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河北省石家庄市二中2008—2009高三第二次调研数学(文理)试题


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石家庄二中
2008—2009 学年度高三年级第二次调研 —

数 学 试 题
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,I 卷为选择题,卷 II 为非选择题。 本试卷满分 150 分,考试时间为 120 分钟。

第Ⅰ卷(选择题

共 30 分)

注意事项: 注意事项: 1.答卷 I 前,考生务必将自己的姓名、准考证号、科目填涂在答题卡上,考试结束, 考生务必将自己的姓名、准考证号、科目填涂在答题卡上,考试结束, . 考试结束,监考人员将试卷和答题卡一并收回。 考试结束,监考人员将试卷和答题卡一并收回。 2.每题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。答在试卷上无 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 .每题选出答案后, 效。 3.考生须独立完成答卷,不得讨论 .考生须独立完成答卷,不得讨论. 一、选择题(本小题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。) 1.设集合 A = {x |

2 + 1 < 3}, B = {x | ?3 < x < 2}, 则A I B 等于 x
B. { x | ?3 < x < 0} D. { x | x < 1}





A. { x | 1 < x < 2} C. {x | ?3 < x < 0或1 < x < 2}

2.已知合集 U = {0,1,2,3,4,5}, 集合M = {0,3,5}, 集合N = {1,4,5}, 则集合M I CU N = ( ) D.{0,1,3,4,5}

A.{5}

B.{0,3}

C.{0,2,3,5}

3. f ( x)是定义在(?∞,+∞) 上的可导的奇函数,且满足 xf ′( x ) < 0, f (1) = 0 ,则不等式

f ( x ) < 0 的解为
A. (?∞,?1) ∪ (0,1) C. ( ?∞,?1) ∪ (1,+∞ ) B. (?1,0) ∪ (1,+∞ ) D. ( ?1,0) ∪ (0,+∞ )





4.已知 p :| x + 1 |> 2, q : 5 x ? 6 ≤ x 2 , 则?p是q 的 A.充分不必要条件 C.充要条件 5.设 f
?1





B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

( x) 是函数 f ( x) =

1 x (2 ? 2 ? x ) 的反函数,则使 f 2

?1

( x) > 1 成立的 x 的取值范围

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为 ( )

3 3 3 A. ( ,+∞) B. (?∞, ) C. ( ,2) 4 4 4 6.如图,设点 A 是单位圆上的一定点,动点 P 从点 A 出发 在圆上按逆时针方向旋转一周,点 P 所旋转过的弧 AP
的长为 l ,弦 AP 的长为 d ,则函数 d = f (l ) 的图像大 致是 ( )

D. [ 2,+∞ )

7.不等式 | x + 1 | ( 2 x ? 1) ≥ 0 的解集是 A. [ ,+∞ ) C. {?1} U [ ,+∞ )

( B. ( ?∞,?1] ∪ [ ,+∞ )



1 2

1 2

1 2

D. [ ?1,? ] ( )

1 2

8.不等式

x+6 ≥ 2 的解集是 ( x ? 1) 2 1 2
B. [?

A. [?3, ]

1 ,3] 2

C. [ ,1) ∪ (1,3]

1 2

D. [ ?

1 ,1) ∪ (1,3] 2

9.已知集合 P = {a, b, c}, Q = {?1,0,1}, 映射f : P → Q满足f (b) = 0 的映射的个数共有 ( )个 A.2 ( B.4
a



C.6

D.9

10.设 a, b, c均为正数, 且2 = log 1 a, ? ? = log 1 b, ? ? = log 2 c, 则
2 2

?1? ?2?

b

?1? ?2?

c





A. a < b < c 11.设 f ( x ) = lg(

B. c < b < a

C. c < a < b

D. b < a < c ( )

2 + a ) 是奇函数,则使 f ( x) < 0的x 的取值范围是 1? x
B.(0,1) D.(- ∞ ,0) U (1,+∞ )

A.(-1,0) C.(- ∞ ,0)

12.如果函数 y=f(x)的图象如右图,那么导函数 y = f ′(x ) 的图象可能是





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第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
注意事项: 1.答卷Ⅰ前,将密封线左侧的项目填空清楚。 2.答卷Ⅱ答时,将答案用蓝色、黑色钢笔或圆珠笔写在答题纸上。 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.函数 y = x 4 ? 4 x + 3 在区间[—2,3]上的最大值为 14.已知 f ( x) = ? 。

?1( x ≥ 2) , 则不等式x 2 f ( x) + x ? 2 ≤ 0 的解集是 ?? 1( x < 2)

2



15.函数 y = log 1 (1 ? x ) + 1, ( x < ?3) 的反函数为 16.【理科生】已知函数 f ( x ) = x 2 ? cos x, 对于[ ?
2

