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2014届高三模拟考试理科数学


2014 届高三模拟考试

理科数学
本试卷共 3 页,21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。
注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔 将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2.选择题每小题选出

答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再 选涂其他答案,答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域相应位置上;如需改动,先划掉原 来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题。 (每小题 5 分,共 40 分) 1. 已知复数 z=1-i,则 A. 2

z2 ? z ?1
B. -2 C. 2i D. -2i

b c 2. 已知 a ? ?? 2,?3,1?, ? ? ?2,0,4?, ? ? ?? 4,?6,2? ,则下列结论正确的是 b A. a // b, ? // c a B. a // b, ? ? c a C. a // c, ? ? b
D. 以上都不对

3. 已知二次函数 y=ax2+bx+c,则 a,b,c∈{0,2,4,6,8},则不同的二次函数有 A. 125 个 B. 100 个 C. 60 个 D. 48 个

4. f(x)=3x-cos2x 在(-∞,+∞)上 A. 是增函数 B. 是减函数 C. 有最大值 D. 有最小值

5. 已知直线 l,m 与平面 α,β,γ 满足 ? ? ? ? l,l // ?,m ? ? , m ? ? ,则有 A. ? ? ? 且 m // ? C. m // ? 且 l ? m 6. 等差数列 {an } 中, S10 ? 90, A. 16 B. ? ? ? 且 l ? m D. ? // ? 且 ? ? ?

a5 ? 8 ,则 a4 =
C. 8 D. 6

B. 12

7. 如图 1-3,某几何体的正视图(主视图)是平行四边形,侧视图(左视图)和俯视图都是矩形,则该几何体的体积为

A. 6 3

B. 9 3

C. 12 3

D. 18 3

8. 设 S 是整数集 Z 的非空子集,如果任意 a,b∈S,有 ab∈S,则称 S 关于数的乘法是封闭的. 若 T,V 是 Z 的两个不相 交的非空子集,T∪U=Z,且任意 a,b,c∈T,有 abc∈T;任意 x,y,z∈V 有 xyz∈V,则下列结论恒成立的是 A. T, V 中至少有一个关于乘法是封闭的 C. T, V 中有且只有一个关于乘法是封闭的 B. T, V 中至多有一个关于乘法是封闭的 D. T, V 中每一个关于乘法都是封闭的

二、填空题。 (每小题 5 分,共 40 分) 9. 随机抽取某产品 n 件,测得其长度分别为 a1 , a2 ,? , an ,则右图所示的程序框 图输出的 s ? (注:框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”“:=”)

10. 若正数 x, y 满足 x+3y=5xy,则 3x+4y 的最小值是______.

2? ? 4 11. x ? x ? ? 的展开式中, x 的系数是 x? ?
12. 以下正确命题的为

7

(用数字作答)

①命题“存在 x ? R , x ? x ? 2 ? 0 ”的否定是:“不存在 x ? R , x ? x ? 2 ? 0 ”;
2 2

②函数 f ( x) ? x ? ( ) x 的零点在区间 ( , ) 内; ③在极坐标系中,极点到直线 l : ? sin(? ? ) ? ④函数 f ( x) ? e
?x

1 3

1 2

1 1 3 2 π 4

2 的距离是 2 .

? e x 的图象的切线的斜率的最大值是 ?2 ;

? y ? ⑤线性回归直线 ? ? bx ? a 恒过样本中心 x, y ,且至少过一个样本点.
13. 某数学老师身高 176cm,他爷爷、父亲和儿子的身高分别是 173cm、170cm 和 182cm .因儿 子的身高与父亲的身高有关,该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为_____cm.

? ?

※ 选做题(考生只需要从 14、15 题中任选一题完成) 14. (几何证明选讲选做题)如上图,点 A, B, C 是圆 O 上的点, 且 AB=4,∠ACB=45° ,则圆 O 的面积等于 .

? x ? s, x ? 1 ? 2t , 15. (坐标系与参数方程选做题) 若直线 l1 : ? ( s 为参数) 垂直, k ? 则 (t为参数) 与直线 l2 : ? ? ? y ? 1 ? 2 s. ? y ? 2 ? kt.



