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一道竞赛题的加强


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数学通讯 —— 2 O 1 O年 第 4期 ( 上半 月)  

6 1  



道 竞赛 题 的加 强 
丁兴春  
( 江 苏 省 南 京 市 建 邺 高 级 中学 , 2 1 0 0 1 7 )  

2 0 0 7年波 兰数 学奥 林 匹克 训练 题 中 的一 道 三  角 不等 式如 下 :   求证 : 在 任 意三 角形 A BC 中 , 都有 
c o s A    . c o s B  I   c o s C  1一 c o s Bc o s C 。1一 c o s Ac o s C  1一 c o s Ac o s B 

C O s A 

  .

c o s B 

I  

c o s C 

1一 C O s Bc o s C 。 1一 C O s AC O S C  1一 c o s Ac o s B 

— C O S B+ C O S C< 2 .  

( 3 )当三 角 形 A BC 为 锐 角 三 角 形 时 , 则 有:  
c os A > 0, C O S B > 0. c o s C> 0 .     ‘

< 

+ 1 .  

利用 引 理 1及引 理 2 , 有:  
c o s A  l   c o s C    。 c o s B  l   c o s C  1一 C O s Bc o s C 。 1一 C O s Ac ( ) s C 。 1一 c o s Ac o s B 

事 实上 , 我们 有更 强 的结论 :  
c o s A  c o s B  1一 c o s Bc o s t ’1一 c o s Ac o s C 。 l— c os Ac o s B 

≤ 

≤ 2,  

+  ( 1一 C O S   B) ( 1一 C O S   C)   +  ( 1一 C O S   A) ( 1一 C O S 。 C)  
C OS C 
C O S B 

c o s A 

当且仅 当 A — B — C一 - 4 - 丌 - 时取 到等 号.   首先 介 绍两个 引 理 :  
引理 1   没a , b∈ R  , 则有( 1 一a b ) 。 ≥ ( 1 一  a   ) ( 1 一b 。 ) , 当且 仅 当 a— b 时取“ 一” .   引理 2   在 三角 形 AB C中, 有:  


、 / , ( 1一 C O S 。 A) ( 1一 C O S   B)  
c os A  .   C O S B    l C O S C  s i nBs i n C 。s i nAs i nC 。s i n As i n B 

c o s ( B + C) .一 c o s ( A + C) .  
s i nBs i nC    。 s i nAs i n C    。

c o t Ac o t B   4 -c o t BC O t C+ c o t Cc o t A 一 1 .  

引理 1 的证 明 只用作 差法 即可完成 , 引理 2是  三 角形 中 的一个 基 本 恒 等 式 , 关 于 它 们 的 详 细 证 
明这里从 略 .  



C O S ( A + B)  
s i n As i n B 
s n nC i Bs i
— — — — — — — — — — —



::



co sB co sC
— —   — — — — — — — — — — — — — — —
—  







 



下 面给 出加 强后 的不 等式 的证 明 :  

s i n Bs i n C 
n A si si n
.. ........ .

( 1 )当三 角形 A BC为 钝 角 三 角 形 时 , 不 妨 设  A 为钝 角 , 则 c o s A< 0 , c o s B> 0 , c o s C> 0于是  F  
r= = -   c o   s C   相 加后 得 :  
c o s A    . c o s B  l   c o s C  1一 c o s Bc o s C  1一 c o s Ac o s C ‘ 1一 c o s Ac o s B 
< 2.  


  .



co s
.. ..... ...... .......

A co s  C
...... ..... ....

....

.... . .











.....

.....

..—



 

s i n As i nC 

<o , F  
< 1
,  

< 1 ,  


s i nAs i nB — c o s Ac o s B  s i n As i n B 

3一 ( c o t Ac o t B  4 - c O t Bc o t C+ c O t Cc o t A)  

一 3— 1 — 2.  

综 合 以上 三种 情形 可知 :  

对 任 意三 角形 A BC, 都 有 
o s Ac o s C+  1   c 1   c o s BC O S C+  1   c o s A c o s B≤ 2 .  
  I
I  
~  
一   —   一  

( 2 )当三 角 形 A BC 为直 角 三 角 形 时 , 不 妨 设 
A 为直 角 , 则 c o s A一 0 ,  
于 是 

( 收 稿 日期 : 2 0 0 9 —0 9 —1 5 )  


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