当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

高中数学竞赛辅导讲义第七讲 解三角形【讲义】


第七章
一、基础知识

解三角形

在本章中约定用 A,B,C 分别表示△ ABC 的三个内角,a, b, c 分别表示它们所对的各边长, p
a sin A b sin B ? a ?b?c 2 c sin C

为半周长。

1.正弦定理:

?


?

=2R(R 为△ ABC 外接圆半径) 。
1 2 ab sin C ? 1 2 bc sin A ? 1 2

推论 1:△ ABC 的面积为 S△ ABC=

ca sin B .

推论 2:在△ ABC 中,有 bcosC+ccosB=a.
a sin a b sin( ? ? a )

推论 3: 在△ ABC 中, A+B= ? , a 满足 解

?

, a=A. 则

正弦定理可以在外接圆中由定义证明得到,这里不再给出,下证 推论。先证推论 1,由正弦函数定义,BC 边上的高为 bsinC,所以 S△ ABC=
1 2 ab sin C

;再证推论 2,因为 B+C= ? -A,所以 sin(B+C)=sinA,

即 sinBcosC+cosBsinC=sinA,两边同乘以 2R 得 bcosC+ccosB=a;再 证推论 3,由正弦定理
a sin A ? b sin B

,所以
1 2

sin a sin A

?

sin( ? ? a ) sin( ? ? A )

,即

sinasin( ? -A)=sin( ? -a)sinA , 等 价 于 ?
? 1 2

[cos( ? -A+a)-cos( ? -A-a)]=

[cos( ? -a+A)-cos( ? -a-A)],等价于 cos( ? -A+a)=cos( ? -a+A),因为

0< ? -A+a, ? -a+A< ? . 所以只有 ? -A+a= ? -a+A,所以 a=A,得证。

2.余弦定理:a2=b2+c2-2bccosA ? 弦定理证明几个常用的结论。

cos A ?

b

2

?c

2

?a

2

,下面用余

2 bc

(1) 斯特瓦特定理: 在△ ABC 中, 是 BC 边上任意一点, D BD=p, DC=q,则 AD2=
b p ? c q
2 2

p ? q

? pq .

(1)

【证明】 因为 c2=AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos ? ADB , 所以 c2=AD2+p2-2AD·pcos ? ADB ① ②

.

同理 b2=AD2+q2-2AD·qcos ? ADC , 因为 ? ADB+ ? ADC= ? , 所以 cos ? ADB+cos ? ADC=0, 所以 q×①+p×②得

qc2+pb2=(p+q)AD2+pq(p+q),即 AD2=

b p ? c q
2 2

p ? q

? pq .

注:在(1)式中,若 p=q,则为中线长公式 AD

?

2b

2

? 2c 2

2

? a

2

.

(2)海伦公式:因为 S
2 2 2 2 ? (b ? c ? a ) ? 1 1? ? ? ? 2 2 4b c ? ? 16

? 2 ? ABC

?

1 4

b2c2sin2A= b2c2 (1-cos2A)=
4

1

1 4

b2c2

[(b+c) -a2][a2-(b-c) 2]=p(p-a)(p-b)(p-c).
2

这里 p

?

a ?b?c 2

.

所以 S△ ABC= 二、方法与例题

p ( p ? a )( p ? b )( p ? c ).

1.面积法。 例 1 (共线关系的张角公式)如图所示,从 O 点发出的三条射 线满足 ? POQ
? ? , ? QOR ? ?

,另外 OP,OQ,OR 的长分别为 u, w, v,

这里 α,β,α+β∈(0,
sin ? u ? sin ? v ?

?

),则 P,Q,R 的共线的充要条件是

sin( ? ? ? ) w

.

【证明】P,Q,R 共线 ?
1 2 1

S ΔPQR ? 0 ? S ? OPR ? S ? OPQ ? S ? ORQ

?

uv sin

(α+β)= uwsinα+ vwsinβ
2 2 ? sin ? u ? sin ? v

1

?

sin( ? ? ? ) w

,得证。

2.正弦定理的应用。 例
?

