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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修1【配套备课资源】2.1.2(一)


2.1.2(一)

2.1.2 函数的表示方法(一)
【学习要求】 1.会用列表法、图象法、解析法表示一些具体的函数;
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2.会根据具体条件求函数的解析式; 3.会在不同情境中用不同形式表示函数. 【学法指导】 学习函数的表示方法,不仅是研究函数的性质和应用的需要, 而且是为加深函数概念的理解

. 通过根据不同的需要选择恰当 的方法表示函数,感受函数与生活实际联系的密切性,通过求 函数解析式加深对数学思想方法的理解,提高分析问题、解决 问题的能力.

填一填·知识要点、记下疑难点

2.1.2(一)

1.列表法:通过列出 自变量与对应函数值 的表来表示函数关系
本 的方法叫做列表法. 课 时 2.图象法:如果图形 F 是函数 y=f(x)的图象,则图象上的任一 栏 目 点的坐标(x,y)都满足函数关系 y=f(x),反之,满足函数关 开 关 系 y=f(x)的点(x,y)都在图象 F 上.这种用 “图形”表示函数

的方法叫做图象法. 3.解析法:如果在函数 y=f(x)(x∈A)中,f(x)是用代数式(或解

析式) 来表达的,这种方法叫做解析法.

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2.1.2(一)

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[问题情境]

语言是沟通人与人之间的联系的,同样的祝福又

有着不同的表示方法.例如,简体中文中的“生日快乐!” 用繁体中文为:生日快樂!英文为:Happy Birthday!?, 那么对于函数,又有什么不同的表示方法呢?

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探究点一 问题 1 函数的表示方法

2.1.2(一)

在初中学习的函数有哪几种常用的表示法?

答 解析法、图象法、列表法.
问题 2 列表法是如何定义的?
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通过列出自变量与对应函数值的表来表示函数关系的方

法叫做列表法.

问题 3 下面是我国解放后五次人口普查数据表,这张表中, 所表示的函数定义域、值域各是什么? 年份 总人口数(亿)


1953 1964 1982 1990 2000 5.9 6.9 10.1 11.3 12.7

定 义 域 为 {1953,1964,1982,1990,2000} , 值 域 为

{5.9,6.9,10.1,11.3,12.7}.

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问题 4 图象法是如何定义的?

2.1.2(一)


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如果图形 F 是函数 y=f(x)的图象,则图象上的任一点

的坐标(x,y)都满足函数关系 y=f(x),

反之,满足函数关系 y=f(x)的点(x,y)都在图象 F 上.
这种用“图形”表示函数的方法叫做图象法.

问题 5 我们在作函数 y=2x+1 的图象时,先列表,后描点作 图. 这实际上就是函数的列表法表示和图象法表示, y=2x 而 +1 这种表示方法叫做解析法.你能给解析法下个定义吗?



如果在函数 y=f(x) (x∈A)中, f(x)是用代数式(或解析式)

来表达的,这种方法叫做解析法.(也称为公式法.)

研一研·问题探究、课堂更高效 问题 6 三种表示函数的方法各有哪些优缺点?


2.1.2(一)

(1)用解析法表示函数的关系.优点:简捷明了.能从解

析式清楚看到两个变量之间的全部相依关系,并且适合于进 行理论分析和推导计算;缺点:在求对应值时,有时要做较
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复杂的计算. (2)用列表法表示函数关系.优点:对于表中自变量的每一个

值,可以不通过计算,直接把函数值找到,查询时很方便; 缺点:表中不能把所有的自变量与函数对应值全部列出,而 且从表中看不出变量间的对应规律. (3)用图象法表示函数关系.优点:形象直观,可以形象地反 映出函数关系变化的趋势和某些性质,把抽象的函数概念形 象化;缺点:从自变量的值常常难以找到对应的函数的准确 值.

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例1

2.1.2(一)

某种笔记本的单价是 5 元,买 x (x∈{1,2,3,4,5})个笔记

本需要 y 元.试用函数的三种表示法表示函数 y=f(x).

解 这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5}.
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用解析法可将函数 y=f(x)表示为 y=5x,x∈{1,2,3,4,5}.
用列表法可将函数 y=f(x)表示为 笔记本数 x 钱数 y 1 2 3 4 5 25

5 10 15 20

用图象法可将函数 y=f(x)表示为下图.

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小结
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本例题的两个变量之间的函数关系用解析法、列表法、

图象法都能表示,但并不是所有的函数都能用三种方法表示, 能用解析法表示的一般也能用另两种方法表示, 能用列表法或 图象法表示的不一定能用解析法表示, 也就是说有些函数的关 系找不到一个等式来表示.

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跟踪训练 1


2.1.2(一)

用列表法画出函数 y= x的图象.

在这个函数的定义域内,从 0 开始适当地取若干个 x 的

值:0,0.5,1,1.5,2,2.5,3,3.5,4,4.5,5,?.

