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概率教案


概率教案
一、【知识总结】: (一)、随机事件的概率及概率的意义 1、基本概念: (1)必然事件:在条件 S 下,一定会发生的事件,叫相对于条件 S 的必然事件; (2)不可能事件:在条件 S 下,一定不会发生的事件,叫相对于条件 S 的不可能事件; (3)确定事件:必然事件和不可能事件统称为相对于条件 S 的确定事件; (4)随机事件:在条件 S 下可能发生也可能不发

生的事件,叫相对于条件 S 的随机事件; (5)频数与频率:在相同的条件 S 下重复 n 次试验,观察某一事件 A 是否出现,称 n 次试 验中事件 A 出现的次数 nA 为事件 A 出现的频数;称事件 A 出现的比例
nA

fn(A)= n 为事件 A 出现的概率:对于给定的随机事件 A,如果随着试验次数 的增加, 事件 A 发生的频率 fn(A)稳定在某个常数上, 把这个常数记作 P (A) , 称为事件 A 的概率。 (6)频率与概率的区别与联系:随机事件的频率,指此事件发生的次数 nA 与试验总次数 n
nA

的比值 n ,它具有一定的稳定性,总在某个常数附近摆动,且随着试验次数 的不断增多,这种摆动幅度越来越小。我们把这个常数叫做随机事件的概率, 概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。 频率在大量重复试验的前 提下可以近似地作为这个事件的概率 (二)、概率的基本性质 1、基本概念: (1)事件的包含、并事件、交事件、相等事件 (2)若 A∩B 为不可能事件,即 A∩B=ф ,那么称事件 A 与事件 B 互斥; (3)若 A∩B 为不可能事件,A∪B 为必然事件,那么称事件 A 与事件 B 互为对立事件; (4)当事件 A 与 B 互斥时,满足加法公式:P(A∪B)= P(A)+ P(B);若事件 A 与 B 为对立 事件,则 A∪B 为必然事件,所以 P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1,于是有 P(A)=1— P(B) 2、概率的基本性质: 1)必然事件概率为 1,不可能事件概率为 0,因此 0≤P(A)≤1; 2)当事件 A 与 B 互斥时,满足加法公式:P(A∪B)= P(A)+ P(B); 3)若事件 A 与 B 为对立事件,则 A∪B 为必然事件,所以 P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1,于 是有 P(A)=1—P(B); 4)互斥事件与对立事件的区别与联系,互斥事件是指事件 A 与事件 B 在一次试验中不 会同时发生,其具体包括三种不同的情形: (1)事件 A 发生且事件 B 不发生; (2)事件 A 不发生且事件 B 发生; (3)事件 A 与事件 B 同时不发生,而对立事件是指事件 A 与 事件 B 有且仅有一个发生,其包括两种情形; (1)事件 A 发生 B 不发生; (2)事件 B 发 生事件 A 不发生,对立事件互斥事件的特殊情形。 (三)、古典概型及随机数的产生 1、 (1)古典概型的使用条件:试验结果的有限性和所有结果的等可能性。 (2)古典概型的解题步骤; ①求出总的基本事件数;
A 包含的基本事件数

②求出事件 A 所包含的基本事件数,然后利用公式 P(A)= 总的基本事件个数 (四)、几何概型及均匀随机数的产生 1、基本概念: (1) 几何概率模型: 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度 (面积或体积) 成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型; (2)几何概型的概率公式:

构成事件

A 的区域长度(面积或体

积)

的区域长度(面积或体 积) ; P(A)= 试验的全部结果所构成 (1) 几何概型的特点:1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个;2)每 个基本事件出现的可能性相等. 二、 【例题解析】 考点 1. 求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率
m

(1)等可能性事件(古典概型)的概率:P(A)= n ; 等可能事件概率的计算步骤: 计算一次试验的基本事件总数 n ; 设所求事件 A,并计算事件 A 包含的基本事件的个数 m ;
n 求值; 依公式 答,即给问题一个明确的答复. (2)互斥事件有一个发生的概率:P(A+B)=P(A)+P(B); 特例:对立事件的概率:P(A)+P( A )=P(A+ A )=1. (3)相互独立事件同时发生的概率:P(A·B)=P(A)·P(B); P ( A) ? m

特例:独立重复试验的概率:Pn(k)= C n p (1 ? p ) .其中 P 为事件 A 在一次试验中发 生的概率,此式为二项式[(1-P)+P]n 展开的第 k+1 项. (4)解决概率问题要注意“四个步骤,一个结合” : 求概率的步骤是:
k k

n?k

第一步,确定事件性质 即所给的问题归结为四类事件中的某一种.
?和 事 件 ? 第二步,判断事件的运算 ? 积 事 件

? 等可能事件 ? ?互 斥 事 件 ? ?独 立 事 件 ?n次 独 立 重 复 试 验 ?