2

如 图 所 示 , △ ABC 内 有 一 点

P , 使 得

BPC- ? BAC= ? CPA- ? CBA= ? APB- ? ACB。 求证:AP·BC=BP·CA=CP·AB。 【证明】 过点 P 作 PD ? BC,PE ? AC,PF ? AB,垂足分别为

D,E,F,则 P,D,C,E;P,E,A,F;P,D,B,F 三组四点共 圆, 所以 ? EDF= ? PDE+ ? PDF= ? PCA+ ? PBA= ? BPC- ? BAC。 由题 设及 ? BPC+ ? CPA+ ? APB=3600 可得 ? BAC+ ? CBA+ ? ACB=1800。 所以 ? BPC- ? BAC= ? CPA- ? CBA= ? APB- ? ACB=600。 所以 ? EDF=600,同理 ? DEF=600,所以△ DEF 是正三角形。 所 以 DE=EF=DF , 由 正 弦 定 理 ,

CDsin ? ACB=APsin ? BAC=BPsin ? ABC,两边同时乘以△ ABC 的外 接圆直径 2R,得 CP·BA=AP·BC=BP·AC,得证: 例 3 如图所示,△ ABC 的各边分别与两圆⊙O1,⊙O2 相切,直 线 GF 与 DE 交于 P,求证:PA ? BC。 【证明】 延长 PA 交 GD 于 M,
O1 A AO
2

因为 O1G ? BC,O2D ? BC,所以只需证

GM MD

?

?

AF AE

.

由正弦定理

AP sin( ? ? ? 1)

?

AF sin ?

,

PA sin( ? ? ? 2 )

?

AE sin ?



所以

AE AF

?

sin ? 1 sin ? 2

?

sin ? sin ?

.

另一方面,

GM sin ?

?

PM

sin ? 1 sin ?

,

MD

?

PM sin ? 2



所以

GM MD

?

sin ? 2 sin ? 1

?

sin ? sin ?



所以

GM MD

?

AF AE

,所以 PA//O1G,

即 PA ? BC,得证。 3.一个常用的代换:在△ ABC 中,记点 A,B,C 到内切圆的 切线长分别为 x, y, z,则 a=y+z, b=z+x, c=x+y. 例 4 在△ ABC 中,求证:a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c) ≤3abc. 【证明】 令 a=y+z, b=z+x, c=x+y,则 abc=(x+y)(y+z)(z+x)

? 8

xy ?

yz ?

zx

=8xyz=(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)

=a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)-2abc. 所以 a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c) ≤3abc. 4.三角换元。 例 5 设 a, b, c∈R+,且 abc+a+c=b,试求 P 的最大值。
? a 2
2

?1

? b

2
2

?1

? c

3
2

?1

【解】 由题设 b

?

a ? c 1 ? ac

,令 a=tanα, c=tanγ, b=tanβ,
2

则 tanβ=tan(α+γ), P=2sinγsin(2α+γ)+3cos γ≤

2

10

1? ? ? 3 ? sin ? ? ? 3? 3 ?

?

10 3



当且仅当 α+β= ,sinγ= ,即 a=
2
3

?

1

2 2

,b ?

2,c ?

2 4

时,Pmax=

10 3

.

例 6 在△ ABC 中,若 a+b+c=1,求证: a2+b2+c2+4abc< 【证明】 设 a=sin2αcos2β, b=cos2αcos2β, c=sin2β, β? ? 0 , ?
?

1 2

.

? ?
? 2 ?

.

因为 a, b, c 为三边长,所以 c< , c>|a-b|,
2
? ? ? ? ? 0 , ? ,所以 4 ? ?

1

从而 ?

sin2β>|cos2α·cos2β|.