三、解答题。 (80 分) ωx 16. (12 分)函数 f(x)=6cos2 + 3sin ωx-3(ω>0)在一个周期内的图象如图所示,A 为图象的 2 最高点,B、C 为图象与 x 轴的交点,且△ ABC 为正三角形. (1)求 ω 的值及函数 f(x)的值域; 8 (2)若 f(x0)= 5 3 ? 10 2 ? ,且 x0∈ ? ? , ? ,求 f(x0+1)的值.

?

3 3?

17. (12 分) 为了解甲、乙两厂的产品质量,采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取 14 件和 5 件,测量产 品中的微量元素 x,y 的含量(单位:毫克).下表是乙厂的 5 件产品的测量数据: 编号 x y 1 169 75 2 178 80 3 166 77 4 175 70 5 180 81

(1)已知甲厂生产的产品共有 98 件,求乙厂生产的产品数量; (2)当产品中的微量元素 x,y 满足 x≥175,且 y≥75 时,该产品为优等品。用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量; (3)从乙厂抽出的上述 5 件产品中,随机抽取 2 件,求抽取的 2 件产品中优等品数 ξ 的分布列极其均值(即数学期望) 。

P 18. (14 分) 如图,在锥体 P-ABCD 中,ABCD 是边长为 1 的棱形,且∠DAB=60° , PA=PD= 2 ,PB=2,E, F 分别是 BC, PC 的中点. D (1)证明:AD⊥平面 DEF; A (2)求二面角 P-AD-B 的余弦值. F



B

C E S





19. (14 分) 已知点 F(0,1),直线 l:y=-1,P 为平面上的动点,过点 P 作直线 l 的垂线,垂足为 Q,且 QF ? QF ? FP ? FQ . (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)已知圆 M 过定点 D(0,2),圆心 M 在轨迹 C 上运动,且圆 M 与 x 轴交于 A、B 两点,设|DA|=l1,|DB|=l2, 求

l1 l 2 ? 的最大值. l 2 l1

20. (14 分) 已知函数 f ? x ? ?

1 3 x ? ax 2 ? bx ? a,b ? R ? . 3

(1)若曲线 C:y=f(x)经过点 P(1,2),曲线 C 在点 P 处的切线与直线 x+2y—14=0 垂直,求 a,b 的值;
7 ? ? 2 (2)在(1)的条件下,试求函数 g ? x ? ? ? m ? 1? ? f ? x ? ? x ? ( m 为实常数, m ? ?1 )的极大值与极小值之差; 3 ? ? (3)若 f(x)在区间(1,2)内存在两个不同的极值点,求证: 0 ? a ? b ? 2 .

21. (14 分) 已知曲线 Cn:x2-2nx+y2=0(n=1,2,…)。从点 P(-1,0)向曲线 Cn 引斜率为 kn(Cn>0)的切线 ln,切点为 Pn(xn,yn). (1)求数列{xn}和{yn}的通项公式; (2)证明: x1 ? x3 ? x5 ? ? ? x 2 n ?1 ?

1 ? xn x ? 2 sin n . 1 ? xn yn

2014 届高三模拟考试
1~8 ACBA BDBA

理科数学

参考答案

9. 【解析】 s ? 10. 5 11. 84 12. ②③④

a1 ? a 2 ? ? ? ? ? a n n

【 解 析 】 ① 命 题 的 否 定 为 “ 任 意 的 x ? R , x2 ? x ? 2 ? 0 ” 所 以 不 正 确 ; ② 因 为 ,

1 1 1 3 1 1 1 1 2 f ( x) ? x ? ( ) x ,又 f ( ) ? ( ) 3 ? ( ) ? 0 , f ( ) ? ( ) 3 ? ( ) ? 0 ,所以函数的零点 3 3 2 2 2 2 2
在区间 ( , ) ,所以正确;③把极坐标方程化为普通方程,利用点到直线的距离公式求出极点

1 3

1

1

1

1

1 1 3 2

到直线的距离,

2 2 ? sin ? ? ? cos? ? 2 ,即普通方程为 x ? y ? 2 ,则极点到直线的距 2 2

离为 d ?

2 2

? 2 ,正确;④函数的导数为 f ' ( x) ? ?e ? x ? e x ? ?(e x ?

1 ) ? ?2 ,当且仅当 ex

ex ?

? x, y ? ,但不一定过样本点,所以不正确,综上正确的为②③④.
13. 185 选做 14.【解析】 ?

