进而得到结论。 7.B 【解析】 试题分析:本小题属于全称命题其否定为特称命题,故 命题“?x>0,x2+x>0”的否定是
2 ?x0 ? 0, x0 ? x0 ? 0 .

考点:含有一个量词的否定. 点评:一般地说,全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题. 8.C 【解析】略 9.B 【解析】 考点:异面直线及其所成的角. 分析:由正三棱柱的性质,可得异面直线 AB1 与 BC 所成的角为∠AB1C1 或其补角,设 B1C1=2, 则 BB1 =1,△AB1C1 中,由余弦定理可得 cos∠AB1C1=

5 ,从而得到异面直线 AB1 与 BC 所 5

成的角的余弦值. 解:正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,底面边长 AB=2BB1,则异面直线 AB1 与 BC 所成的角为∠AB1C1 或 其补角, △AB1C1 中,设 B1C1=2,则 BB1 =1,AC1=
2 2

AC 2 ? CC12 = 4 ? 1 = 5 =AB1,
2

△AB1C1 中,由余弦定理可得 AC1 =AB1 +B1C1 -2AB1?B1C1cos∠AB1C1,
答案第 2 页,总 7 页

即 5=5+4-2× 5 ×2cos∠AB1C1,∴cos∠AB1C1=

5 , 5

故异面直线 AB1 与 BC 所成的角的余弦值是 选 B. 10.C

5 5

【解析】由已知可得抛物线 y =4 10 x 的焦点坐标为( 10 ,0),a +b =10.又双曲线的
2 2 2

x2 10 10 2 离心率 e= = ,a=3,b=1,∴双曲线的方程为 -y =1.故选 C. 9 a 3
11.①⑤ 【解析】 解: 两平行线间的距离为 d ?

| 3?1| 1?1

由图知直线 m 与 l 1 的夹角为 30o ,l 1 ? 2,

的倾斜角为 45o ,所以直线 m 的倾斜角等于 30o ? 450 ? 750 或 45o ? 300 ? 150 。

y2 ? x2 ?
12.

1 2

【解析】略 13.-1 【解析】因为两条直线垂直,所以 a(a+2)=-1, 2 即 a +2a+1=0,所以 a=-1. 14. [? 5, 5 ] 【解析】 试题分析:∵A 是 PB 的中点,圆 x ? y ? 1的直径是 2,∴ PA ? 2 ,∴点 P 到原点距离小于
2 2

等于 3,
2 ∴ m ? 4 ? 9 ,∴ ? 5 ? m ? 5 .

考点:直线和圆的位置关系.
2 2 15. x ? ( y ? 1) ?

1 2
2 2

【解析】 试题分析:圆 C: x ? y ? 2 x ? 4 y ? m ? 0 的圆心为(-1,2) ,半径为 5 ? m ,因为与直 线 l : y ? x ? 2 相切, 所以根据圆心到直线的距离等于圆半径可以求出 m ?

9 1 , 即半径为 , 2 5

因为圆 D 与圆 C 关于直线 l 对称,所以圆心关于直线对称,半径不变,可以求出(-1,2)关

答案第 3 页,总 7 页

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2 2 于该直线对称的点为(0,1) ,所以圆 D 的方程是 x ? ( y ? 1) ?

1 . 2

考点:本小题主要考查直线与圆的位置关系,圆与圆的关系. 点评:两个圆关于某条直线对称,应该圆心关于这条直线对称,而半径不变. 16 . 1)m= ?

2 ; 3

2)

m = 1。

【 解 析 】 (1) 利 用 两 直 线 垂 直 的 充 要 条 件 可 知 1? m ? (1 ? m) ? 2 ? 0 , 解 出 m 值 . ( 2) 先 根 据 斜 率 相 等 求 出 m 的 值 , 然 后 再 代 入 验 证 是 否 有 重 合 情 况 . 1) 2·m-4·(1-m)=0 2) 2-m·(m+1)=0 解得 m= ?

2 3

……5 分

解得 m=1 或 m=2 ……5 分

检验得 m=-2 时, m = - 2 时 l1 与 l2 重合,故 m = 1 17.(x-3) +(y-1) =9 或(x+3) +(y+1) =9; 【解析】
2 2 2 2

试题分析:由圆心 C 在直线 x ? 3 y ? 0 上,可设设圆心坐标为(3m,m),又圆 C 和 y 轴相切,

得圆的半径为 3|m|,根据圆心到直线 y=x 的距离为 圆 C 的方程. 试题解析:设圆心坐标为(3m,m). ∵圆 C 和 y 轴相切,得圆的半径为 3|m|, ∴圆心到直线 y=x 的距离为

| 2m | = 2 m ,化简求出 m,即而求出 2
2分

4分 6分
2

| 2m | = 2 m. 2
2

由半径、弦心距、半弦长的关系得 9m =7+2m , ∴m=±1, ∴所求圆 C 的方程为 2 2 2 2 (x-3) +(y-1) =9 或(x+3) +(y+1) =9. 考点:1.圆的方程;2.点到直线距离公式. 18.

