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高二数学讲义(期中复习一)


高二数学讲义(第四讲 期中复习一函数与导数)
1.将函数 y ?

4 ? 6 x ? x 2 ? 2( x ?[0,6]) 的 图 象 绕 坐 标 原 点 逆 时 针 方 向 旋 转 角 ?

( 0 ? ? ? ? )得到曲线 C,若对于每一个旋转角 ? ,曲线 C 都是一个函数的图象,则 ? 的 最大值为__________



2.已知函数 f ( x) 满足 f ( x ? 1) ? x ? 2 x ?1,求函数 f ( x) 的解析式.

3 .已知函数 f ( x) 是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数,且对任意实数 x 都有

5 xf ( x ? 1) ? (1 ? x) f ( x) ,则 f ( f ( )) 的值是__________. 2

4. (1)二次函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? b , x ? [0,1] 时, y ? [0,1] ,求 a,b 的值. (2)已知不等式 0 ? x ? ax ? b ? 1 的解集为 [0,1] ,求 a,b 的值.
2

5.已知 f ? x ? ? ?

2 ? ? x ? 4 x ? 3, x ? 0, 不等式 f ?x ? a ? ? f ?2a ? x ? 在 ?a, a ? 1? 上恒成立, 2 ? ? x ? 2 x ? 3 , x ? 0 ?

则实数 a 的取值范围是__________.

6. 对于函数 y ? f ( x) ,若其定义域内存在两个实数 m, n (m ? n) , 使得 x ??m, n? 时, f ( x ) 的值域也是 [ m, n] ,则称函数 f ( x ) 为“和谐函数”,若函数 f ( x) ? k ? x ? 2 是“和谐函数”, 则实数 k 的取值范围是 .

7.若 f ( x) ?

1 ? a 是奇函数,则 a ? 2 ?1
x



8.设 a ? 0 ,两个函数 f ( x) ? eax , g( x) ? b ln x 的图像关于直线 y ? x 对称. (1)求实数 a , b 满足的关系式; (2)当 a 取何值时 ,函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 有且只有一个零点; (3)当 a ? 1 时,在 ( ,?? ) 上解不等式 f (1 ? x) ? g ( x) ? x 2 .

1 2

9.已知函数 f ( x) ? x 2 ?1, g ( x) ? a | x ?1 | . (1)若 | f ( x) |? g ( x) 只有一个实根,求 a 的取值范围; (2)若当 x ? R, f ( x) ? g ( x) 恒成立,求 a 的取值范围; (3)求 h( x) ?| f ( x) | ? g ( x) 在 [?2,2] 上的最大值.

10 .已知函数 f ( x) ? ?

?kx ? 1, x ? 0 ,则函数 y ? f ( f ( x)) ? 1 的零点个数的判断正确的是 ?ln x, x ? 0

___. A 当 k ? 0 时,有 4 个零点;当 k ? 0 时,有 1 个零点 B 无论 k 为何值,均有 2 个零点 C 当 k ? 0 时,有 3 个零点;当 k ? 0 时,有 2 个零点 D 无论 k 为何值,均有 4 个零点

11 .若函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c 有极值点 x1 , x2 ,且 f ( x1 ) ? x1 ,则关于 x 的方程
3 2

3( f ( x))2 ? 2af ( x) ? b ? 0 的不同实根个数为__________.

1 ? ?| x ? | ( x ? 0) 12.已知函数 f ( x) ? ? ,则关于 x 的方程 f 2 ( x) ? bf ( x) ? c ? 0 有 5 个不同 x ? ?0( x ? 0)
的实数解的充要条件是__________.