1 x y ? ? ,即 e ? 1, x ? 0 时取等号,所以正确;⑤线性回归直线 ? ? bx ? a 恒过样本中心 x e

k ? (?2) ? ?1 ,得 k ? ?1. 2
0

15.【解析】解法一:连结 OA 、 OB ,则 ?AOB ? 90 ,∵ AB ? 4 , OA ? OB , ∴ OA ? 2 2 ,则 S圆 ? ? ? (2 2 ) ? 8? ;
2

解法二: 2 R ?

4 ? 4 2 ? R ? 2 2 ,则 S圆 ? ? ? (2 2 ) 2 ? 8? . 0 sin 45

16. (12 分) ωx 解: (1)f(x)=3(2cos2 -1)+ 2 3sin ωx=3cos ωx+ π 3sin ωx=2 3sin?ωx+3?. ? ?

依题设,等边△ABC 的高为 2 3,从而 BC=4. 2π π 所以函数 f(x)的周期 T=4×2=8,即 =8,ω= . ω 4 函数 f(x)的值域为[-2 3,2 3].

8 3 (2)因为 f(x0)= , 5 πx0 π 8 3 由(1)有 f(x0)=2 3sin? 4 +3?= ? ? 5 , πx0 π 4 ∴sin? 4 +3?= . ? ? 5 10 2 π π πx0 π 由 x0∈?- 3 ,3?,知 + ∈?-2,2?. ? ? ? 4 3 ? πx0 π 所以 cos? 4 +3?= ? ? 4 3 1-?5?2= . ? ? 5

πx0 π π πx0 π π 故 f(x0+1)=2 3sin? 4 +4+3?=2 3sin?? 4 +3?+4? ? ? ? ? ?? πx0 π πx0 π π π =2 3?sin? 4 +3?cos4+cos? 4 +3?sin4? ? ? ? ? ? ? 4 2 3 2 7 6 =2 3×? × + × ?= . ?5 2 5 2 ? 5 [规律方法] 此类题目往往先化成 f(x)=Asin(ωx+φ)的形式再求解. (1)求 y=A sin(ωx+φ)的单调区间要先化 ω 为正, 然后把“ωx+φ”整体看成一个变量,代入相应单调区间,解得 x 的范围即可,最终别忘了写成区间的形式.(2) 函数 y=A sin(ωx+φ)、y=A cos(ωx+φ)的最小正周期为 2π π ,函数 y=A tan(ωx+φ)的最小正周期为 . |ω| |ω|

17.解: (1)乙厂生产的产品总数为 5 ? (2)样品中优等品的频率为

14 ? 35 ;-----------------------------------------------------3 分 98

2 2 ,乙厂生产的优等品的数量为 35 ? ? 14 ;-------------6 分 5 5
i C2 C32?i (i ? 0, 1, 2) , ? 的分布列为 C52

(3) ? ? 0, 1, 2 , P (? ? i ) ?

?
P

0

1

2

3 10

3 5

1 10

--------------------------------------------------------------------10 分 均值 E (? ) ? 1 ?

3 1 4 ? 2 ? ? .--------------------------------------------------------------------12 分 5 10 5

18. 解:(1) 取 AD 的中点 G,又 PA=PD,? PG ? AD ,-----------------------------2 分 由题意知 ΔABC 是等边三角形, BG ? AD , ------------------------------------------4 ? 分 又 PG, BG 是平面 PGB 的两条相交直线, F P

? AD ? 平面PGB ,---------------------------5 分
? EF / / PB, DE / /GB ,

?平面DEF //平面PGB ,---------------------6 分 ? AD ? 平面DEF --------------------------------7 分

D G A



B

C E S





(2) 由(1)知 ?PGB 为二面角 P ? AD ? B 的平面角,-----8 分 在 Rt ?PGA 中, PG 2 ?
2 1 7 2 ? ( ) 2 ? ;--------------10 分 2 4

在 Rt ?BGA 中, BG 2 ? 12 ? ( ) 2 ? 在 ?PGB 中, cos ?PGB ?