8分 10 分 12 分

1 ? a ?1 2

【解析】 解:P 为真:① 当 a ? 0 不符合题意;-----------------------?????2 分

答案第 4 页,总 7 页



1 ? a ?1. 2

------------------------------------------14 分

19. (I)略 (II)点 E 到平面 ACD 的距离为 【解析】 (I)证明:连结 OC
A

21 . 7

D O B E C

BO ? DO, AB ? AD,? AO ? BD. BO ? DO, BC ? CD,?CO ? BD.
在 ?AOC 中,由已知可得 AO ? 1, CO ? 3. 而 AC ? 2,

答案第 5 页,总 7 页

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? AO2 ? CO2 ? AC 2 ,

??AOC ? 90o , 即 AO ? OC.
BD OC ? O,

? AO ? 平面 BCD
(II)解:设点 E 到平面 ACD 的距离为 h .

VE ? ACD ? VA?CDE , 1 1 ? h.S?ACD ? . AO.S?CDE . 3 3
在 ?ACD 中, CA ? CD ? 2, AD ? 2,

1 2 7 ? S?ACD ? ? 2 ? 22 ? ( )2 ? . 2 2 2
而 AO ? 1, S?CDE ?

1 3 2 3 ? ?2 ? , 2 4 2

3 AO.S ?CDE 1? 2 21 ?h ? ? ? . S ?ACD 7 7 2

? 点 E 到平面 ACD 的距离为
20. (Ⅰ) 【解析】 试 题 分 析 :( Ⅰ ) 在
4c2 ? r12 ? r22 ? 2r1r2 cos60? ,

21 . 7

4 x2 y 2 ? ? 1 (Ⅱ) k ≥ 0 或 k ≤ ? . 7 8 4
F1MF2

中 , 设 F1M ? r1 , F2 M ? r2 , 由 余 弦 定 理 得

即 4c2 ? (r1 ? r2 )2 ? 2r1r2 ? 2r1r2 cos60? ,即 4c2 ? (r1 ? r2 )2 ? 3r1r2 ,得 3r1r2 ? 4b 2 . 又因为 S ?F1MF2 ?
1 4 3 16 r1r2 s in60? ? , r1r2 ? , b 2 ? 4 , 2 3 3

又因为 2c ? 4, 所以 a 2 ? b2 ? c 2 ? 8 , 所以所求椭圆的方程为

x2 y 2 ? ?1. 8 4

(Ⅱ)显然直线 AB 的斜率 k 存在,设直线方程为 y ? kx ? m , A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,
答案第 6 页,总 7 页

? y ? kx ? m, 由? 2 得 x2 ? 2(kx ? m)2 ? 8 ,即 (2k 2 ? 1) x2 ? 4kmx ? 2m2 ? 8 ? 0 , 2 x ? 2 y ? 8 ?

? ? (4km)2 ? 4(2k 2 ? 1)(2m2 ? 8) ≥ 0 , x1 ? x2 ?

?4km 2(m2 ? 4) , , x x ? 1 2 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1

由 k1 ? k2 ? 4 得, 则

y1 ? 2 y2 ? 2 ? ? 4 ,又 y1 ? kx1 ? m , y2 ? kx2 ? m , x1 x2

kx1 ? m ? 2 kx2 ? m ? 2 (m ? 2)( x1 ? x2 ) ? ? 4 , 2k ? ?4, x1 x2 x1 x2

2k ?

(m ? 2)

?4km 2k 2 ? 1 ? 4 ? m ? k ? 2 , 2 2(m ? 4) 2k 2 ? 1

那么 y ? kx ? m ? y ? kx ? k ? 2 ? y ? k ( x ? 1) ? 2 , 则直线 AB 过定点 (?1, ?2) . 因为 ? ? (4km)2 ? 4(2k 2 ? 1)(2m2 ? 8) ≥ 0 , m ? k ? 2 ,
[4k (k ? 2)]2 ? 4(2k 2 ? 1)[2(k ? 2)2 ? 8] ≥ 0 4k 2 (k ? 2)2 ? (2k 2 ? 1)(2k 2 ? 8k ) ≥ 0 , 2k 2 (k ? 2)2 ? (2k 2 ? 1)(k 2 ? 4k ) ≥ 0 , k[2k (k ? 2)2 ? (2k 2 ? 1)(k ? 4)] ≥ 0 ,

4 k (7k ? 4) ≥ 0 ,所以 k ≥ 0 或 k ≤ ? . 7
考点:直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. 点评:本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题.此类题综合性强,要求学生要有较高地 转化数学思想的运用能力,能将已知条件转化到基本知识的运用 21.

x2 ?
解:(1) (2)(5,

y2 ? 1( x ? 0). 3

?? )

【解析】略 22 . ⑴证见解析 ⑵ sin ? ?

AH 1 ? BD 2

【解析】 ( 1 ) 由 折 前 折 后 线 面 的 位 置 关 系 得 ED ? 平面 ABCD ,所以 ED ? BC , 又在 ?BCD 中, DB ? BC ? 垂直的判定定理即证得结论。 (2)因为 DB ? 2, 只需求出点 D 到平面 BEF 的距离也是点 A 到平面 BEF 的距离,易证

2 , DC ? 2 ,三边满足勾股定理,? BC ? BD 。由线面

?ABF 出 AD // EF ,AD ? 平面 BEF , 由面面垂直的判定定理得平面 ABF ? 平面 BEF , 中 BF 边上的高就是点 A 到平面 BEF 的距离。根据线面角的定义可求直线 BD 与平面 BEF 所成角的正弦值。
答案第 7 页,总 7 页


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