算出对应的函数值,列出函数的对应值表(精确到 0.1):
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x 0 y 0

0.5 0.7

1 1.5

2

2.5

3

3.5 4 4.5

5

? ?

1 1.2 1.4 1.6 1.7 1.9 2 2.1 2.2

以这 11 个有序数对(x,y)为坐标,在直角坐标系中画出所对 应的 11 个点, 由这些点连成的一条光滑曲线就是函数 y= x 的图象.

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例2

2.1.2(一)

设 x 是任意一个实数,y 是不超过 x 的最大整数,试问

x 和 y 之间是否是函数关系?如果是, 画出这个函数的图象.

解 对每一个实数 x,都可以写成等式:x=y+α,其中 y 是
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整数,α 是一个小于 1 的非负数,
例如,6.48=6+0.48,6=6+0,-1.35=-2+0.65,-12.52 =-13+0.48,?,

由此可以看到,对于任一个实数 x,都有唯一确定的 y 值与 它对应,所以说 x 和 y 之间是函数关系.

这个“不超过 x 的最大整数”所确定的函数记为 y=[x].这 个函数的定义域是实数集 R,值域是整数集 Z.

例如,当 x=6 时,y=[6]=6;

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当 x=π 时,y=[π]=3;
当 x=-1.35 时,y=[-1.35]=-2.

函数的图象如下图所示.
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小结

函数的图象不仅可以是一段光滑的曲线, 还可以是若干

条线段,甚至是一些孤立的点.

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跟踪训练 2 已知函数 y=f(n),满足 f(0)=1,且 f(n)=nf(n- 1),n∈N+,求 f(1),f(2),f(3),f(4),f(5).

解 因为 f(0)=1,
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所以 f(1)=1· f(1-1)=1· f(0)=1,
f(2)=2· f(2-1)=2· f(1)=2,
f(3)=3· f(3-1)=3· f(2)=6,

f(4)=4· f(4-1)=4· f(3)=24,
f(5)=5· f(5-1)=5· f(4)=120.

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探究点二 问题
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2.1.2(一)

换元法求函数的解析式

已知函数 f(g(x))的解析式求 f(x)的解析式通常用什么方

法?这种方法的具体做法是怎样的?

答 通常用换元法.
即令 g(x)=t,反解出 x,然后代入 f(g(x))中求出 f(t),即求出 了 f(x).

例 3 已知 f(x2-1)=x4-x2+1,求 f(x).
解 因为 f(x2-1)=x4-x2+1=(x2-1)2+(x2-1)+1,

所以 f(x)=x2+x+1 (x≥-1).

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小结
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(1)此法是把所给函数的解析式, 通过配方、 凑项等方法

使之变形为关于“自变量”的表示式,然后以 x 代替“自变 量”,即得所求函数解析式. (2)已知 f(g(x))是关于 x 的函数,求 f(x)的解析式,通常令 g(x) =t,由此能解出 x=h(t),将 x=h(t)代入 f(g(x))中,求得 f(t) 的解析式,再用 x 替换 t,便得 f(x)的解析式.

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跟踪训练 3 已知 f( x-1)=3-x,求 f(x)的解析式.

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令 x-1=t,则 t≥0,且 x=t2+1,

所以 f(t)=3-(t2+1)=2-t2,
即 f(x)=2-x2(x≥0).

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1.函数 y=f(x)的图象与一直线 x=a 的交点个数为 A.必有一个 C.至多一个 B.一个或两个 D.可能两个以上

( C )

解析 由函数的定义,知对于定义域内的任意一个 x,都有 唯一一个 f(x)值与之对应.
所以,当 a 不在函数定义域内时,直线 x=a 与函数 y=f(x) 的图象没有交点,所以选 C.

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1 1 x-2(x≠1) 2.已知 f(1+x)=x-1,则 f(x)=__________.
1 1 解析 设 1+x =t(t≠1),则 x= , t-1 1 ∴f(t)= 1 -1=t-2(t≠1). t-1
∴f(x)=x-2(x≠1).
3.已知 f(x+1)=x2-3x+2,求 f(x).

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因为 f(x+1)=x2-3x+2

=(x+1)2-5x+1=(x+1)2-5(x+1)+6,

所以 f(x)=x2-5x+6.

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1.如何作函数的图象 一般地,作函数图象主要有三步:列表、描点、连线.作
本 课 数解析式,再列表描出图象,并在画图象的同时注意一些 时 栏 关键点,如与坐标轴的交点、分段函数的区间端点等. 目 开 2.如何求函数的解析式 关

图象时一般应先确定函数的定义域,再在定义域内化简函

求函数的解析式的关键是理解对应法则 f 的本质与特点(对 应法则就是对自变量进行对应处理的操作方法,与用什么 字母表示无关),应用适当的方法,注意有的函数要注明定 义域.主要方法有:代入法、待定系数法、换元法、解方 程组法.


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