因为 1=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca), 所以 a2+b2+c2+4abc=1-2(ab+bc+ca-2abc). 又 ab+bc+ca-2abc=c(a+b)+ab(1-2c) =sin2βcos2β+sin2αcos2α·cos4β·cos2β = [1-cos22β+(1-cos22α)cos4βcos2β]
4 1

= + cos2β(cos4β-cos22αcos4β-cos2β)
4 4

1

1

> + cos2β(cos4β-sin4β-cos2β)= .
4 4 4

1

1

1

所以 a2+b2+c2+4abc< 三、基础训练题

1 2

.

1. ABC 中, AB 为最长边, sinAsinB= 在△ 边 且 的最大值为__________.

2? 4

3

, cosAcosB 则

2. ABC 中, AB=1, 在△ 若 BC=2, ? C 的取值范围是__________. 则 3.在△ ABC 中,a=4, b+c=5, tanC+tanB+ △ ABC 的面积为__________. 4 . 在 △ ABC 中 , 3sinA+4cosB=6, 3cosA+4sinB=1 , 则
?C

3 ?

3

tanCtanB,则

=__________. 5.在△ ABC 中, “a>b”是“sinA>sinB”的__________条件. 6.在△ ABC 中,sinA+cosA>0, tanA-sinA<0,则角 A 的取值范

围是__________. 7.在△ ABC 中,sinA= ,cosB=
5 3 5 13

,则 cosC=__________.
A 2 ? tan C 2 ? 1 3

8.在△ ABC 中, “三边 a, b, c 成等差数列”是“tan 的__________条件.



9. 在△ ABC 中, sinC=2cosAsinB, 若 则三角形形状是__________. 10.在△ ABC 中,tanA·tanB>1,则△ ABC 为__________角三 角形. 11.三角形有一个角是 600,夹这个角的两边之比是 8:5,内切 圆的面积是 12 ? ,求这个三角形的面积。 12.已知锐角△ ABC 的外心为 D,过 A,B,D 三点作圆,分别 与 AC, 相交于 M, 两点。 BC N 求证: MNC 的外接圆半径等于△ ABD △ 的外接圆半径。 13.已知△ ABC 中,sinC= 四、高考水平训练题 1.在△ ABC 中,若 tanA= , tanB= ,且最长边长为 1,则最短
2 3 1 1

sin A ? sin B cos A ? cos B

,试判断其形状。

边长为__________. 2.已知 n∈N+,则以 3,5,n 为三边长的钝角三角形有________ 个. 3 . 已 知 q∈R+, p+q=1 , 比 较 大 小 :

p,

psin2A+qsin2B__________pqsin2C. 4. 在△ ABC 中, sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC, 若 则△ ABC 为__________角三角形.

5.若 A 为△ ABC 的内角,比较大小: cot

A 8

? cot A

__________3.

6. 若△ ABC 满足 acosA=bcosB, 则△ ABC 的形状为__________. 7.满足 A=600,a= , b=4 的三角形有__________个.
? ? ? ?

6

8.设 ? 为三角形最小内角,且 acos2 +sin2 -cos2 -asin2 =a+1,
2 2 2 2

则 a 的取值范围是__________. 9. B, 是一段笔直公路上的三点, A, C 分别在塔 D 的西南方向, 正西方向,西偏北 300 方向,且 AB=BC=1km,求塔与公路 AC 段的 最近距离。 10.求方程 x 11.求证:
1 3

y ?1 ? y

x ? 1 ? xy

的实数解。

? sin 20

0

?

7 20

.

五、联赛一试水平训练题 1. ABC 中,2=ac, sinB+cosB 的取值范围是____________. 在△ b 则 2.在△ ABC 中,若 ____________. 3.对任意的△ ABC, T
? cot A 2 ? cot B 2 ? cot C 2 sin B sin C ? cos A ? 2 cos C cos A ? 2 cos B

,则△ ABC 的形状为

-(cotA+cotB+cotC),

则 T 的最大值为____________.