1 2

3 ;-----------------------12 分 4

PG 2 ? BG 2 ? PB 2 21 .--------------------14 分 ?? 2 PG ? BG 7

19. 解: (1)设 P ? x , y ? ,则 Q ? x, ?1? ,

QF ? FP?FQ , ∵ QP?
∴ ? 0, y ? 1?? ? x, 2 ? ? ? x, y ? 1?? x, ?2 ? . ? ?
2 2 即 2 ? y ? 1? ? x ? 2 ? y ? 1? ,即 x ? 4 y ,所以动点 P 的轨迹 C 的方程 x ? 4 y .
2

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

2 (2)设圆 M 的圆心坐标为 M ? a, b ? ,则 a ? 4b .



圆 M 的半径为 MD ? a 2 ? ? b ? 2? .
2

圆 M 的方程为 ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? a ? ? b ? 2 ? .
2 2 2 2

令 y ? 0 ,则 ? x ? a ? ? b ? a ? ? b ? 2 ? ,
2 2 2 2

整理得, x ? 2ax ? 4b ? 4 ? 0 .
2



由①、②解得, x ? a ? 2 . 不妨设 A ? a ? 2, 0 ? , B ? a ? 2, 0 ? , ∴ l1 ? ∴

? a ? 2?

2

? 4 , l2 ?

? a ? 2?

2

?4 .

l1 l2 l12 ? l2 2 2a 2 ? 16 ? ? ? l2 l1 l1l2 a 4 ? 64

?2

?a

2

? 8?

2

a 4 ? 64

? 2 1?

16a 2 , a 4 ? 64



当 a ? 0 时,由③得,

l1 l2 16 16 ? ? 2 1? ≤2 1 ? ?2 2. 64 l2 l1 2?8 2 a ? 2 a

当且仅当 a ? ?2 2 时, 等号成立.当 a ? 0 时,由③得,

l1 l2 ? ?2. l2 l1

故当 a ? ?2 2 时,

l1 l2 ? 的最大值为 2 2 . l2 l1

20.解: (Ⅰ) ? f ? ? x ? ? x ? 2ax ? b ,
2

1 ?直线 x ? 2 y ? 14 ? 0 的斜率为 ? ,?曲线 C 在点 P 处的切线的斜率为 2 , 2

? f ? ?1? ? 1 ? 2a ? b ? 2 ??①------------------------------------1 分

?曲线 C : y ? f ? x ? 经过点 P ?1, 2 ? ,
1 ? f ?1? ? ? a ? b ? 2 ??②------------------------------------2 分 3

2 ? ?a ? ?3, ? 由①②得: ? ?b ? 7. ? 3 ?

---------------------------------------------------3 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知: f ? x ? ?

1 3 2 2 7 m2 ? 1 3 x ? x ? x ,? g ? x ? ? ? x ? 2 x2 ? ,----------4 分 3 3 3 3

4? 4 ? ? g ? ? x ? ? ? m 2 ? 1? x ? x ? ? , 由 g ? ? x ? ? 0 ? x ? 0 ,或 x ? .----------------5 分 3? 3 ?
当 m2 ? 1 ? 0 ,即 m ? 1, 或 m ? ?1 时, x , g ? ? x ? , g ? x ? 变化如下表

x
g?? x?

? ?? ,0 ?
+

0
0 极大值

? 4? ? 0, ? ? 3?

4 3

?4 ? ? , ?? ? ?3 ?

-

0 极小值

+

g ? x?
由表可知:

?4? ? 32 ? 32 g ? x ?极大 ? g ? x ?极小 ? g ? 0 ? ? g ? ? ? 0 ? ? ? ? m2 ? 1? ? ? ? m2 ? 1? ------------7 分 ?3? ? 81 ? 81
当 m 2 ? 1 ? 0 , 即 ?1 ? m ? 1 时, x , g ? ? x ? , g ? x ? 变化如下表

x
g?? x? g ? x?
由表可知:

? ?? ,0 ?
-

0
0 极小值

? 4? ? 0, ? ? 3?

4 3

?4 ? ? , ?? ? ?3 ?

+

0 极大值

-

32 32 ?4? g ? x ?极大 ? g ? x ?极小 ? g ? ? ? g ? 0 ? ? ? ? m2 ? 1? ? 0 ? ? ? m2 ? 1? -------------9 分 81 81 ?3?

综上可知:当 m ? 1, 或 m ? ?1 时, g ? x ?极大 ? g ? x ?极小 ? 当 ?1 ? m ? 1 时, g ? x ?极大 ? g ? x ?极小 ? ?

