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2015-2016学年广东省仲元中学高一上学期期中考试数学试题


广东仲元中学 2015 学年第一学期期中考试高一年级 数学学科必修一模块试卷
第 I 卷 (本卷共计 60 分) 一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.设全集为 U ? R , A ? ?x | x ? 0? , B ? ?x | x ? 1? 则 A ? ?U B 为( A. ?x | x ? 0? B. ?x | 0 ? x ? 1? C. ?x | x ? 1? ) D. ?x | 0 ? x ? 1?

2.函数 f ? x ? ? ln ?1 ? x ? 的定义域是 ( A. ? ??,1? B. ? ??,1?

) C. ?1, ?? ? D. ?1, ?? ?

3.下列函数中表示同一函数的是( A. y ?

) B. y ?
3

x4 与y ?

? x?

4

x3 与y ?

x2 x

C. y ?

x2 ? x与y ? x ? x ? 1

D. y ?

1 1 与y ? x x2

4.函数 y ? x ? 2 x ? 1在闭区间 ?0,3? 上的最大值和最小值之和为(
2



A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

5. 设偶函数 f ? x ? 的定义域为 R , 当 x ??0, ??? 时函数 f ? x ? 是减函数, 则 f ? ?3? ,f

?? ? ,

f ? ?3.14? 的大小关系为(
A. f C. f

) B. f

?? ? ? f ? ?3.14? ? f ? ?3? ?? ? ? f ? ?3.14? ? f ? ?3?
?2 x

?? ? ? f ? ?3.14? ? f ? ?3? ?? ? ? f ? ?3? ? f ? ?3.14?

D. f

6.若 10

? 25 ,则 10 x 的值为(


第1页 共9页

A. ?

1 5

B.

1 5

C. ?

1 5

D.

1 625

7.函数 y ? 1 ? log3 x, ? x ? 9? 的值域为( A. ? 2, ??? B. ?3, ?? ?

) C. ? 3, ??? D. R

8.方程 log3 x ? x ? 3 的解所在的区间为( A. ? 0,1? B. ?1, 2 ?

) C. ? 2,3? D. ? 3, ???

?1 ? f ? n ? , n为偶数 9. 定义在 N 的函数 f ? x ? 满足 f ?1? ? 2 且有 f ? n ? 1? ? ? 2 , 则 f ?12? 的 ? f ? n ? , n为奇数 ?
*

值为( A.

) B.

1 32

1 16

C.

1 64

D. 1

10.函数 y ? log a x ? a ? 0且a ? 1? 的反函数的图象经过点 ? 2, 4 ? ,则 a 的值为( A. 2 B. 4 C.



1 2

D. 2 )

11.函数 y ? a x 与 y ? ? loga x ? a ? 0且a ? 1? 在同一坐标系中的图象只可能是( y y 1 1 A. 12. 若 x ? A, 必有 x -1 0 B. x y 1 1 C. x 0 D. x 1

y

1 0

1 0

1 1 1 ? ? ? A 则称集合 A 为自倒关系集合 . 在集合 M ? ??1, 0, , ,1, 2,3, 4? x 2 3 ? ?
) D. 15

的所有非空子集中,具有自倒关系的集合的个数为( A. 6 B. 9 C. 12

第 II 卷

(本卷共计 90 分)

第2页 共9页

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分)
13.己知幂函数 y ? f ? x ? 的图象过点 2, 2 ,则 f ? 4? ?

?

?



14. 已知 f ( x) ? ax3 ? bx ? 4 其中 a , b 为常数, 若 f (?2) ? 2 , 则 f( 2 ) 的值等于



15.己知函数 f ? x ? ? ?

? x2 , x ? 0 ??2 x, x ? 0

,则 f [ f ? ?2?] ?



16.给出下列两个集合 A, B及A ? B 的对应 f :

?, B ? ??1,0,1?,f : A中的数的平方 ; ① A ? ??1,0,1 ?, B ? ??1,0,1?,f : A中的数的开方 ; ② A ? ?0,1
③ A ? Z, B ? Q,f : A中的数的倒数 ;

中的数取绝对值 ; ④ A ? R, B ? 正实数 ,f : A , 2, 3, 4?, B ? ?2, 4, 6, 810 , ?,f : n ? 2m, 其中n ? A, m ? B ; ⑤ A ? ?1
其中是 A 到 B 的函数有 个.

?

?