即是至少有一个发生,还是同时发生,分别运用相加或相乘事件.
m ? 等 可 能 事 件 : P ( A) ? ? n ? ? ?互 斥 事 件 : P ( A ? B ) ? P ( A) ? P (B ) ? 独 立 事 件 : P ( A ? B ) ? P ( A) ? P (B ) ? k k n?k ? n 次 独 立 重 复 试 验 : Pn ( k ) ? C n p (1 ? p ) ?

第三步,运用公式 第四步,答,即给提出的问题有一个明确的答复.

求解

2 3 4 5 例 1.在五个数字 1, , , , 中,若随机取出三个数字,则剩下两个数字都是奇数的概 率是 (结果用数值表示) . [考查目的]本题主要考查概率的概念和等可能性事件的概率求法.
P ? C3 C5
3 1

?

3 5? 4

?

3 10

.

2 [解答过程]0.3 提示: 例 2.一个总体含有 100 个个体,以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为 5 的 样本,则指定的某个个体被抽到的概率为 . [考查目的]本题主要考查用样本分析总体的简单随机抽样方式,同时考查概率的概念和 等可能性事件的概率求法. 用频率分布估计总体分布,同时考查数的区间 497.5g~501.5 的意义和概率的求法.
1

提示: 例 3、 从自动打包机包装的食盐中, 随机抽取 20 袋, 测得各袋的质量分别为 (单位: : g) [解答过程] 2 0
100 20

.

P ?

5

?

1

.

492 496 494 495 498 497 501 502 504 496 497 503 506 508 507 492 496 500 501 499 根据的原理,该自动包装机包装的袋装食盐质量在 497.5g~501.5g 之间的概率约为 __________. [考查目的]本题主要考查用频率分布估计总体分布,同时考查数的区间 497.5g~501.5 的 意义和概率的求法.
5 4 [解答过程]在 497.5g~501.5 内的数共有 5 个,而总数是 20 点评:首先应理解概率的定义,在确定给定区间的个体的数字时不要出现错误. 例 4.接种某疫苗后,出现发热反应的概率为 0.80.现有 5 人接种该疫苗,至少有 3 人出 现发热反应的概率为__________.(精确到 0.01) [考查目的] 本题主要考查运用组合、概率的基本知识和分类计数原理解决问题的能力, 以及推理和运算能力. [解答提示]至少有 3 人出现发热反应的概率为 3 3 2 4 4 5 5 信 号 C 5 ? 0 .8 0 ? 0 .2 0 ? C 5 ? 0 .8 0 ? 0 .2 0 ? C 5 ? 0 .8 0 ? 0 .9 4 . 源 故填 0.94. 例 5.右图中有一个信号源和五个接收器.接收器与信号源在同一个串联线 路中时,就能接收到信号,否则就不能接收到信号.若将图中左端的六个接线 点随机地平均分成三组,将右端的六个接线点也随机地平均分成三组,再把 所有六组中每组的两个接线点用导线连接,则这五个接收器能同时接收到信 号的概率是
4 45

个,所以有 2 0

?

1

.

1

4

8

(A) [考查目的] 本题主要考查运用组合、概率知识,以及分步计数原理解决问题的能力,以 及推理和运算能力.
C6C4C2
2 2 2

(B) 36

(C) 15

(D) 15

[解答提示]由题意,左端的六个接线点随机地平均分成三组有
C6C4C2
3 2 2 2

A3

3

? 15

种分法,同理

? 15

右端的六个接线点也随机地平均分成三组有 A3 种分法; 要五个接收器能同时接收 到信号,则需五个接收器与信号源串联在同一个线路中,即五个接收器的一个全排列,再 将排列后的第一个元素与信号源左端连接, 最后一个元素与信号源右端连接, 所以符合条
2 2 5 1 5 ,所以选 D. 件的连接方式共有 种,所求的概率是 点评: 本题要求学生能够熟练运用排列组合知识解决计数问题, 并进一步求得概率问题, 其中隐含着平均分组问题. 例 6.从某批产品中,有放回地抽取产品二次,每次随机抽取 1 件,假设事件 A : “取 P ( A ) ? 0 .9 6 出的 2 件产品中至多有 1 件是二等品”的概率 . p (1)求从该批产品中任取 1 件是二等品的概率 ; (2)若该批产品共 100 件,从中任意抽取 2 件,求事件 B : “取出的 2 件产品中至少有 P(B) 一件二等品”的概率 . [考查目的]本小题主要考查相互独立事件、互斥事件等的概率计算,运用数学知识解决 问题的能力,以及推理与运算能力.
A5 ? 1 2 0
5

P ?

120

?

8

[解答过程](1)记 A 0 表示事件“取出的 2 件产品中无二等品” ,
A1

表示事件“取出的 2 件产品中恰有 1 件二等品” .
A 0 ? A1

则 A0, A1 互斥,且 A ? 于是 0 .9 6 ? 1 ? 解得
p
2

,故
2 1 2

P ( A ) ? P ( A 0 ? A1 ) ? P ( A 0 ) ? P ( A1 ) ? (1 ? p ) ? C 2 p (1 ? p ) ? 1 ? p .

