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同角三角函数的基本关系


一、创境设问:填一填
sin ?
30? 45? 60?
1 2
2 2
3 2

cos? tan?
3 2
2 2

sin ? ? cos ?
2 2

3 3

1 1 1 1

sin ?

cos ? 3 3

1
3
? 3 3

1
3
? 3 3

1 2

150?

1 2

?

3 2

sin2 ? ? cos2 ? ? 1

sin ? tan ? ? cos ?

二、结论

请根据以上结果讨论,当角α确定后, α的正弦、 余弦、正切值也随之确定,它们之间有何关系?
称为平方关系

sin ? ? cos ? ? 1
2 2

直接可以用定义得到.

sin ? ? tan ? cos ?
可以证明吗?

称为商数关系

角α 是否可以为任意角?
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基本变形 2 2 思考1:对于平方关系 sin ? ? cos ? ? 1 可作哪些变形?

sin ? ? 1 ? cos ? ,
2 2

cos ? ? 1 ? sin ? ,
2 2

(sin a - cos a ) = 1 - 2 sin a cos a ,
(sin a + cos a ) = 1 + 2 sin a cos a ,
1 + cos a sin a = , sin a 1 - cos a
2

2

1 + sin a cos a = . cos a 1 - sin a
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sin ? 思考2:对于商数关系 ? tan ? 可作 cos ?

哪些变形?

sin ? ? cos ? tan ? ,

sin ? cos ? ? . tan ?

思考3:结合平方关系和商数关系, 可得到哪些新的恒等式?
1 cos a = , 2 1 + t an a
2
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判一判 判断下列式子是否成立?

(1).sin 33 ? cos 47 ? 1
2 ? 2 ?

(2).sin 2? ? cos 2? ? 1
2 2

sin ? (3).若?是第二象限角,则 tan ? ? ? . cos ?

(4).sin ? ? cos? ? 1
2 2
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三、数学应用:求值
应用同角三角函数的基本关系解决三角函数的求值问题
例1、已知 sin ? ?

4 , 且?是第二象限角,求角 ?的余弦值和正切值 5

解:

4 2 3 先定象限,后定值 cos ? ? ? 1 ? sin ? ? ? 1 ? ( ) ? ? 5 5
2

由sin2 ? ? cos2 ? ? 1得

因 为?是 第 二 象 限 角 ? ? 0, 所 以 , cos

3 cos? ? ? 5
tan? ? sin? 4 5 4 ? ( ) ? (? ) ? ? cos? 5 3 3

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4 变式1 、已知 sin ? ? ,求 cos ? , tan ?的值 5 自我反思: 解: 由sin2 ? ? cos2 ? ? 1得
? sin ? ? 0 ? 角?是第一或第二象限角


3 cos? ? ? 1 ? sin ? ? ? 5
2

解:由sin? ?

4 5 3 5

得 cos? ? ? 1 ? sin2 ? ? ? 得 tan ? ? ?

?

是第一象限角时, ? cos

?0
tan ? ?

sin? 4 ?? cos? 3 所得结果的符号由角所在象限决定

? cos? ?


9 3 ? 25 5

sin ? 4 5 4 ? ? ? cos ? 5 3 3

?

cos 是第二象限角时, ?
9 3 ?? 25 5

?0
tan ? ? sin ? 4 5 4 ? ? (? ) ? ? cos ? 5 3 3
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? cos? ? ?

变式2、已知tan? ? ? 3,求sin ? , cos?的值
解:? tan? ? sin?
cos?

sin ? 3 sin 2 ? ? ?? 3 解得: 2 4 { ?{ cos2? 1 2 cos ? ? sin ? ? cos ? ?1
? tan? ? 0 ? ?为 第 二 或 第 四 象 限 角
当?为第二象限角时 3 3 ? , cos? ? ? 4 2 当?为第四象限角时 sin? ? sin? ? ? 3 3 ?? , cos? ? 4 2

{

sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 sin ? ? tan ? cos ?

