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2006年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题和答案


2006 年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题
第一试
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1、a、b 为实数,集合 M ? { ,1} 、P={a,0},f:x→x 表示把集合 M 中的元素 x 映射到集 合 P 中仍为 x,则 a+b 的值等于 A. -1 B. 0 C. 1 D.±1

b a

2 ) ?

log2 x | x | ,则 f(x)的解析式是 x? | x | ?x ?2 A. log2 x B. ? log2 x C. 2 Dx 3 x 2 ? 3a 3、若关于 x 的方程 ( ) ? 有负数根,则实数 a 的取值范围为 2 5?a 2 3 2 2 3 A. (??, ? ) ? (5, ?? ) B. (??, ? ) ? (5, ??) C. (? ,5) D. ( ? , ) 3 4 3 3 4 4、已知数列{an}、{bn}的前 n 项和分别为 An、Bn,记 Cn ? an ? Bn ? bn ? An ? an ? bn (n ? 1) ,
2、若函数 f(x)满足 f ( 则数列{Cn}的前 10 项和为 A . A10 ? B10 B.

A10 ? B10 2

C. A 10 ? B 10

D.

A10 ? B10

5、如图 1,设 P 为△ABC 内一点,且 AP ? 积之比为

2 1 AB ? AC ,则△ABP 的面积与△ABC 的面 5 5

2 1 1 C. D. 5 4 3 3 3 6、若 sin ? ? cos ? ? cos? ? sin ? ,0 ? ? ? 2? , ,则角 θ 的取值范围是( ? ? ? 5? ? 3? ] D. [ , ) A. [0, ] B. [ , ? ] C. [ , 4 4 4 4 4 2
A. B.

1 5

)

7、袋中装有 m 个红球和 n 个白球,m>n≥4.现从中任取两球,若取出的两个球是同色的概 率等于取出的两个球是异色的概率,则满足关系 m+n≤40 的数组(m,n)的个数为 A .3 B. 4 C.5 D.6 2 8、 已知实系数一元二次方程 x ? (1 ? a) x ? a ? b ? 1 ? 0 的两个实根为 x1、 x2 且 0<x1<1, x2>1, 则 b/a 的取值范围是 A . ( ?1, ? ]

1 2

B ( ?1, ? )

1 2

C ( ?2, ? ]

1 2

D ( ?2, ? )

1 2

9、如图 2,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,P 为棱 AB 上一点,过点 P 在空间作直线 l,使 l 与平面 ABCD 和平面 ABC1D1 均成 30° 角,则这样的直线 l 的条数为 A. 1 B .2 C. 3 D .4

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左焦点 F 引圆 x2 ? y 2 ? a2 的切线,切点 a 2 b2 为 T。 延长 FT 交双曲线右支于 P 点若 M 为线段 FP 的中点, O 为坐标原点, 则 | MO | ? | MT | 与 b ? a 的大小关系为 A. | MO | ? | MT |? b ? a B. | MO | ? | MT |? b ? a C. | MO | ? | MT |? b ? a D.不确定
10、如图 3,从双曲线 二、填空题(每十题 6 分,共 30 分) 11、已知 θ 为锐角,且

cos 3? 1 sin 3? ? ,则 =__________。 cos ? 3 sin ?

12、 用 6 根等长的细铁棒焊接成一个正四面体形框架, 铁棒的粗细和焊接误差不计设此框架 能容纳得下的最大球的半径为 R1,能包容此框架的最小球的半径为 R2,则 R1/R2 等于____。 13、设 f(x)是以 2 为周期的奇函数,且 f ( ? ) ? 3 ,若 sin ? ? 14、若 a、b、c 成等差数列,则直线 ax+by+c= 0 被椭圆

2 5

5 则 f(4cos2α)的值______。 5

x2 y2 ? ? 1 截得线段的中点的轨迹 2 8

方程为__________。 15、设 x>1,y>1,S=min{logx2,log2y,logy(8x2)},则 S 的最大值为__________。

第二试
一、 (20 分)设 P(x+a,y1)、Q(x,y2)、R(2+a,y3)是函数 f(x)=2x+a 的反函数图象上三个不 同点,且满足 y1+y3=2y2 的实数 x 有且只有一个,试求实数 a 的取值范围。 二、 (20 分)已知 x、y、z 均为正数。

x y z 1 1 1 ? ? ? ? ? ; yz zx xy x y z x y z ? ? 的最小值。 (2)若 x+y+z≥xyz,求 u ? yz zx xy
(1)求证:

三、 (20 分)已知 sin(2α+β)=3sinβ,设 tanα=x,tanβ=y,记 y=f(x), (1)求 f(x)的表达式; (2)定义正数数列{an}: a1 ?

1 2 * , an ?1 ? 2an ? f (an )(n ? N ) 。试求数列{an}的通项公式。 2

四、 (30 分)如图 4,△ABC 的内心为 I,过点 A 作直线 BI 的垂线,垂足为 H,设 D、E 分 别为内切圆 I 与边 BC、CA 的切点,求证:D、H、E 三点共线。

五、 (30 分)如图 5,已知抛物线 C: y ? 4 px( p ? 0) ,F 为 C 的焦点,l 为准线,且 l 交 x 轴于 E 点,过点 F 任意作一条直线交抛物线 C 于 A、B 两点。
2

(1)若 AF ? ? FB(? ? 0) ,求证: EF ? (EA? ? EB) ; (2)设 M 为线段 AB 的中点,P 为奇素数,且点 M 到 x 轴的距离和点 M 到准线 l 的距离均 为非零整数,求证:点 M 到坐标原点 O 的距离不可能是整数。


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