. (舍去) .

p 1 ? 0 .2, p 2 ? ? 0 .2

(2)记 B 0 表示事件“取出的 2 件产品中无二等品” ,则 B 若该批产品共 100 件,由(1)知其中二等品有1 0 0 ? 0 .2 ?
P ( B ) ? P ( B0 ) ? 1 ? P ( B0 ) ? 1 ? 316 495 ? 179 495 .

? B0


P ( B0 ) ? C 80 C 100
2 2

?

316 495

20

件,故



例 7.两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成,每卷 1 本,共 8 本.将它们 任意地排成一排, 左边 4 本恰好都属于同一部小说的概率是_________ 结果用分数表示) ( . [考查目的] 本题主要考查运用排列和概率知识,以及分步计数原理解决问题的能力,以 及推理和运算能力. [解答提示]从两部不同的长篇小说 8 本书的排列方法有 A 8 种,左边 4 本恰好都属于同 一部小说的的排列方法有 A4
4
8

A4 A2

4

2

种.所以, 将符合条件的长篇小说任意地排成一排, 左边
P ? A4 A4 A2 A8
8 4 4 2

?

1 35

1

4 本恰好都属于同一部小说的概率是 种.所以,填 3 5 . 例 8.甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球,甲袋装有 2 个红球,2 个白球;乙袋装 有 2 个红球,n 个白球.由甲,乙两袋中各任取 2 个球. (Ⅰ)若 n=3,求取到的 4 个球全是红球的概率;(Ⅱ)若取到的 4 个球中至少有 2 个红球
3

的概率为 4 ,求 n. [考查目的]本题主要考查排列组合、概率等基本知识,同时考察逻辑思维能力和数学应 用能力. [标准解答](I)记“取到的 4 个球全是红球”为事件 A .
P ( A) ? C2 C4
2 2

?

C2 C5

2 2

?

1

?

1

?

1 60

.

6 10

(II)记“取到的 4 个球至多有 1 个红球”为事件 B , “取到的 4 个球只有 1 个红球”为 事件 B 1 , “取到的 4 个球全是白球”为事件 B 2 . 由题意,得
1

P(B) ? 1 ?
1

3 4

?

1 4

.
1

P ( B1 ) ?
P ( B2 ) ?

C2 ?C2 C4
C2 C4
2 2

2

?
2

Cn
2

2

?

C2

2 2

?

C2 ?Cn
1

C n?2
Cn
2

C4

C n?2

2

?

2n

2

3( n ? 2 )( n ? 1)

;

?

C n?2

?

n ( n ? 1) 6 ( n ? 2 )( n ? 1)

;

所以,

P ( B ) ? P ( B1 ) ? P ( B 2 )

?

2n

2

3( n ? 2 )( n ? 1)

?

n ( n ? 1) 6 ( n ? 2 )( n ? 1)
3

?

1 4



7 (舍去) 化简,得 7 n ? 1 1n ? 6 ? 0, 解得 n ? 2 ,或 , 故 n ? 2. 例 9.某商场经销某商品,顾客可采用一次性付款或分期付款购买.根据以往资料统计, 顾客采用一次性付款的概率是 0.6,经销一件该商品,若顾客采用一次性付款,商场获得 利润 200 元;若顾客采用分期付款,商场获得利润 250 元. (Ⅰ)求 3 位购买该商品的顾客中至少有 1 位采用一次性付款的概率; (Ⅱ)求 3 位顾客每人购买 1 件该商品,商场获得利润不超过 650 元的概率. [考查目的]本小题主要考查相互独立事件、独立重复试验等的概率计算,运用数学知识 解决问题的能力,以及推理与运算能力.
2

n ? ?

[解答过程](Ⅰ)记 A 表示事件: 3 位顾客中至少 1 位采用一次性付款” “ ,则 A 表示事 件: 3 位顾客中无人采用一次性付款” “ .
P ( A ) ? (1 ? 0 .6 ) ? 0 .0 6 4
2



P ( A ) ? 1 ? P ( A ) ? 1 ? 0 .0 6 4 ? 0 .9 3 6



(Ⅱ)记 B 表示事件: 3 位顾客每人购买 1 件该商品,商场获得利润不超过 6 5 0 元” “ .
B0 B1

表示事件: “购买该商品的 3 位顾客中无人采用分期付款” . 表示事件: “购买该商品的 3 位顾客中恰有 1 位采用分期付款” .
? B 0 ? B1
3

则B

. , P ( B1 ) ? C 3 ? 0 .6
1 2

P ( B 0 ) ? 0 .6 ? 0 .2 1 6

? 0 .4 ? 0 .4 3 2



. 例 10.某公司招聘员工,指定三门考试课程,有两种考试方案. 方案一:考试三门课程,至少有两门及格为考试通过; 方案二:在三门课程中,随机选取两门,这两门都及格为考试通过. 假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是 a , b , c , 且三门课程考试是否及格 相互之间没有影响. (Ⅰ)分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率; (Ⅱ)试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小.(说明理由) [考查目的] 本题主要考查互斥事件有一个发生的概率和对立事件的概率,以及不等式等 基本知识,同时考查逻辑思维能力和数学应用能力. [标准解答]记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为 A,B,C, 则 P(A)=a,P(B)=b,P(C)=c. (Ⅰ) 应聘者用方案一考试通过的概率 p1=P(A·B· C )+P( A ·B·C)+P(A· B ·C)+P(A·B·C) =a×b×(1-c)+(1-a)×b×c+a×(1-b)×c+a×b×c=ab+bc+ca-2abc. 应聘者用方案二考试通过的概率
1 1 3 1 1 1