4

方程(组) 思想
1 1 ?? 4 2 1 1 ? 4 2
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讨论交流:
sin? 公式sin ? ? cos ? ? 1, ? tan?各自的特点 cos?
2 2

sin 2 ? ?1?cos2 ? 移项变形: { cos2 ? ?1?sin 2 ?
注: 在开方时,由角

常用于正弦、余弦函数 的相互转化,相互求解。

?

所在的象限来确定开方后的符号。



sin ? ? {

1?cos2 ?,当?在一、二象限时

? 1?cos2 ?,当?在三、四象限时
1?sin 2 ? ,当?是一、四象限时
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cos? ? {

? 1?sin 2 ?,当?是二、三象限时

sin ? 2、公式 ? tan ?的特点 cos ?
变形:

sin? cos? ? tan?

由正弦正切,求余弦 由余弦正切,求正弦

sin ? ? cos ? ? tan ?
由正弦余弦,求正切

sin ? ? tan ? cos ?

注:
所得三角函数值的符号是由另外两个三角 函数值的符号确定的。
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简单应用 下列四个命题中可能成立的一个是( B )

1 1 A.sin ? ? 且 cos ? ? 2 2 B.sin ? ? 0且 cos ? ? ?1 C.tan ? ? 1且 cos ? ? ?1 sin ? D.? 在第二象限时, tan ? ? ? cos ?
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三、数学应用:求值
12 例2 已知 tan ? ? , 求 sin ? , cos ?的值. 5 sin ? 12 解:由 ? tan ? ? , 可得 sin ? ? 12 cos ? cos ? 5 5 12 2 2 2 故( )cos 2 ? ? cos 2 ? ? 1 又 sin ? ? cos ? ? 1, 5 25 2 解得 cos ? ? 。 先定象限,后定值 169 又由tan ? ? 0, 知? 是第一或第三象限角。 5 12 12 若? 是第一象限角,则 cos ? ? , tan ? ? , ? ? sin 13 5 13 5 12 12 若? 是第三象限角,则 cos ? ? ? , tan ? ? , ? ? ? sin 13 5 13 小结:(1)注意方程思想的运用; (2)分类讨论的数学思想. Company Logo

三、数学应用:求值
例3:已知tan α=2,求:
化弦为切
2

化弦为切
2

2sin ? ? 3cos ? (1) 4sin ? ? 9 cos ? 1 (3) sin ? cos ?
2

2sin ? ? 3cos ? (2) 2 2 4sin ? ? 9 cos ? 1 1 + (5) 1 - sin a 1 + sin a
2

(4)sin ? ? 2sin ? cos ? ? 4 cos ?
(1) ? 1 5 (2) 7 5 (3) 2
妙用“1”, 4 然后再化 (4) 5 弦为切
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三、数学应用:求值
拓展延伸
sin? ? cos? 1、已知 ? -7,求 sin? cos?的值 . sin? ? cos?

1 2、已知 tan? ? ? ,求1 ? 2 sin? cos?的值 . 2

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三、数学应用:求值
1 例4、已知0<α<π,sinα+cosα= . 5
求:(1)sinαcosα;
12 (1) ? 25 7 (2) 5

(2) sinα-cosα.

问题4:在利用公式求值中应该注意哪些方面? ?符号判定准确; ?恰当表述; ?步骤清楚。

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三、数学应用:求值
1 ? ? 练习 :已知sin ? ? cos? ? ,且 ? ? ? , 1 8 4 2 求 cos? ? sin ?的值.

