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2013版高考数学专题辅导与训练配套课件:3.3解三角形的综合问题(湖北专供-数学文)


第三讲 解三角形的综合问题

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【考情快报】
(1)以选择、填空题的形式考查,主要利用正弦定理与余

弦定理实现边角互化,进而解三角形(如求角度、边长、面积
及判断三角形的形状等),属基础题.

(2)以解答题的形式考查,主要的题型有两类:一是以实际

>生活为背景,常与度量工件、测量距离和高度及工程建筑等生

产实际相结合,通过巧妙设计和整合,命制新颖别致的考题,该
类问题重在考查学生分析问题并能用数学工具解决实际问题的 能力,属中档题目;二是与平面向量、三角恒等变换等知识交 汇命题,考查解三角形的有关知识,属基础题.

【核心自查】 一、主干构建

二、概念理解 1.解三角形 对边a,b,c 叫做三角形的 三个角A,B,C 和它们的__________ 把三角形的______________ 元素,已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫解三角形.

2.实际问题中的常用角
(1)仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角, 在水平线下方的角叫俯角(如图1).

(2)方位角

顺时针 转到目标方向线的水平角,如B点的方位 指从正北方向_______
角为α (如图2). (3)方向角:相对于某正方向的水平角,如南偏东30°,北偏 西45°等. (4)坡度:坡面与水平面所成的二面角的度数.

三、重要公式 1.正弦定理 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等, 即
a b c ? ? ? 2R ,其中R是三角形外接圆的半径. sin A sin B sin C

提醒:已知两边和其中一边的对角,解三角形时,注意解的不 定性.

2.余弦定理及其推论

(1)定理
三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边

与它们夹角的余弦的积的两倍.
b2+c2-2bccos A , ①a2=_________________

a2+c2-2accos B , ②b2=________________
a2+b2-2abcos C ③c2=________________.

(2)推论
b2 ? c2 ? a 2 ①cos A= 2bc



a 2 ? c2 ? b2 ②cos B=_____________ , 2ac a 2 ? b2 ? c2 ③cos C=____________. 2ab

3.三角形面积公式
1 1 1 absin C acsin B bcsin A S△ABC=_________=_________=_________. 2 2 2

4.射影定理 在△ABC中,边a,b,c分别是角A,B,C的对边.则 ①a=b·cos C+c·cos B, ②b=a·cos C+c·cos A,

③c=a·cos B+b·cos A.

热点考向 一

三角形中的求值与证明

【典例】1.(2012·长沙模拟)锐角三角形ABC中,a,b,c分别
b 是三内角A,B,C的对边,设B=2A,则 的取值范围是( a

)

(A)(-2,2)

(B)(0,2)

(C)( 2 ,2)

(D)( 2,3 )

2.(2012·西城模拟)在△ABC中,a=15,b=10,∠A=60°,则 cos B=( (A) ? 2 2
3

) (B) 2 2
3

(C) 6
3

(D)-

6 3

3.(2012·新课标全国卷)已知a,b,c分别为△ABC三个内角

A,B,C的对边,acos C+ 3 asin C-b-c=0.
(1)求A;

(2)若a=2,△ABC的面积为 3 ,求b,c.

【解题指导】1.求解本题注意两点:一是借助正弦定理实现边 角互化;二是注意题设条件“锐角三角形ABC”,可以限定角 的范围. 2.先由正弦定理求出sin B,再结合三角形“大边对大角”的

性质判断角B的范围,最后利用平方关系求出cos B.
3.由正弦定理及三角恒等变换知识求(1),利用余弦定理及三

角形面积公式求(2).

【解析】1.选D.∵ =

b a

sin B sin 2A =2cos A, = sin A sin A

又△ABC是锐角三角形,∴

B ? 2A< 90?



A ? 2A>90? b ∴30°<A<45°,则 =2cos A∈( 2,3 ). a 2.选C.由正弦定理 a ? b 知, sin A sin B
3 bsin A 2 ? 3< 3 sin B ? ? a 15 3 2 B<60°,cos B= 6 . 3 10 ?

,又a>b,故A>B,从而0°<

3.(1)由正弦定理得:

acos C+ 3 asin C-b-c=0
?sin Acos C+ 3 sin Asin C=sin B+sin C ?sin Acos C+ 3 sin Asin C=sin(A+C)+sin C ? 3 sin A-cos A=1?sin(A-30°)= 2 ?A-30°=30°?A=60°. (2)S=
1 bcsin A= 3 ?bc=4, 2 1

a2=b2+c2-2bccos A?b+c=4. 解得:b=c=2.