P ( B ) ? P ( B 0 ? B 1 ) ? P ( B 0 ) ? P ( B1 ) ? 0 .2 1 6 ? 0 .4 3 2 ? 0 .6 4 8

p2= 3 P(A·B)+

P(B·C)+
1

3

P(A·C)=

3 2 3

×(a×b+b×c+c×a)= ( ab+bc+ca-3abc)

3

(ab+bc+ca)

(Ⅱ) p1- p2= ab+bc+ca-2abc- 3 (ab+bc+ca)=
2 [3 3 ( a b c ) ? 3 a b c ]
2

≥3 = 2 ( a b c ) (1 ? a b c ) ? 0 . ∴p1≥p2 例 11.某项选拔共有四轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答问题者进入下一轮考
3 2 3

4

3

核,否则即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为 5 、5 、
2 5 1

、 5 ,且各轮问题能否正确回答互不影响. (Ⅰ)求该选手进入第四轮才被淘汰的概率; (Ⅱ)求该选手至多进入第三轮考核的概率. (注:本小题结果可用分数表示) [考查目的]本小题主要考查相互独立事件、独立重复试验的概率计算,运用数学知识解 决问题的能力,以及推理与运算能力.
234 [解答过程] (Ⅰ)“该选手能正确回答第 i 轮的问题” 记 的事件为 Ai ( i ? 1,,, ) , 则
P ( A2 ) ? 3 5

P ( A1 ) ?

4 5



5 , 5 , , 该选手进入第四轮才被淘汰的概率 P4 ? P ( A1 A 2 A3 A 4 ) ? P ( A1 ) P ( A 2 ) P ( A3 ) P ( P4 ) ? 4 5 ? 3 5 ? 2 5 ? 4 5 ? 96 625

P ( A3 ) ?

2

P ( A4 ) ?

1


? 1 5 ? 4 5 ? 2 5 ? 4 5 ? 3 5 ? 3 5 ? 101 125

(Ⅱ)该选手至多进入第三轮考核的概率
P3 ? P ( A1 ? A1 A 2 ? A1 A 2 A3 ) ? P ( A1 ) ? P ( A1 ) P ( A 2 ) ? P ( A1 ) P ( A 2 ) P ( A3 )



考点 2 离散型随机变量的分布列 1.随机变量及相关概念 ①随机试验的结果可以用一个变量来表示, 这样的变量叫做随机变量, 常用希腊字母ξ 、 η 等表示. ②随机变量可能取的值, 可以按一定次序一一列出, 这样的随机变量叫做离散型随机变 量. ③随机变量可以取某区间内的一切值,这样的随机变量叫做连续型随机变量. 2.离散型随机变量的分布列 ①离散型随机变量的分布列的概念和性质 一般地,设离散型随机变量 ? 可能取的值为 x 1 , x 2 ,??, ( i ? 1,2,??)的概率 P( ?
?
? xi

xi

,??,? 取每一个值

xi

)= Pi ,则称下表.
xi
Pi

x1

x2

? ?
?

? ?

P
?

P1

P2

为随机变量 的概率分布,简称 的分布列. 由概率的性质可知,任一离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质: (1) Pi ? 0 , i ? 1,2,?;(2) P1 ? P2 ? ?=1. ②常见的离散型随机变量的分布列: (1)二项分布
n 次独立重复试验中,事件 A 发生的次数 ? 是一个随机变量,其所有可能的取值为 0,

1,2,?n,并且 Pk ? P (? 下: ? 0 0 0 n Cn p q P
Cn p q
k k n?k

? k) ? Cn p q
k k

n?k

,其中 0 ? ? ?

k ? n

,q

?1? p

,随机变量 ? 的分布列如 ?
n
Cn p q
n n 0

1
Cn p q
1 1 n ?1

k
Cn p q
k k n?k

称 这 样随 机变 量 ? 服 从 二项 分 布, 记作 ?
? b(k ; n , p )

~ B (n , p )

,其中 n 、

p

为 参 数, 并记 :

