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解三角形单元测试卷


解三角形单元测试卷 姓名______________班级_________________ 一、选择题 a +b -c 1、在△ABC 中,a,b,c 分别是 A,B,C 的对边长,若 <0,则△ABC( 2ab (A)一定是锐角三角形 (C)一定是钝角三角形 (B)一定是直角三角形 (D)是锐角或钝角三角形
2 2 2

)

2、若 A 为△ABC 的内角,则下列函数中一定取正值的是( A. sin A B. cos A C. tan A D.



1 tan A

3、在 ?ABC 中, AB ? A. 3 ? 3 B. 2

3, A ? 45 0 , C ? 75 0 , 则 BC =( )
C.2 D. 3 ? 3

4、在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若(a +c -b )tanB= 3ac ,则角 B 的值为 A.

2

2

2





? 6

B.

? 3

C.

? 5? 或 6 6

D.

? 2? 或 3 3

5、 △ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 c ? 则 a 等于 A. 6 B.2 C. 3

2,b ? 6,B ? 120? ,
( D. 2 )

sin A cos C 6、在△ABC 中,若 = ,则 C 的值为( a c A.30° B.45° C.60°

) D.90° ) D.无穷多解

7、在△ABC 中,如果 A=60° ,c=4,a=4,则此三角形有( A.两解 B.一解 C.无解 二、填空题

8、在△ABC 中,已知 BC= 5,sin C=2sin A,则 AB=________. 9、在△ABC 中,B=30° ,C=120° ,则 a∶b∶c=________. 10、在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a ? b ? 3bc , sin C ? 2 3 sin B ,则 A=
2 2

11、在△ABC 中,已知 sinA=2cosB·sinC,则三角形的形状为__________. 12、钝角三角形的三边为 a、a+1、a+2,其最大角不超过 120°,则 a 的取值范围是 三、解答题:

13、在△ABC 中,a=b+2,b=c+2,又最大角的正弦等于

3 ,求三边长。 2

14、在 ?ABC 中,A、B、C 是三角形的三内角, a, b, c 是三内角对应的三边,已知 b ? c ? a ? bc.
2 2 2

(I)求角 A 的大小; (II)若 sin A ? sin B ? sin C , 求角 B 的大小。
2 2 2

15、在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 2b·cosA=c·cosA+a·cosC. (1)求角 A 的大小; (2)若 a= 7,b+c=4,求 bc 的值及△ABC 的面积。

16、在 ?ABC 中, BC ?

5 , AC ? 3, sin C ? 2 sin A

(Ⅰ)求 AB 的值。 (Ⅱ)求 sin(2 A ?

?
4

) 的值。

17、在△ABC 中,内角 A,B,C 对边的边长分别是 a,b,c,已知 c=2,角 C=60° (1)若△ABC 的面积是 3 , 求 a,b 的值; (2)若 sinC+sin(B-A)=2sin2A,求 a:b 的值。

18、在△ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ,又 A ? 60°, sin B : sin C ? 2 : 3 . (1)求

b 的值; c

(2)若△ABC 的 AB 边上的高为 3 3 ,求 a 的值.

19、如图,位于 A 处的信息中心获悉:在其正东方向相距 40 海里的 B 处有一艘渔船遇险,在原地等待营 救.信息中心立即把消息告知在其南偏西 30? 、相距 20 海里的 C 处的乙船,现乙船朝北偏东 ? 的方向沿直 线 CB 前往 B 处救援,求 cos? 的值.

1 20、设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 acosC+ c=b. 2 (1)求角 A 的大小; (2)若 a=1,求△ABC 的周长 l 的取值范围.

C AADDBB2 5 1∶1∶ 3

300

等腰三角形.

3 2≤a<3

13、3,5,7
15、(1)根据正弦定理 2b·cosA=c·cosA+a·cosC 可化为 2cosAsinB=sinCcosA+sinAcosC=sin(A+C)=sinB, 1 ∵sinB≠0,∴cosA= , 2 ∵0°<A<180°,∴A=60°. (2)由余弦定理得: 2 2 2 2 2 2 7=a =b +c -2bc·cos60°=b +c -bc=(b+c) -3bc, 把 b+c=4 代入得 bc=3. 14、解: (I)在 ?ABC中, b ? c ? a ? 2bc cos A
2 2 2

且 b ? c ? a ? bc,
2 2 2

? cos A ?