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三、数学应用:求值
k ?3 ? sin ? ? , ? k ? 5 则α是( B ) 如果角α满足条件? ? ?cos ? ? 4 ? 2k , ? k ?5 ?
A.第二象限角 B.第二或第四象限角 C.第四象限角 D.第一或第三象限角

k ? 0或k ? 8

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三、数学应用:化简
例5.化简 分析:一个角,三种三角函数,分式。 sin ? ? cos ? (1) 1 ? tan ? 1 ? cos 2 ? (2) 2 1 ? sin ?
1 ? cos ? 1 ? cos ? (α为第四象限角). (3) ? 1 ? cos ? 1 ? cos ?
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三、数学应用:化简
2 cos ? ? 1 ( 4) 2 1 ? 2 sin ?
2
2

1换为sin ? ? cos ?
2 2
2 2 2

2cos ? ? 1 2cos ? ? (sin ? ? cos ? ) 解: ? 2 1 ? 2sin ? (sin 2 ? ? cos 2 ? ) ? 2sin 2 ?

cos ? ? sin ? ? ?1 2 2 cos ? ? sin ?
2 2

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规律归纳 化简三角函数式的一般要求: ①函数种类最少; ②项数最少; ③函数次数最低; ④能求值的求出值; ⑤尽量使分母不含三角函数; ⑥尽量使分母不含根式.

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三、数学应用:化简
练习:) 1 ? sin 440? (1
2

(2) 1 ? sin 4
2

cos 80

0

? cos 4
1 ? 2 sin 10 cos10
? ?

(3) 1 ? 2 sin 2 cos2
sin 2 ? cos 2

(4)

sin 10? ? 1 ? sin 2 10?

?1
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三、数学应用:证明
? ? cos ? ? sin ? ? cos ? 恒等式证明常用方法?
sin 例6 求证:
4 4 2 2

分析:由左往右证

证明:左边 ? sin ? ? cos ?
4 4

? (sin ? ? cos ? )(sin ? ? cos ? )
2 2 2 2

sin ? ? cos ? ? 1
2 2

? sin ? ? cos ? ? 右边
2 2

?原式成立

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三、数学应用:证明
求证:sin 4 ?
2

? sin ? cos ? ? cos ? ? 1.
2 2 2

sin ? ? cos ? ? 1 1 ? 2sin x cos x 1 ? tan x ? 2 2 cos x ? sin x 1 ? tan x
2

分析:1? 2 sin
2

x cos x
2
2

? (sin x ? cos x ) 2 2 cos x ? sin x ? (cosx ? sin x)(cosx ? sin x)
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? sin x ? cos x ? 2 sin x cos x

三、数学应用:证明
tan ? ? sin ? ? tan ? ? sin ?
2 2 2 2

分析:1.两面夹

sin ? 2 证明:左边? tan ? ? sin ? ? ? sin ? 2 cos ? 2 2 sin 2 ? ? sin 2 ? cos2 ? sin ? (1 ? cos ? ) ? ? 2 cos ? cos2 ?
2 2
2

2.切化弦

sin 2 ? 2 sin 4 ? 2 2 ? sin ? ? 右边 ? tan ? ? sin ? ? cos? cos2 ?

sin 4 ? sin 2 ? ? sin 2 ? ? ? 2 cos2 ? cos ?

左边 ? 右边

?原式成立

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三、数学应用:证明

例.证明: cos ? 1 ? sin ? ? 1 ? sin ? cos ?

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证明三角恒等式的基本思路:由繁到简 一般方法: (1)左边 ? 右边 (2)右边 ? 左边 (3)左边 ? 中间式 ? 右边 (两面夹) (4)转化①A=B ?A – B = 0
A ②A ? B ? ? 1(B ? 0) B ③ A C ? ? AD ? BC B D
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小结:
(一)同角三角函数的基本关系式: 2 2 平方关系: sin ? ? cos ? ? 1 商数关系: sin ? ? tan ? (二)公式的应用: cos ?
知一求二:由一个角的某一三角函数值

求出其它的两个三角函数值;
(三)数学思想方法: ①分类讨论; ②方程(组)的思想.
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小结:
1.证明方法 (1)由左往右证 由复杂的一端向 简单的一端化简

(2)由右往左证 (3)两面夹 2.技巧

(3)1 ? 2 sin x cos x ? (sin x ? cos x)
2

(1) 1换为sin 2 ? ? cos2 ? sin ? (2)切化弦: ? ? tan cos ?

2
2

(4) (1 ? sin x)(1 ? sin x) ? 1 ? sin x ? cos x
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