. (2) 几何分布 在独立重复试验中,某事件第一次发生时所作的试验的次数 ? 是一个取值为正整数的离 散型随机变量, ? ? k ”表示在第 k 次独立重复试验时事件第一次发生. “ ? 随机变量 的概率分布为: ? 1 2 3 k ? ? 2 k ?1 q p q p P p qp ? ? 例 12. 厂家在产品出厂前,需对产品做检验,厂家将一批产品发给商家时,商家按合同规定 也需随机抽取一定数量的产品做检验,以决定是否接收这批产品. (Ⅰ) 若厂家库房中的每件产品合格的概率为 0.8,从中任意取出 4 件进行检验,求至少有 1 件是合格的概率; (Ⅱ)若厂家发给商家 20 件产品中,其中有 3 件不合格,按合同规定该商家从中任取 2 件.都进行检验,只有 2 件都合格时才接收这批产品.否则拒收,求出该商家检验出不合格产 品数 ? 的分布列及期望 E ? ,并求出该商家拒收这批产品的概率. [考查目的]本题考查相互独立事件、互斥事件等的概率计算,考察随机事件的分布列, 数学期望等,考察运用所学知识与方法解决实际问题的能力. [解答过程](Ⅰ)记“厂家任取 4 件产品检验,其中至少有 1 件是合格品”为事件 A 用对立事件 A 来算,有
P ? A ? ? 1 ? P A ? 1 ? 0 .2 ? 0 .9 9 8 4
4

? ?

(Ⅱ) ? 可能的取值为 0 ,1, 2 .

P ?? ? 0 ? ?
1

C 17 C 20
1

2

2

?

136 190

, ,

P ?? ? 1? ?

C 3C 17 C 20
2

?

51 190

P ?? ? 2 ? ?

C3

2

C 20

2

?

3 190

?
P

0
136 190

1
51 190

2
3 190

. 记“商家任取 2 件产品检验,都合格”为事件 B,则商家拒收这批产品的概率
190 190 190 10 P ? 1? P ?B? ? 1? 136 190 ? 27 95

E? ? 0 ?

136

? 1?

51

? 2?

3

?

3


27

所以商家拒收这批产品的概率为 9 5 . 例 13. 某项选拔共有三轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答问题者进入下一轮考
4
3

核,否则即被淘汰.
2 5

已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为 5

、5



,且各轮问题能否正确回答互不影响. (Ⅰ)求该选手被淘汰的概率;

(Ⅱ)该选手在选拔中回答问题的个数记为 ? ,求随机变量 ? 的分布列与数学期望. (注:本小题结果可用分数表示) [考查目的]本题考查相互独立事件、互斥事件等的概率计算,考察随机事件的分布列, 数学期望等,考察运用所学知识与方法解决实际问题的能力.
2 3) [解答过程]解法一: (Ⅰ)记“该选手能正确回答第 i 轮的问题”的事件为 Ai ( i ? 1,, ,



P ( A1 ) ?

4 5



P ( A2 ) ?

3 5



P ( A3 ) ?

2 5



? 该选手被淘汰的概率
P ? P ( A1 ? A1 A 2 ? A 2 A 2 A3 ) ? P ( A1 ) ? P ( A1 ) P ( A 2 ) ? P ( A1 ) P ( A 2 ) P ( A3 )
? 1 5 ? 4 5 ? 2 5 ? 4 5 ? 3 5 ? 3 5 ? 101 125


P ( ? ? 1) ? P ( A1 ) ?
4 5
? 3 5

1 5

(Ⅱ)

?

23 的可能值为1,, ,



P ( ? ? 2 ) ? P ( A1 A 2 ) ? P ( A1 ) P ( A 2 ) ?
P ( ? ? 3) ? P ( A1 A 2 ) ? P ( A1 ) P ( A 2 ) ? 4 5

?

2 5
?

?
12 25

8 25



. 2
8 25

??

的分布列为
?
P

1
1 5 ? 3? 12 25 ? 57 25

3
12 25

? E? ? 1?

1 5

? 2?

8 25



2 3) 解法二: (Ⅰ)记“该选手能正确回答第 i 轮的问题”的事件为 Ai ( i ? 1,, ,则
P ( A2 ) ? 3 5

P ( A1 ) ?

4 5





P ( A3 ) ?

2 5


P ? 1 ? P ( A1 A 2 A3 ) ? 1 ? P ( A1 ) P ( A 2 ) P ( A3 )
? 1? 4 5 ? 3 5 ? 2 5 ? 101 125

? 该选手被淘汰的概率



(Ⅱ)同解法一. 考点 3 离散型随机变量的期望与方差 随机变量的数学期望和方差 (1)离散型随机变量的数学期望:E ? 平. ⑵离散型随机变量的方差: D ? ? ( x 1 ? E ? ) p 1 ? ( x 2 ? E ? ) p 2 ? ? ? ( x n 方差反映随机变量取值的稳定与波动,集中与离散的程度.
2 2

? x1 p1 ? x 2 p 2 ?

?; 期望反映随机变量取值的平均水
? E? ) pn ?
2

?;

⑶基本性质: E ( a ?
?

? b ) ? aE ? ? b E ? ? np

; D (a? ; D
?

