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指数


几种特殊的函数
知识点一:指数及指数幂的运算 1.根式的概念 的 次方根的定义:一般地,如果 ,那么 叫做 的 次方根,其中

当 为奇数时, 正数的 次方根为正数, 负数的 次方根是负数, 表示为 当 为偶数时,正数的 次方根有两个,这两个数互为相反数可以表示为 负数没有偶次方根,0 的任何次方根都是 0. 式子 叫做根式, 叫做根指数, 叫做被开

方数. .



2.n 次方根的性质:

(1)当 为奇数时, (2) 3.分数指数幂的意义:

;当 为偶数时,

; 注意:0 的正分数指数幂等于 0,负分数指数幂没有意义. 4.有理数指数幂的运算性质:

(1)

(2)

(3)

知识点二:指数函数及其性质 1.指数函数概念 一般地,函数 义域为 . 叫做指数函数,其中 是自变量,函数的定

1

2.指数函数函数性质: 函数 名称 定义 指数函数 函数 且 叫做指数函数

图象

定义域 值域 过定点 奇偶性 单调性 图象过定点 非奇非偶 在 上是增函数 在 上是减函数 ,即当 时, .

函数值的 变化情况

变化对图 在第一象限内,从逆时针方向看图象, 逐渐增大;在第二象限内,从逆 象的影响 时针方向看图象, 逐渐减小.

知识点三:对数与对数运算 1.对数的定义 (1)若 其中 叫做底数, 叫做真数. (2)负数和零没有对数. (3)对数式与指数式的互化:
2

,则 叫做以 为底

的对数,记作



.

2.几个重要的对数恒等式 , 3.常用对数与自然对数 常用对数: 4.对数的运算性质 如果 ①加法: ,那么 , 即 ; 自然对数: , 即 (其中 …). , .

②减法: ③数乘: ④



⑥换底公式: 知识点四:对数函数及其性质 1.对数函数定义 一般地,函数 数的定义域 . 叫做对数函数,其中 是自变量,函

3

2.对数函数性质: 函数 名称 定义 对数函数 函数 且 叫做对数函数

图象

定义域 值域 过定点 奇偶性 单调性 图象过定点 非奇非偶 在 上是增函数 在 上是减函数 ,即当 时, .

函数值的 变化情况

变化对图 在第一象限内,从顺时针方向看图象, 逐渐增大;在第四象限内,从顺 象的影响 时针方向看图象, 逐渐减小. 知识点五:反函数 1.反函数的概念 设函数 子 的定义域为 ,值域为 ,从式子 中解出 ,得式 , 在 中都有 叫

.如果对于 在

中的任何一个值,通过式子

唯一确定的值和它对应,那么式子 做函数 的反函数,记作
4

表示 是 的函数,函数 ,习惯上改写成 .

2.反函数的性质 (1)原函数 (2)函数 (3)若 象上. (4)一般地,函数 要有反函数则它必须为单调函数. 与反函数 的图象关于直线 对称. 的值域、定义域. 在反函数 的图

的定义域、值域分别是其反函数 在原函数 的图象上,则

3.反函数的求法 (1)确定反函数的定义域,即原函数的值域; (2)从原函数式 (3)将 改写成 中反解出 ; ,并注明反函数的定义域.

知识点六:幂函数 1.幂函数概念 形如 的函数,叫做幂函数,其中 为常数.

2.幂函数的性质 (1)图象分布:幂函数图象分布在第一、二、三象限,第四象限无图象 .幂函 数是偶函数时,图象分布 在第一、二象限(图象关于 轴对称);是奇函数时,图象分 布在第一、三象限(图象关于原点对称);是非奇非偶函数 时,图象只分布在第一象限.
5

(2)过定点:所有的幂函数在 点 .

都有定义,并且图象都通过

(3)单调性:如果

,则幂函数的图象过原点,并且在 ,则幂函数的图象在

上为增函数.如果

上为减函数,在第一象限内,图象无限接近 轴与 轴. (4)奇偶性:当 为奇数时,幂函数为奇函数,当 (其中 互质, 和 为偶数时, ), 为奇数 为偶数时,则

幂函数为偶函数.当 若

为奇数 为奇数时,则

是奇函数,若

是偶函数, 若 为偶数 为奇数时,则 是非奇非偶函数. ,当 时,若 ,其图象在

(5)图象特征:幂函数 直线 下方,若 ,其图象在直线 上方,若 , 下方.

上方,当

时,若

,其图象在直线

其图象在直线

6


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