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三余弦定理


三余弦定理
内容:若平面的一条斜线与这个平面所成角为 ? ,平面内的一条直线与这条斜线 及其射影所成的锐角(或直角)分别为 ? , ? ,则有 cos ? ? cos? ? cos? 。

? 定理概述
设 A 为面上一点,过 A 的直线 AO 在面上的射影为 AB,AC 为面上的一条直线,那 么∠OAC,∠BAC,∠OAB 三角的余弦关系为: cos∠OAC=cos∠BAC×cos∠OAB (∠BAC 和∠OAB 只能是锐角)

通俗点说就是,cos 平面斜线与平面直线夹角(OAC)=cos 斜线射影与平面直线夹 角(BAC)xcos 平面斜线与斜线射影夹角(OAB).又叫最小角定理或爪子定理,可 以用于求平面斜线与平面内直线成的最小角. 2 定理证明 如上图,自点 O 作 OB⊥AB 于点 B,过 B 作 BC⊥AC 于 C,连 OC,则由线线垂直, 线面垂直, 面面垂直易知△ABC、 △AOC、 △ABO 均为直角三角形. cosθ 1=AB∶OA, cosθ 2=AC∶AB,cosθ =AC∶OA,不难验证:cosθ =cosθ 1×cosθ 2.

三正弦定理
该定理从老版高中教材人教版《数学》必修第二册(下 A) ,P35 的例 1:“河堤斜 面与水平面所成的二面角为 60° , 堤面上有一条直道 CD, 它与堤脚水平线 AB 的夹角为 30° , 沿这条直道从堤脚向上行走 10m 时人升高了多少?”抽象出来的一般结论.

1 定理概述
设二面角 M-AB-N 的度数为 α,在平面 M 上有一条射线 AC,它和棱 AB 所成角为 β,和 平面 N 所成的角为 γ,则 sinγ=sinα· sinβ(如图)

三正弦定理示意图

2 定理证明
如上图,过 C 作 CO⊥平面 N 于点 O,过 O 作直线 OB⊥二面角的棱于点 B,连 OA,CB, 则易知△CAO,△CBO,△ABC 均为直角三角形. 于是,sinγ=CO︰AC,sinα=sin∠CBO=CO︰BC, sinβ=sin∠BAC=BC︰AC. 由此容易推得 sinγ=sinα· sinβ

3 定理应用编辑
如果将三正弦定理和三余弦定理联合起来, 用于解答立体几何综合题, 你会发现出乎意料地 简单,甚至不用作任何辅助线! 例 1 如图,已知 A1B1C1-ABC 是正三棱柱,D 是 AC 中点,若 AB1⊥BC1,求以 BC1 为棱,DBC1 与 CBC1 为面的二面角 α 的度数.(1994 年全国高考理科数学 23 题)

三正弦定理应用之例 1 题图

三正弦定理应用之例 1 解答 例 2 已知 Rt△ABC 的两直角边 AC=2,BC=3.P 为斜边 AB 上一点,现沿 CP 将此直角三 角形折成直二面角 A-CP-B(如下图) ,当 AB=√7 时,求二面角 P-AC-B 大小.(上海 市 1986 年高考试题,难度系数 0.28)

三正弦定理应用之例 2 题图

三正弦定理应用之例 2 解答

三余弦定理
3 定理应用 如果将三余弦定理和三正弦定理联合起来使用,用于解答立体几何综合题,你会 发现出乎意料地简单,甚至不用作任何辅助线! 例 1 如图,已知 A1B1C1-ABC 是正三棱柱,D 是 AC 中点,若 AB1⊥BC1,求以 BC1 为棱,DBC1 与 CBC1 为面的二面角 α 的度数.(1994 年全国高考理科数学 23 题)

三余弦定理应用例题 1

三余弦定理应用例题 1 解答 例 2 已知 Rt△ABC 的两直角边 AC=2,BC=3.P 为斜边 AB 上一点,现沿 CP 将此 直角三角形折成直二面角 A-CP-B(如下图),当 AB=√7 时,求二面角 P-AC -B 大小.(上海市 1986 年高考试题,难度系数 0.28)

三余弦定理应用例题 2

三余弦定理应用例题 2 解答 例 3.已知菱形 ABCD 的边长为 1,∠BAD=60°,现沿对角线 BD 将此菱形折成直 二面角 A-BD-C(如图 6). ( 1)求异面直线 AC 与 BD 所成的角; ( 2)求二面角 A-CD-B 的大小.

三余弦定理应用例题 3


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