? b) ? a D?
2

.
E? ? 1
q
2

(4)若 ~B(n,p),则

=npq(这里 q=1-p) ;

p 如果随机变量 ? 服从几何分布, P (? ? k ) ? g ( k , p ) ,则 ,D ? = p 其中 q=1-p. 例 14.甲、乙两名工人加工同一种零件,两人每天加工的零件数相等,所得次品数分 别为ε 、η ,ε 和η 的分布列如下: 0 1 2 0 1 2 ε η 6 1 3 5 3 2 P P

10

10

10

10

10

10

则比较两名工人的技术水平的高低为 . 思路启迪: 一是要比较两名工人在加工零件数相等的条件下出次品数的平均值, 即期望; 二是要看出次品数的波动情况,即方差值的大小. 解答过程:工人甲生产出次品数ε 的期望和方差分别为:
E? ? 0 ? 6 10
2

? 1?

1 10

? 2?

3 10

? 0 .7


1 10 ? ( 2 ? 0 .7 ) ?
2

D ? ? ( 0 ? 0 .7 ) ?

6 10

? (1 ? 0 . 7 ) ?
2

3 10

? 0 . 891


2

工人乙生产出次品数η 的期望和方差分别为: , 由 Eε =Eη 知,两人出次品的平均数相同,技术水平相当,但 Dε >Dη ,可见乙的技 术比较稳定. 小结:期望反映随机变量取值的平均水平;方差反映随机变量取值的稳定与波动,集中 与离散的程度.
10 10 10 E? ? 0 ? 5 ? 1? 3 ? 2? 2 ? 0 .7

D ? ? ( 0 ? 0 .7 ) ?
2

5 10

? (1 ? 0 . 7 ) ?

3 10

? ( 2 ? 0 .7 ) ?
2

2 10

? 0 . 664

例 15. 某商场经销某商品,根据以往资料统计,顾客采用的付款期数 ? 的分布列为 ? 1 2 3 4 5
P

0.4

0.2

0.2

0.1

0.1

商场经销一件该商品,采用 1 期付款,其利润为 200 元;分 2 期或 3 期付款,其利润为 250 元;分 4 期或 5 期付款,其利润为 300 元.? 表示经销一件该商品的利润. (Ⅰ) 求事件 A : “购买该商品的 3 位顾客中, 至少有 1 位采用 1 期付款” 的概率 P ( A ) ; (Ⅱ)求? 的分布列及期望 E ? . [考查目的] 本小题主要考查概率和离散型随机变量分布列和数学期望等知识.考查运用 概率知识解决实际问题的能力. [解答过程](Ⅰ)由 A 表示事件“购买该商品的 3 位顾客中至少有 1 位采用 1 期付款” .

知 A 表示事件“购买该商品的 3 位顾客中无人采用 1 期付款”
P ( A ) ? (1 ? 0 .4 ) ? 0 .2 1 6
2

, P ( A ) ? 1 ? P ( A ) ? 1 ? 0 .2 1 6 ? 0 .7 8 4 . , , .

(Ⅱ)? 的可能取值为 2 0 0 元, 2 5 0 元, 3 0 0 元.
P (? ? 2 0 0 ) ? P ( ? ? 1) ? 0 .4

P (? ? 2 5 0 ) ? P ( ? ? 2 ) ? P ( ? ? 3) ? 0 .2 ? 0 .2 ? 0 .4

P (? ? 3 0 0 ) ? 1 ? P (? ? 2 0 0 ) ? P (? ? 2 5 0 ) ? 1 ? 0 .4 ? 0 .4 ? 0 .2

?

的分布列为
?
200 250 300 0 .2

0 .4 0 .4 P E ? ? 2 0 0 ? 0 .4 ? 2 5 0 ? 0 .4 ? 3 0 0 ? 0 .2 ? 2 4 0 (元) .

小结: 离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和. 本题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念, 考查运用概率知识解决实际问题的能 力. 例 16、某班有 48 名学生,在一次考试中统计出平均分为 70 分,方差为 75,后来发现 有 2 名同学的成绩有误,甲实得 80 分却记为 50 分,乙实得 70 分却记为 100 分,更正后 平均分和方差分别是 A.70,25 B.70,50 C.70,1.04 D.65,25 解答过程:易得 x 没有改变, x =70,
1

而 s2= 48 [ (x12+x22+?+502+1002+?+x482)-48 x 2]=75,
1

s′2=
1

48

[ (x12+x22+?+802+702+?+x482)-48 x 2]

= 48 [ (75×48+48 x 2-12500+11300)-48 x 2]
1200

=75- 48 =75-25=50. 答案:B 考点 4 抽样方法与总体分布的估计 抽样方法 1.简单随机抽样:设一个总体的个数为 N,如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样 本,且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等,就称这样的抽样为简单随机抽样.常用抽 签法和随机数表法. 2.系统抽样:当总体中的个数较多时,可将总体分成均衡的几个部分,然后按照预先 定出的规则,从每一部分抽取 1 个个体,得到所需要的样本,这种抽样叫做系统抽样(也 称为机械抽样). 3.分层抽样:当已知总体由差异明显的几部分组成时,常将总体分成几部分,然后按 照各部分所占的比进行抽样,这种抽样叫做分层抽样. 总体分布的估计 由于总体分布通常不易知道,我们往往用样本的频率分布去估计总体的分布,一般地, 样本容量越大,这种估计就越精确. 总体分布:总体取值的概率分布规律通常称为总体分布. 当总体中的个体取不同数值很少时, 其频率分布表由所取样本的不同数值及相应的频率 表示,几何表示就是相应的条形图. 当总体中的个体取值在某个区间上时用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布. 总体密度曲线:当样本容量无限增大,分组的组距无限缩小,那么频率分布直方图就会 无限接近于一条光滑曲线,即总体密度曲线.