32 2 ? m ? 1? ; 81

32 2 ? m ?1? ----------------------------10 分 81

(Ⅲ)因为 f ? x ? 在区间 ?1, 2 ? 内存在两个极值点 ,所以 f ?( x) ? 0 , 即 x2 ? 2ax ? b ? 0 在 (1, 2) 内有两个不等的实根.

? f ?(1) ? 1 ? 2a ? b ? 0, ? f ?(2) ? 4 ? 4a ? b ? 0, ? ∴? ?1 ? ?a ? 2, ?? ? 4(a 2 ? b) ? 0. ?

(1) (2) (3) (4)
--------------------------------------------12 分

由 (1)+(3)得: a ? b ? 0 , 由(4)得: a ? b ? a 2 ? a ,由(3)得: ?2 ? a ? ?1 ,

1 1 ? a 2 ? a ? (a ? )2 ? ? 2 ,∴ a ? b ? 2 . 2 4
故0 ? a?b ? 2 ------------------------------------------------------14 分

21. 解 : 1) 设 直 线 ln : y ? k n ( x ? 1) ,联立 x ? 2nx ? y ? 0 (
2 2

得 (1 ? k n ) x ? (2k n ? 2n) x ? k n ? 0 ,则 ? ? (2k n ? 2n) ? 4(1 ? k n )k n ? 0 ,
2 2 2 2 2 2 2 2

∴ kn ?

n 2n ? 1

(?

n 2n ? 1

舍去)

2 xn ?

2 kn n2 n 2n ? 1 n ? , 即 xn ? , ∴ y n ? k n ( x n ? 1) ? -----------5 分 2 2 n ?1 1 ? k n (n ? 1) n ?1

n 1 ? xn n ?1 ? ( 2) 证 明 : ∵ ? n 1 ? xn 1? n ?1 1?
x1 ? x3 ? x5 ? ? ? ? ? x 2 n ?1 ?

1 2n ? 1

1 3 2n ? 1 1 3 2n ? 1 ? ????? ? ? ????? ? 2 4 2n 3 5 2n ? 1

1 2n ? 1

∴ x1 ? x3 ? x5 ? ? ? ? ? x 2 n ?1 ?

1 ? xn ------------------------------------------------------------------------9 分 1 ? xn

由于

xn ? yn

1 ? xn 1 ' ' ? x x , 可 令 函 数 f ( x) ? x ? 2 s i n , 则 f ( x ) ? 1 ? 2 c o s , 令 f ( x) ? 0 , 得 2n ? 1 1 ? xn

cos x ?

2 ? ? , 给 定 区间 (0, ) , 则 有 f ' ( x) ? 0 , 则函 数 f (x) 在 (0, ) 上 单 调 递 减, ∴ f ( x) ? f (0) ? 0 , 即 2 4 4

x ? 2 s inx 在 (0, ) 恒成立,又 0 ? 4
则有

?

1 1 ? ? ? , 2n ? 1 3 4

1 ? xn x 1 1 ? 2 sin n .-------------------------------------14 分 ? 2 sin ,即 1 ? xn yn 2n ? 1 2n ? 1

附答题卡↓ 下一页

市区__________________ 班级__________________

学校__________________ 姓名__________________
[0] [1] [2] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9]


[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9]

试 号
[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9]

2014 届高三模拟考试 理科数学答题卡
一、单项选择题(每小题 5 分,共 40 分)
1 2 3 4
[A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D]

[3] [4] [5] [6] [7] [8] [9]

5 6 7 8

[A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D]

以下为非选择题答题区,请用黑色字迹的签字笔或钢笔在指定的区域内作答,否则答案无效

二、填空题(每小题 5 分,共 30 分)
(一)必做题 9. _____________ 10. _____________ 11. _____________ 12. _____________ 15. 13. _____________

(二)选做题(请在右方的信息填涂处涂黑所选题号) 14.

___________________

三、解答题(共 80 分)
16.(12 分)

请勿在此区域内作任何标记
17.(12 分)

市区__________________ 班级__________________

学校__________________ 姓名__________________

18.(14 分)

19.(14 分)

市区__________________ 班级__________________

学校__________________ 姓名__________________

20.(14 分)

21.(14 分)


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