【拓展提升】 1.正弦定理的三种常见变形 (1)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C; (2)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C,其中R为△ABC外接 圆的半径;

(3)sin A=

b a ,sin B= ,sin C= c . 2R 2R 2R

2.在解三角形时,正、余弦定理可解决的几类问题 (1)正弦定理可解决两类问题:

①已知两角及任一边,求其他边或角;
②已知两边及一边的对角,求其他边或角.

提醒:情况②中结果可能有一解、两解、无解,应注意区分.
(2)余弦定理可解决两类问题: ①已知两边及夹角求第三边和其他两角; ②已知三边,求各角.

热点考向 二

三角形形状的判断

【典例】1.(2012·泉州模拟)已知△ABC的三个内角满足: sin A=sin Ccos B,则三角形的形状为( (A)正三角形 )

(B)直角三角形
(C)等腰直角三角形

(D)等腰三角形或直角三角形

2.(2012·哈尔滨模拟)已知△ABC,A,B,C所对的边分别为 a,b,c,且acsin A<BA · BC ,则( (A)△ABC是钝角三角形 (B)△ABC是锐角三角形 )

(C)△ABC可能为钝角三角形,也可能为锐角三角形
(D)无法判断
a ? ccos B sin A = 3.在△ABC中,若 ,试判断△ABC的形状. b ? ccos A sin B

【解题指导】1.利用角与角关系:A+B+C=π,由A=π-(B+C)
可得sin A=sin(B+C),然后借助两角和的正弦公式求解 . 2.结合数量积的定义求解. 3.把边化成角借助两角和与差的三角函数公式求解或将边化成 角求解. 【解析】1.选B.由sin A=sin Ccos B得 sin A=sin(B+C)=sin Ccos B, ∴sin Bcos C=0,cos C=0,C= ∴△ABC为直角三角形.
? . 2

2.选A.∵acsin A< BA·BC 又 BA· BC =accos B, ∴acsin A<accos B,

∴sin A<cos B,
∴cos A>sin B, 又cos C=-cos(A+B)=sin Asin B-cos Acos B<cos Bsin Bcos Acos B =cos B(sin B-cos A)<0. ∴角C为钝角. ∴△ABC为钝角三角形.

3.方法一:由正弦定理及
sin A ? sin Ccos B sin A ? sin B ? sin Ccos A sin B

a ? ccos B sin A ,得 = b ? ccos A sin B

.

所以

sin A , = sin ? A ? C ? ? sin Ccos A sin B

sin ? B ? C ? ? sin Ccos B

sin Bcos C sin A = . sin Acos C sin B a 再利用正弦定理,得 b = . b a

所以

所以a2=b2,即a=b.即△ABC为等腰三角形.

方法二:由

a ? ccos B sin A ,得 = b ? ccos A sin B

asin B-csin Bcos B=bsin A-csin Acos A. 又asin B=bsin A, 所以sin Bcos B=sin Acos A,

即sin 2B=sin 2A.由于b-ccos A≠0,
由正弦定理得,sin B≠sin Ccos A, 即cos Csin A≠0,即cos C≠0,
? 所以C≠ ,即A+B≠ ? . 2 2

故有2A=2B,所以A=B,

从而△ABC为等腰三角形.

【拓展提升】 根据所给条件确定三角形形状的“两种”途径 (1)化边为角.即将条件化为只含角的三角函数关系式,然后利 用三角恒等变换得出内角之间的关系式.

(2)化角为边.将条件化为只含有边的关系式,然后利用常见的
化简变形得出三边的关系. 提醒:常用正弦(余弦)定理实施边、角转换.

热点考向 三

解三角形应用举例

【典例】(12分)(2012·石家庄模拟)某城市有一块不规则的绿 地如图所示,城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环 境标志,小李、小王设计的底座形状分别为△ABC、△ABD,经 测量AD=BD=14,BC=10,AC=16,∠C=∠D.

(1)求AB的长度; (2)若建造环境标志的费用与用地面积成正比,不考虑其他因 素,小李、小王谁的设计使建造费用较低,请说明理由.

【解题指导】首先借助余弦定理列式,通过等量关系求出角 C
的大小,进而求AB的长度;然后借助正弦定理比较三角形的面 积大小,并作出判断.

【规范解答】(1)在△ABC中,由余弦定理得,
AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos C.

=162+102-2×16×10cos C.①
在△ABD中,由余弦定理及∠C=∠D整理得. AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos D =142+142-2×142cos C.② ??????????????2分

由①②得: 142+142-2×142cos C=162+102-2×16×10cos C, 整理可得cos C=
1 ,????????????????4分 2

又∠C为三角形的内角,所以∠C=60°, 又∠C=∠D,AD=BD,所以△ABD是等边三角形, 即AB的长度是14. ?????????????????6分

(2)小李的设计符合要求.理由如下: S△ABD = S△ABC
1 AD·BDsin D, 2 = 1 AC·BCsin C, 2

因为AD·BD>AC·BC,∠C=∠D, ???????????10分 所以S△ABD>S△ABC. 又已知建造费用与用地面积成正比,故选择△ ABC建造环境标志费 用较低. 即小李的设计使建造费用较低. ???????????12分

【拓展提升】 解三角形应用题的一般步骤及流程 (1)步骤 ①读题.阅读理解题意,弄清问题的实际背景,明确已知与未 知,理清量与量之间的关系. ②建模.根据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形问 题的模型.