典型例题 例 17、某工厂生产 A、B、C 三种不同型号的产品,产品数量之比依次为 2:3:5.现用 分层抽样方法抽出一个容量为 n 的样本, 样本中 A 种型号产品有 16 件.那么此样本的容量 n= .
2
2 解答过程:A 种型号的总体是 1 0 ,则样本容量 n= . 例 18.一个总体中有 100 个个体,随机编号 0,1,2,?,99,依编号顺序平均分成 10 个小组,组号依次为 1,2,3,?,10.现用系统抽样方法抽取一个容量为 10 的样本, 16 ? 10 ? 80

规定如果在第 1 组随机抽取的号码为 m ,那么在第 k 组中抽取的号码个位数字与 m ? k 的 个位数字相同,若 m ? 6 ,则在第 7 组中抽取的号码是 . ( k ? 1)1 0 ( k ? 1)1 0 ? 1 ( k ? 1)1 0 ? 9 解答过程:第 K 组的号码为 , ,?, ,当 m=6 时,第 k 组抽取的号的个位数字为 m+k 的个位数字,所以第 7 组中抽取的号码的个位数字为 3 , 所以抽取号码为 63. 例 19.考查某校高三年级男生的身高,随机抽取 40 名高三男生,实测身高数据(单位: cm)如下: 17 16 16 16 16 16 16 16 16 16 1 3 3 6 6 8 8 0 8 5 17 16 16 16 15 16 17 16 16 17 1 9 7 9 1 8 0 0 8 4 16 16 17 15 16 15 15 16 16 18 5 8 4 9 7 6 7 4 9 0 17 15 16 16 15 16 16 16 16 16 6 7 2 1 8 4 3 3 7 1 ⑴作出频率分布表;⑵画出频率分布直方图. 思路启迪:确定组距与组数是解决“总体中的个体取不同值较多”这类问题的出发点. 解答过程:⑴最低身高为 151,最高身高 180,其差为 180-151=29。确定组距为 3,组 数为 10,列表如下:

⑵频率分布直方图如下:

小结: 合理、科学地确定组距和组数,才能准确地制表及绘图,这是用样本的频率分 布估计总体分布的基本功. 估计总体分布的基本功。 考点 5 正态分布与线性回归 1.正态分布的概念及主要性质 (1)正态分布的概念 如果连续型随机变量 ? 的概率密度函数为 为常数,并且 ? >0,则称 ? 服从正态分布,记为 ? (2)期望 E ? =μ ,方差 D ? (3)正态分布的性质 正态曲线具有下列性质:
??
2

f (x) ?

1 2 ??

?

(x?? ) 2?
2

2

e
2

,?R x

其中 ? 、?

~ N

( ? , ? ).

.

①曲线在 x 轴上方,并且关于直线 x=μ 对称. ②曲线在 x=μ 时处于最高点,由这一点向左右两边延伸时,曲线逐渐降低. ③曲线的对称轴位置由μ 确定;曲线的形状由 ? 确定, ? 越大,曲线越“矮胖” ;反之 越“高瘦”. (4)标准正态分布 当 ? =0, ? =1 时 ? 服从标准的正态分布,记作 ? (5)两个重要的公式 ① ? ( ? x ) ? 1 ? ? ( x ) ,② P ( a ? ? ? b ) ? ? ( b ) ? ? ( a ) . (6) N ( ? , ? 若
2

~ N

(0,1)

)

与 N (0 ,1) 二者联系. ,则
2

? ~ N (? ,? )
2

? ?

? ?? ?

~ N ( 0 ,1)

;
b??

? ②若 ,则 . 2.线性回归 简单的说,线性回归就是处理变量与变量之间的线性关系的一种数学方法. 变量和变量之间的关系大致可分为两种类型:确定性的函数关系和不确定的函数关系. 不确定性的两个变量之间往往仍有规律可循.回归分析就是处理变量之间的相关关系的一 种数量统计方法.它可以提供变量之间相关关系的经验公式.

? ~ N (? ,? )

P (a ? ? ? b) ? ? (

?

)??(

a??