13.函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的图象关于直线 x ? ?

b ,据此可推测,对任意的非 2a

零实数 a, b, c, m, n, p, 关于 x 的方程 m[ f ( x)]2 ? nf ( x) ? p ? 0 解集都不可能是__________. A、{1,2} B、{1,4} C、{1,2,3,4} D、{1,4,16,64}

14.函数 f ( x) ? 1 ? x ?

x 2 x3 x 4 x 2015 x 2 x3 x 4 x 2015 ? ? ? ... ? , g ( x) ? 1 ? x ? ? ? ? ... ? 2 3 4 2015 2 3 4 2015

设函数 F ( x) ? f ( x ? 3) ? g ( x ? 4) ,且函数 F ( x) 的零点均在区间 [a, b](a ? b, a, b ? Z ) 内, 则 b-a 的最小值为__________.

15.已知二次函数 f ? x ? ? ax2 ? ? a ? 1? x ? a 。 (1)若 a ? 2 ,求函数 f ( x) 在区间 [?1,1] 上最大值;

? 2 在 x ??1, 2? 上恒成立,求实数 a 的取值范围; x 1 ? ? a ? 1? x 2 (3)函数 g ? x ? ? f ? x ? ? 在 ? 2 , 3? 上是增函数,求实数 a 的取值范围 x
(2)关于 x 的不等式

f ? x?

16.已知 f ( x) 为定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) 为二次函数,且满足 f (2) ? 1 ,

f ( x) 在 (0, ??) 上的两个零点为 1和 3 .
(1)求函数 f ( x) 在 R 上的解析式;

(2)作出 f ( x) 的图象,并根据图象讨论关于 x 的方程 f ( x) ? c ? 0 (c ? R ) 根的个数.

17.设二次函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? a ,方程 f ( x) ? x ? 0 的两根为 x1 , x2 ,且 0 ? x1 ? x2 ? 1 (1)求实数 a 的范围; (2)试比较 f (0) f (1) ? f (0) 与

1 的大小关系,并说明理由. 16

18.定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x) ? ? __________.

?log2 (1 ? x), x ? 0 ) 的值为 ,则 f (2009 ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 2), x ? 0

1] 上, 19.设 f ( x) 是定义在 R 上且周期为 2 的函数,在区间 [?1,

? 1≤ x ? 0 , ? ax ? 1, ? f ( x ) ? ? bx ? 2 b ? R .若 其中 a , , 0 ≤ x ≤ 1, ? ? x ?1

?1? ? 3? f ? ? ? f ? ? ,则 a ? 3b 的值为 ?2? ? 2?



20.已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) 满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,且在区间 [0,2] 上是增函数, 若 方 程 f ( x) ? m(m ? 0) 在 区 间 [?8,8] 上 有 四 个 不 同 的 根 x1、x2、x3、x4 , 则

x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? __________.

21 .设函数 f ( x) ? __________.

5? sin ? 3 3 cos? 2 x ? x ? tan? , ? ? [0, ] ,则 f ' (1) 的取值范围是 12 3 2

22.若曲线 f ( x) ? ax2 ? ln x 存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 的取值范围是__________.

23.已知函数 f ( x) ?

1 2 x ? ax ? (a ? 1) ln x, a ? 1 2

(1)讨论 f ( x) 的单调性; (2)证明:若 a ? 5 ,则对任意 x1 , x2 ? (0,??), x1 ? x2 , 有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ?1 . x1 ? x2

24.已知函数 f ( x) ?

x ? ?c

kx ? 1 (c ? 0, c ? 1) 恰有一个极大值点和一个极小值点,其中一个是 x2 ? c

(1)求函数 f ( x) 的另一个极值点; (2)求函数 f ( x) 的极大值 M 和极小值 m,并求 M ? m ? 1 时 k 的取值范围.

25.已知函数 f ( x) ? ax ? (1 ? a ) ln x ? (1)当 a ? 0 时,求 f ( x) 的极值;

1 , (a ? R ) . x

(2)当 a ? 0 时,求 f ( x) 的单调区间; (3)方程 f ( x) ? 0 的根的个数能否达到 3,若能,请求出此时 a 的范围,若不能,请说明 理由.


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