三、 解答题: (本大题共 6 小题,满分 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题10分)
1 4 ? 7? (1)(5分)计算 ? ? ? ? 83 ? 4 ? 3 ? ? ? . ? 8? 0

(2)(5分)化简 log2 3 ? log3 2 ? lg 2 ? lg5 ? ln e .
2

18.(本小题12分) 某商品的进货价为每件40元,售价为每件50元,每个月可卖出210件;如果每件商品在该售价的 基础上每上涨1元,则每个月少卖10件(但每件售价不能高于65元),设每件商品的售价上涨 元( x 为正整数),每个月的销售利润为 y 元. (1)求 y 与 x 的函数关系式并直接写出自变量 x 的取值范围. (2)每件商品的售价定为多少元时,每个月可获得最大利润?最大的月利润是多少元?

x

第3页 共9页

19.(本小题12分)设函数 f ? x ? ? x ? 2 x .
2

(1)在答题卡中先完成表格,再在坐标轴上画出函数

f ? x ? 在区间 ? ?2,3? 上的图像;
(2)求函数 g

? x? ? f ? x? ? 2 在区间 ??2,3? 上的值域.
?1

x
f ? x?

?2

0

1

2

3

20. (本小题12分)己知集合 A ?

?x | 2a ?1 ? x ? 3a ? 5? , B ? ?x | x ? ?1或x ? 16?

(1)若 A 为非空集合,求实数 a 的取值范围; (2)若 A ? B ,求实数 a 的取值范围. 21. (本小题12分)

已知二次函数 f ( x ) 满足 f (?1) ? 0 ,且 4 x ? f ? x ? ? 2 x ? 1 对于任意 x ? R 恒成立.
2

?

?

(1)求 f (1) 的值及 f ( x ) 的表达式;

(2)设 g ( x)

?

x2 ?1 定义域为D,现给出一个数学运算程序: f ( x)
,按照这个运算规则,若给出

x1 ? x2 ? g ( x1 ) ? x3 ? g ( x2 ) ? ......? xn ? g ( xn?1 )

x1 ?

7 ,请你写出满足上述条件的集合 D ? ?x1 , x2 , x3 ,......,xn ? 的所有元素. 3
x?a mx (a ? R ) 是奇函数,函数 g ( x) ? 2 x ?1 1? x

22.(本小题12分)已知定义在R上的函数 f ? x ? ? 的定义域为 (?1, ??) . (1)求 a 的值; (2)若 g ( x ) ?

mx 在 (?1, ??) 上递减,根据单调性的定义求实数 m 的取值范围; 1? x

(3)在(2)的条件下,若函数 h 零点,求实数 m 的取值范围.

? x? ? f ? x ? ? g( x) 在区间 ? ?1, 1? 上有且仅有两个不同的

第4页 共9页

广东仲元中学 2015 学年第一学期期中考试高一年级数学学科必修一模块试卷参
考答案

一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分)

BADCB

BCCBA

AD

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分)
13. 2 14. ?10 15. 16 16. 2

三、 解答题: (本大题共 6 小题,满分 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17. (本小题满分 12 分) 解: (1) ? ? ? ? 83 ? 4 ? 3 ? ? ? ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? 1 ? 2 ? ? ? 3 ? ? ..............5 分
4

? 7? ? 8?

0

1

(2) log 2 3 ? log3 2 ? lg 2 ? lg 5 ? ln e ? log 2 3 ?
2

1 ? ? lg 2 ? lg 5 ? ? 2ln e log 2 3

? 1 ? 1 ? 2 ? 0 ..............10 分

18. (本小题满分 12 分) 解: (1)依题意可得每件商品的售价上涨 x 元( x 为正整数) , 则每件商品对应的利润为 50 ? 40 ? x ? 10 ? x 元,而对应的销售量为 210 ? 10 x , ...............2 分 所以每个月的销售利润为 y ? ?10 ? x ?? 210 ? 10 x ? ? ?10 ? x ? 5.5 ? ? 2402.5 ,其中 x 为正
2

整数且 0 ? x ? 15 .

..............6 分

(2)由 y ? ?10 ? x ?? 210 ? 10 x ? ? ?10 ? x ? 5.5 ? ? 2402.5
2

可得利润 y 是关于 x 的一元二次函数 开口向下且对称轴为 5.5 ,所以当 x 取 5和6 时, ..............10 分 即 每 件 商 品 的 售 价 定 为 45 元 或 46 元 时 , 每 个 月 的 利 润 最 大 , 最 大 利 润 为 2400 元。..............12 分

第5页 共9页

19. (本小题 12 分) 解:(1)填表如下

x
f ? x?

?2
8

?1
3

0
0

1
1

2
0

3
3 .................2 分

.................6 分 (2)
2 ? ? x ? 2 x, x ? [?2,0] ? [2,3] ? f ( x) ? ? 2 ? ?? x ? 2 x, x ? (0,2)

................8 分

若 x ?[?2,0] ?[2,3] 时,则当 x ? 0或2 时, f ( x ) 取最小值 0;当 x ? ?2 时, f ( x ) 取最大值 8;

? f ( x) ?[0,8]
若 x ? (0,2) 时, f ( x) ? (0,1] 所以, f ( x ) 在区间 [?2,3] 上的值域为 [0,8] ................10 分

又因为函数 g ( x) ? f ( x) ? 2 ,所以 g ( x) 在区间 [?2,3] 上的值域为 [2,10] . .................12 分

20. (本小题满分 12 分) 解: (1)作出数轴可知若 A ? ? 则有 2a ? 1 ? 3a ? 5 ,解得: a ? 6 可得实数 a 的取值范围为 ? 6, ??? ……………………4 分

第6页 共9页

(2) A ? B 则有如下三种情况: 1) A ? ? ,即 3a ? 5 ? 2a ? 1,解得: a ? 6 ;……………………6 分 2) A ? ? , A ? ? ??, ?1? ,则有 ? 3) A ? ? , A ? ?16, ??? ,则有 ?