)

具体说来,对 n 个样本数据( x1 , y1 )( x 2 , y 2 ) , ,?, x n , y n ) ( ,其回归直线方程,或经验

?
b ?
i ?1

n

xi yi ? n x y ,a ? y ? b ? x, xi ? n( x )
2 2

? i ?1 公式为: y ? bx ? a .其中 ,其中 x , y 分别为| x i |、| y i |的平均数. 例 20、 如果随机变量ξ ~N (μ , 2) 且 Eξ =3, =1, P σ , Dξ 则 (-1<ξ ≤1=等于( ) A.2Φ (1)-1 B.Φ (4)-Φ (2) C.Φ (2)-Φ (4) D.Φ (-4)-Φ (-2) 解答过程:对正态分布,μ =Eξ =3,σ 2=Dξ =1,故 P(-1<ξ ≤1)=Φ (1-3)- Φ (-1-3)=Φ (-2)-Φ (-4)=Φ (4)-Φ (2). 答案:B 例 21. 将温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内,调节器设定在 d ℃,液体的温 度ξ (单位:℃)是一个随机变量,且ξ ~N(d,0.52). (1)若 d=90°,则ξ <89 的概率为 ; (2)若要保持液体的温度至少为 80 ℃的概率不低于 0.99,则 d 至少是 ?(其中 若η ~N(0,1) ,则Φ(2)=P(η <2)=0.9772,Φ(-2.327)=P(η <-2.327)=0.01). 思路启迪: (1)要求 P(ξ <89)=F(89) , ∵ξ ~N(d,0.5)不是标准正态分布,而给出的是Φ (2) ,Φ (-2.327) ,故需转化 为标准正态分布的数值. (2)转化为标准正态分布下的数值求概率 p,再利用 p≥0.99,解 d.
89 ? 90

?

n

解答过程: P (1)(ξ <89) (89) =F =Φ( 0 . 5 ) =Φ(-2) =1-Φ(2) =1-0.9772=0.0228. (2)由已知 d 满足 0.99≤P(ξ ≥80) , 即 1-P(ξ <80)≥1-0.01,∴P(ξ <80)≤0.01.
80 ? d

∴Φ (
80 ? d

0 .5

)≤0.01=Φ (-2.327).

∴ 0 . 5 ≤-2.327. ∴d≤81.1635. 故 d 至少为 81.1635.
? ? ?

小结: (1)若ξ ~N(0,1) ,则η =

?

~N(0,1).(2)标准正态分布的密度函数

f(x)是偶函数,x<0 时,f(x)为增函数,x>0 时,f(x)为减函数. 例 22.设 X
~ N (? ,?
2

f (x) ?

1 2 ?

?

x ? 2 x ?1 4

2

e

)

,且总体密度曲线的函数表达式为:

,x∈R.

(1)则μ ,σ 是 ; (2)则 P (| x ? 1 |? 2 ) 及 P (1 ? 2 ? x ? 1 ? 2 2 ) 的值是 . 思路启迪: 根据表示正态曲线函数的结构特征,对照已知函数求出μ 和σ .利用一般正 态总体 N ( ? , ? ) 与标准正态总体 N(0,1)概率间的关系,将一般正态总体划归为标准正 态总体来解决.
2

f (x) ?

1 2 ?

?

x ? 2 x ?1 4

2

e

?

1 2? ? 2

?

( x ?1 ) 2(

2 2

e

2)

解答过程:⑴由于 形式,可知μ
( 2 ) P (| x ? 1 |?

,根据一般正态分布的函数表达

=1, ? ?
2 ) ? P (1 ?

2

,故 X~N(1,2).
2)

2 ? x ?1?

? F (1 ?

2 ) ? F (1 ?

2) ? ?(

??

2 ?1 2

) ??(

??

2 ?1 2

)

? ? (1) ? ? ( ? 1)
? 2 ? (1) ? 1 ? 2 ? 0 .8 4 1 3 ? 1 ? 0 . 6826

.
2 ) ? F (1 ? 2)



P (1 ?

2 ? x ?1? 2

2 ) ? F (1 ? 2

? ?(

?? 2

2 ?1 2

)??(

??

2 ?1 2

) ? ? ( 2 ) ? ? ( ? 1)

. 小结:通过本例可以看出一般正态分布与标准正态分布间的内在关联. 例 23. 公共汽车门的高度是按照确保 99%以上的成年男子头部不跟车门顶部碰撞设计 的, 如果某地成年男子的身高ε ~N (173, (单位: , 7) cm) 则车门应设计的高度是 (精 确到 1cm)? 思路启迪:由题意可知,求的是车门的最低高度,可设其为 xcm,使其总体在不低于 x 的概率小于 1%. 解答过程:设该地区公共汽车车门的最低高度应设为 xcm,由题意,需使 P(ε ≥x)<1%.
P (? ? x ) ? ? ( x ? 173 ) ? 0 . 99
x ? 173 ? 2 . 33

? ? ( 2 ) ? ? (1) ? 1 ? 0 .9 7 7 2 ? 0 .8 4 1 3 ? 1 ? 0 . 8185

7 ∵ε ~N (173, , 7) ∴ 。 查表得 7 , 解得 x>179.16, 即公共汽车门的高度至少应设计为 180cm,可确保 99%以上的成年男子头部不跟车门顶 部碰撞.


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