π π

, ] 上的任意 x1,x2,有如下条件: 2 2

2 ① x1 > x 2 ;② x1 > x 2 ;③ | x1 |> x 2 。其中能使 f ( x1 ) > f ( x 2 ) 恒成立的条件序号





【文科生】已知二次函数 f ( x ) = ax 2 + bx + c的导函数f ′( x )满足 : f ′(0) > 0 ,若对 于任意实数 x,有 f ( x ) ≥ 0, 则 三、解答题 17.求下列函数的定义域

f (1) 的最小值为 f ′(0)



y = ln( x 2 ? x ) (10 分)

18.已知函数 f ( x ) = 2 x +1 , 将函数f ( x ) 的图像按向量 a=(2,—1)平移后,再作关于直线 y=x 的对称图像得到其对应的函数解析式 y = g ( x), 解不等式g (2 x) < 2. (10 分)

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19.已知函数 f ( x ) =

1 3 x + ax 2 + cx ? 1 在区间(1,2)单调递减。 3

(1)当 c = ?1 时,求 a 的取值范围; (2)求 c + 3a 的取值范围。(11 分)

20.已知函数 f ( x) = x + 2ax + 1, x ∈ [1,+∞) ,求函数 f (x ) 单调区间;(11 分)
3

21.【理科生】已知函数 f ( x) = 线 8 x ? 25 y = 0 平行; (1)求 a 的值;

sin x π π (a ∈ R + )其图象在点( , f ( )) 处的切线与直 a + cos x 3 3

(2)求函数 f (x ) 的单调区间;(14 分)

【文科生】已知 a 是实数,函数 f ( x) = x 2 ( x ? a ). (1)若 f ′(1) = 1, 求a 的值及曲线 y = f ( x)在点(1, f (1)) 处的切线方程; (2)求 f (x ) 的单调区间。(14 分)

22.【理科生】已知函数 f ( x) = e x ? x (e 为自然对数的底数)。 (1)求 f (x ) 的最小值; (2)设不等式 f ( x ) > ax 的解集为 P,且 { x | 0 ≤ x ≤ 2} ? P ,求实数 a 的取值范围; (14 分)

【文科生】已知函数 f ( x) = 2 x 3 + ax与g ( x) = bx 2 + c 的图像都过点 P(2,0),且 在点 P 处有相同的切线。 (1)求实数 a、b、c 的值; (2)设函数 F ( x) = f ( x) + g ( x), 求F ( x)在[?2, m]上的最小值h(m) 的最小值。 (14 分)

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参考答案
一、选择题 CBCAA CCDDA AA 二、填空题 13.72 14. { x | x < 2} 15. y = 1 ? ( ) x ?1 , ( x < ?1)

1 2

16.(理)②(文)2 三、解答题 17.解: ?

? 2 ? 2 ?x ? x > 0 ?x ? x > 0 ?? 2 2 ? ?ln( x ? x) ≥ 0 ? x ? x ≥ 1 ?

得 x 2 ? x ? 1 ≥ 0 ……………………7 分 即为 x ∈ ( ?∞,

1? 5 1+ 5 ]U[ ,+∞ ) ……………………10 分 2 2

18.解: ?

?x′ = x + 2 ……………………3 分 ? y′ = y ? 1


所以 y ′ + 1 = 2 x ?1 , x ′ ? 1 = log 2 ( y ′ + 1)

g ( x) ? log 2 ( x + 1) + 1, ……………………6 分 log 2 ( 2 x + 1) < 1,
等价不等式为 ? 解得 x ∈ (?

?2 x + 1 > 0 ,…………………………8 分 ?2 x + 1 < 2

1 1 , ) ………………………………10 分 2 2

19.解: f ′( x) = x 2 + 2ax + c ……………………3 分 (1) f ′( x) = x 2 + 2ax ? 1 在区间(1,2)上恒有 f ′( x ) ≤ 0, 即?

?1 + 2a ? 1 ≤ 0 3 , 解得a ≤ ? ……………………7 分 4 ?4 + 4 a ? 1 ≤ 0

(2) f ′( x) = x 2 + 2ax + c 在区间(1,2)上恒有 f ′( x ) ≤ 0, 即?

?1 + 2a + c ≤ 0 ?4 + 4 a + c ≤ 0

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如图,令 c+3a=t……………………8 分

3 5 A( ? ,2), 直线c = ?3a + t过点A时, t = ? , 2 2 5 c + 3a ≤ ? ……………………11 分 2
20.解: f ′( x) = 3 x 2 + 2a, …………………………3 分 (1)当 2a ≥ 0时, f ′( x) > 0, f ( x)在[1,+∞) 为增函数………………4 分 (2)当 a<0 时, f ′( x) = 0, x ±

? 2a ……………………6 分 3

①若

? 2a 3 ≤ 2,即 ? ≤ a < 0 , 3 2

f ( x) > 0

[1,+∞)为f ( x)增区间 ………………8 分
②若

? 2a 3 > 1,即a < ? 时, 3 2 ? 2a ? 2a ) 为减区间, ( ,+∞) 为增区间……………………11 分 3 3
a cos + 1 ………………3 分 ( a + cos x ) 2