?3a ? 5 ? ?1 解得: a 无解;………………8 分 ?2a ? 1 ? 3a ? 5

?2a ? 1 ? 16 15 解得: a ? .………………10 分 2 ?2a ? 1 ? 3a ? 5
? 15 ? , ?? ? ……………………12 分 ?2 ?

综上可得 A ? B 时实数 a 的取值范围为 ? ??, 6 ? ? ?

21. (本题满分 12 分) 解:( 1) 设 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) ,由 4 x ? f ( x) ? 2(x2 ? 1) ,令 x ? 1 得 4 ? f (1) ? 4 , ∴ f (1) ? 4 联立 f (?1) ? 0 得 ? 得 b ? 2, a ? c ? 2 又 ax ? bx ? c ? 4 x ,即 ax ? 2 x ? c ? 0 ,对 x ? R 恒成立,
2 2

..............2 分

?a ? b ? c ? 4 .........5 分 ?a ? b ? c ? 0
..............4 分

∴?

?a ? 0 ?? ? 4 ? 4ac ? 0
2 2

..............6 分

所以有 (a ? c) ? 4ac ? 0 即 (a ? c) ? 0 ? a ? 1, c ? 1 故 f ( x) ? ( x ? 1) (2)由 g ( x) ? 由题意 x1 ?
2

..............7 分

x2 ?1 x ?1 2 ? ? 1? f ( x) x ? 1 x ?1

..............8 分

2 3 5 7 7 , x2 ? g ( x1 ) ? , x3 ? g ( x2 ) ? ? , x4 ? g ( x3 ) ? ? , x5 ? g ( x4 ) ? ,后 5 7 2 3 3

面的数重复出现,根据集合的互异性,故 D ? ? , , ? , ? ? 22.(本小题满分 12 分) 解: (1)? 函数 f ? x ? ? ∴

?7 2 ?3 5

3 7

5? 2?

............12 分

x?a 是奇函数 x2 ? 1

f ?? x ? ? ??f ? . x

第7页 共9页

?x ? a x?a ?? 2 得a ? 0. 2 x ?1 x ?1 mx g ( x) ? (2) ∵ 在 (?1, ??) 上递减 1? x
∴ ∴

.............2 分

任给实数 x1 , x2 ,当 ?1 ? x1 ? x2 时 g ( x1 ) ? g ( x2 )

∴ ∴

g ( x1 ) ? g ( x2 ) ?
m?0

mx1 mx2 m( x1 ? x2 ) ? ? ?0 1 ? x1 1 ? x2 (1 ? x1 )(1 ? x2 )
.............5 分

x x mx ? ? 0. (3)由(1)得 f ? x ? ? 2 ,令 h ? x ? ? 0 ,即 2 x ?1 x ?1 1? x
2 化简得 x mx ? x ? m ? 1 ? 0 .

?

?

? x ? 0 或 m x2 ? x ? m ? 1 ? 0 .
2 若 0 是方程 m x ? x ? m ? 1 ? 0 的根, 则 m ? ?1 ,

此时方程 mx ? x ? m ? 1 ? 0 的另一根为 1, 不符合题意.
2

? 函数 h ? x ? ? f ? x ? ? g ( x) 在区间 ? ?1,1? 上有且仅有两个不同的零点等价于方程
m x2 ? x ? m ? 1 ? 0 (※)在区间 ? ?1,1? 上有且仅有一个非零的实根. ............ 7 分
①当 ? ? 12 ? 4m ? m ? 1? ? 0 时, 得 m ?

?1? 2 . 2

若m ? 题意;

1 1 ?1? 2 ?? ? 2 ? 1? ? ?1, 1? , 符合 , 则方程 ( ※ ) 的根为 x ? ? 2m 2 ?1 ? 2

若m ?

?1? 2 , 则与(2)条件下 m ? 0 矛盾,不符合题意. 2
.............9 分
2

?m?

?1? 2 . 2

② 当 ? ? 0 时,令 ? ?x ? ? mx ? x ? m ? 1 由?

?? ?? 1? ? ? ?1? ? 0, 得 ?1 ? m ? 0 . ?? ?0? ? 0.
? ? ?1 ? 2 ? ? ?. ? 2 ? ? ?

.............11 分

综上所述, 所求实数 m 的取值范围是 ? ?1, 0 ? ? ?

.............12 分

第8页 共9页

第9页 共9页


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