1 ? , A ? . …………7 分 2 3
2 2 2

(II)由正弦定理,又 sin A ? sin B ? sin C ,



a2 b2 c2 ? ? , 4R 2 4R 2 4R 2
2 2 2

即: a ? b ? c , 故?ABC是以?C为直角的直角三角形 …………11 分 又? A ?

?
3

,? B ?

?
6

. …………14 分

17、解:①a=b=2;……………………………………6 分 ②2 或 1/2 解: (Ⅰ)由余弦定理及已知条件得, a ? b ? ab ? 4 ,
2 2

又因为 △ABC 的面积等于 3 ,所以 联立方程组 ?

1 ·········· 4 ·········· ab sin C ? 3 ,得 ab ? 4 . ··········· 分 2

? a 2 ? b 2 ? ab ? 4, ? ab ? 4,

解得 a ? 2 , b ? 2 . ···················· 分 ··········· ········· ·········· ········· 6

(Ⅱ)由题意得 sin( B ? A) ? sin( B ? A) ? 4sin A cos A , 即 sin B cos A ? 2sin A cos A , ······························· 分 ··········· ·········· ·········· ·········· ··········· ········· 8 当 cos A ? 0 时, A ?

4 3 2 3 ? ? ,B ? ,a ? ,b ? , 3 3 2 6

当 cos A ? 0 时,得 sin B ? 2sin A ,由正弦定理得 b ? 2a , 联立方程组 ?

? a 2 ? b 2 ? ab ? 4, ?b ? 2a,

解得 a ?

2 3 4 3 ,b ? . 3 3

所以 △ABC 的面积 S ?

1 2 3 ab sin C ? 2 3

18、解:如题图所示,在 ?ABC 中, AB ? 40, AC ? 20, ?BAC ? 120 ? , 由余弦定理知 BC ? AB ? AC ? 2 AB ? AC ? cos120 ? ? 2800
2 2 2

? BC ? 20 7
由正弦定理

……5 分

AB BC AB 21 ……10 分 ? ? sin ?ACB ? sin ?BAC ? sin ?ACB sin ?BAC BC 7
2 7 . 7

由 ?BAC ? 120 ? ,则 ?ACB 为锐角, cos ?ACB ? 由 ? ? ?ACB ? 30? ,

则 cos? ? cos(?ACB ? 30?) ? cos ?ACB cos 30? ? sin ?ACB sin 30? ?

21 14

20、1)由

1 1 acosC+ c=b 得 sinAcosC+ sinC=sinB, 2 2

又 sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC, 1 1 ∴ sinC=cosAsinC,∵sinC≠0,∴cosA= , 2 2 又∵0<A<π ,∴A= π . 3

(2)方法一:由正弦定理得: asinB 2 2 b= = sinB,c= sinC, sinA 3 3 l=a+b+c=1+ =1+ 2 (sinB+sinC) 3

2 (sinB+sin(A+B)) 3 3 1 sinB+ cosB) 2 2

=1+2(

π =1+2sin(B+ ), 6 π 2π ∵A= ,∴B∈(0, ), 3 3 π π 5π π 1 ∴B+ ∈( , ),∴sin(B+ )∈( ,1]. 6 6 6 6 2 故△ABC 的周长 l 的取值范围为(2,3].
16、 (1)解:在 ?ABC 中,根据正弦定理,

AB BC BC ,于是 AB ? sin C ? ? 2 BC ? 2 5 sin C sin A sin A
AB 2 ? AC 2 ? BC 2 2 AB ? AC

(2)解:在 ?ABC 中,根据余弦定理,得 cos A ?

于是 sin A ? 1 ? cos A =
2

5 , 5

从而 sin 2 A ? 2 sin A cos A ?

4 3 , cos 2 A ? cos2 A ? sin 2 A ? 5 5

sin(2 A ?

?
4

) ? sin 2 A cos

?
4

? cos 2 A sin

?
4

?

2 10


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