[1,

21.【理科生】 解:(1) f ′( x) =

π 2( a + 2) 8 f ′( ) = = , 2 3 25 (2a + 1)
所以得 16a 2 ? 9a ? 46 = 0, 解得 a=2 或 a = ? (2) f ′( x ) =

23 (舍), 即a = 2 ……………………6 分 16

( 2 + cos x ) cos x ? sin x ( ? sin x ) ( 2 + cos x ) 2

=

2 cos x + 1 ( 2 + cos x ) 2 1 2 2π 2π ( k ∈ Z ), f ′( x ) > 0; < x < 2kπ + 3 3
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当 cos x > ? 时, 即2kπ ?

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当 cos x < ? 时, 即2kπ +

1 2

2π 4π < x < 2 kπ + ( k ∈ Z ), f ′( x ) < 0; …………9 分 3 3

因此 f (x ) 在每一个区间 ? 2kπ ?

? ?

2π 2π ? ,2kπ + ?( k ∈ Z ) 是增函数…………11 分 3 3 ?

2π 4π ? ? f (x ) 在每一个区间 ? 2kπ + ,2kπ + ?( k ∈ Z ) 是减函数…………14 分 3 3 ? ?
2 【文科生】(1)解: f ′( x) = 3 x ? 2ax ……………………3 分

因为 f ′(1) = 3 ? 2a = 1, 所以a = 1. 又当 a = 1时, f (1) = 0, f ′(1) = 1, 所以曲线 y = f ( x)在(1, f (1)) 处的切线方程为 x ? y ? 1 = 0 …………6 分 (2)解:令 f ′( x) = 0, 解得x1 = 0, x 2 =

2a …………8 分 3

当 a = 0时, f ′( x) = 3 x 2 ≥ 0 f ( x)在( ?∞,+∞) 上单调递增………………9 分 当 a>0 时,

2a ), 3 2 单调递增区间 ( ?∞,0)和( ,+∞ ) …………………………11 分 3 2a f (x ) 单调递减区间是 ( ,0) , 3 2a 单调递增区间 ( ?∞, )和(0,+∞) ………………………14 分 3
f (x ) 单调递减区间是 (0,
22.【理科生】解: f (x ) 的导数 f ′( x) = e x ? 1. ……………………2 分 令 f ′( x) > 0, 解得x > 0; 令f ′( x) < 0, 解得x < 0 从而 f ( x)在(?∞,0) 内单调递减, 在 (0,+∞ ) 内单调递增…………………………4 分 所以。当 x=0 时, f (x ) 取得最小值 1。……………………6 分 (2)解:因为不等式 f ( x ) > ax 的解集为 P, 且 { x | 0 ≤ x ≤ 2} ? P , 所以对于任意 x ∈ [0,2] ,不等式 f ( x ) > ax 恒成立。……………………8 分
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由 f ( x) > ax, 得( a + 1) x > e .
x

当 x=0 时,上述不等式显然成立,故只需考虑 x ∈ (0,2] 的情况。………………9 分 将 ( a + 1) x < e 变形为a <
x

ex ? 1. x

令 g ( x) =

ex ( x ? 1)e x ? 1, 则g ( x) 的导数 g ′( x) = , x x2

令 g ′( x) > 0, 解得x > 1; 令g ′( x) < 0, 解得x < 1. 从而 g ( x)在(0,1) 内单调递减,在(1,2,)内单调递增。 所以,当 x = 1 时, g (x ) 取得最小值 e-1。………………14 分 【文科生】 解:(1)Q f ( x ), g ( x ) 的图象过 P(2,0),

∴ f (2) = 0即2 × 2 3 + a × 2 = 0, a = ?8 ……………………2 分

g (2) = 0,即 : 4 × b + c = 0. ……………………4 分
又Q f ( x ), g ( x ) 在 P 处有相同的切线:

4b = 16, b = 3, c = ?16. ∴ a = ?8, b = 4.c = ?16 ……………………6 分
(2) F ( x) = 2 x 3 + 4 x 2 ? 8 x ? 16, F ′( x) = 6 x 2 + 8 x ? 8, 解不等式 F ′( x ) = 6 x 2 + 8 x ? 8 ≥ 0, 得x ≤ ?2或x ≥ 即单调增区间为 (?∞,?2], [ ,+∞ ) 。 同理,由 F ′( x) ≤ 0, 得 ? 2 ≤ x ≤ 因此,当 ? 2 < m ≤

2 . 3

2 3

2 2 , 即单调减区间为[ ?2, ] …………8 分 3 3

2 时, F ( x ) min = h( m) 3

= 2m 3 + 4m 2 ? 8m ? 16 ……………………12 分
当m >

2 2 512 时, h( x ) min = h( ) = ? . ……………………14 分 3 3 27

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