③解模.根据题意选择正弦定理或余弦定理求解.
④还原.将三角形问题还原为实际问题,注意实际问题中的有

关单位问题、近似计算的要求等.

(2)流程

【思想诠释】
1.本题属于三角函数建模问题,其求解的关键是运用所学的解 三角形的知识和方法对该问题进行分析,然后检验所得的解, 并写出实际问题的结论便可. 2.常见的数学模型及相关问题归类如下:

1.(背景新)某航模兴趣小组的同学,为了测定在湖面上航模航行 的速度,采用如下办法:在岸边设置两个观察点A,B,且AB长为 80米,当航模在C处时,测得∠ABC=105°和∠BAC=30°,经过20

秒后,航模直线航行到D处,测得∠BAD=90°和∠ABD=45°.请你
根据以上条件求出航模的速度.(答案保留根号)

【解析】在△ABD中,∵∠BAD=90°,
∠ABD=45°,∴∠ADB=45°. ∴AD=AB=80,∴BD=80 2 . 在△ABC中, BC ? AB
sin 30? sin 45?

,

∴BC=

ABsin 30? ? sin 45?

80 ? 2 2

1 2 ? 40 2 .

在△DBC中,DC2=DB2+BC2-2DB·BCcos 60°
=(80 2 )2+(40 2 )2-2×80 2 ×40 2 × =9 600, 2
1

∴DC=40 6 ,航模的速度v= 40 6 ? 2 6 米/秒.
20

答:航模的速度为 2 6 米/秒.

2.(交汇新)在△ABC中, (1)设c3=a3+b3,证明△ABC是锐角三角形; (2)设cn=an+bn,当n>3(n∈N)时,试判断△ABC是何种三角形, 请说明理由. 【解析】(1)由题设c3=a3+b3,可得c>a,c>b,故C为最大角;

只需要判断a2+b2-c2>0,
因为(a2+b2)c-c3=(a2+b2)c-(a3+b3)=a2(c-a)+b2(c-b)>0,即

(a2+b2)c-c3>0,a2+b2>c2,
a 2 ? b2 ? c2 根据余弦定理,有cos C= > 0, 2ab

故△ABC是锐角三角形.

(2)因为cn=an+bn, 所以cn-2>an-2,cn-2>bn-2, 因为(a2+b2)cn-2-cn=(a2+b2)cn-2-(an+bn) =a2(cn-2-an-2)+b2(cn-2-bn-2)>0, 所以(a2+b2)cn-2-cn>0,即(a2+b2)cn-2>cn, 所以a2+b2>c2,
a 2 ? b2 ? c2 根据余弦定理,有cos C= > 0, 2ab

故当n>3(n∈N)时,△ABC是锐角三角形.

3.(角度新)某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位:m),如示 意图,垂直放置的标杆BC的高度h=4 m,仰角∠ABE=α , ∠ADE=β .

(1)该小组已测得一组α ,β 的值,算
出了tan α =1.24,tan β =1.20, 请据此算出H的值; (2)该小组分析若干测得的数据后,认为适当调整标杆到电视 塔的距离d(单位:m),使α 与β 之差较大,可以提高测量精确 度.若电视塔的实际高度为125 m,试问d为多少时,α -β 最大?

【解析】(1) H =tan β?AD=
AD

H , tan ?

H ,BD= h , tan ? tan ? AD-AB=BD,故得 H ? H ? h tan ? tan ? tan ?

同理AB=



解得:H=

htan ? 4 ?1.24 ? ? 124 . tan ? ? tan ? 1.24 ? 1.20

因此,算出的电视塔的高度H是124 m.

(2)由题设知d=AB,得tan α= H ,tan β=
d H H?h ? tan? ? tan? d tan ? ? ? ? ? ? ? d 1 ? tan? ? tan? 1 ? H ? H ? h d d hd h ? 2 ? , H?H ? h? d ? H?H ? h? d? d H?H ? h? d? ? 2 H ? H ? h ?, d

H h H?h , ? ? AD DB d

(当且仅当d= H(H ? h) = 125 ?121 =55 5 时,取等号)

故当d=55 5 时,tan(α-β)最大.

? 因为0<β<α< ,则0<α-β< ? , 2 2

由y=tan x的单调性可知: 当d=55 5 时,α-β最大.故所求的d是55 5 m.


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