4.在△ ABC 中, sin

A 2

sin B sin C

的最大值为____________. ,

5.平面上有四个点 A,B,C,D,其中 A,B 为定点,|AB|=

3

C,D 为动点,且|AD|=|DC|=|BC|=1。记 S△ ABD=S,S△ BCD=T,则 S2+T2 的取值范围是____________. 6.在△ ABC 中,AC=BC, ? ACB
? OAB ? 10
0

? 80

0

,O 为△ ABC 的一点,

, ? ABO=300,则 ? ACO=____________.
?
A 2 B 2 C 2

7.在△ ABC 中,A≥B≥C≥ ,则乘积 cos
6

sin

cos

的最大值为

____________,最小值为__________. 8 . 在 △ ABC 中 , 若 c-a 等 于 AC 边 上 的 高 h , 则
C ? A A?C s in ? co s 2 2

=____________.

9.如图所示,M,N 分别是△ ABC 外接圆的弧 AB ,AC 中点, P 为 BC 上的动点,PM 交 AB 于 Q,PN 交 AC 于 R,△ ABC 的内心 为 I,求证:Q,I,R 三点共线。 10.如图所示,P,Q,R 分别是△ ABC 的边 BC,CA,AB 上一 点, AQ+AR=BR+BP=CQ+CP。 且 求证: AB+BC+CA≤2 PQ+QR+RP) ( 。 11.在△ ABC 外作三个等腰三角形△ BFC,△ ADC,△ AEB, 使 BF=FC,CD=DA,AE=EB, ? ADC=2 ? BAC, ? AEB=2 ? ABC,
?

BFC=2 ? ACB,并且 AF,BD,CE 交于一点,试判断△ ABC 的形

状。

六、联赛二试水平训练题 1.已知等腰△ ABC,AB=AC,一半圆以 BC 的中点为圆心,且 与两腰 AB 和 AC 分别相切于点 D 和 G,EF 与半圆相切,交 AB 于 点 E,交 AC 于点 F,过 E 作 AB 的垂线,过 F 作 AC 的垂线,两垂 线相交于 P,作 PQ ? BC,Q 为垂足。求证:PQ
? EF 2 sin ?

,此处 ? = ? B。

2.设四边形 ABCD 的对角线交于点 O,点 M 和 N 分别是 AD 和 BC 的中点,点 H1,H2(不重合)分别是△ AOB 与△ COD 的垂心, 求证:H1H2 ? MN。 3.已知△ ABC,其中 BC 上有一点 M,且△ ABM 与△ ACM 的 内切圆大小相等,求证: AM 别为△ ABC 对应三边之长。 4 . 已 知 凸 五 边 形 ABCDE , 其 中
? ?
? P(P ? a)

,此处 P

?

1 2

(a+b+c), a, b, c 分

ABC=

?

AED=900 ,

BAC= ? EAD,BD 与 CE 交于点 O,求证:AO ? BE。 5.已知等腰梯形 ABCD,G 是对角线 BD 与 AC 的交点,过点 G

? 作 EF 与上、 下底平行, E 和 F 分别在 AB 和 CD 上, 点 求证: AFB=900

的充要条件是 AD+BC=CD。 6 . AP , AQ , AR , AS 是 同 一 个 圆 中 的 四 条 弦 , 已 知
?

PAQ= ? QAR= ? RAS,求证:AR(AP+AR)=AQ(AQ+AS) 。

7.已知一凸四边形的边长依次为 a, b, c, d,外接圆半径为 R,如 果 a2+b2+c2+d2=8R2,试问对此四边形有何要求? 8.设四边形 ABCD 内接于圆,BA 和 CD 延长后交于点 R,AD 和 BC 延长后交于点 P,? A,? B,? C 指的都是△ ABC 的内角,求 证:若 AC 与 BD 交于点 Q,则
cos A AP ? cos C CR ? cos B BQ .

9.设 P 是△ ABC 内一点,点 P 至 BC,CA,AB 的垂线分别为 PD , PE , PF ( D , E , F 是 垂 足 ), 求 证 :

PA·PB·PC≥(PD+PE)·(PE+PF)·(PF+PD),并讨论等号成立之条件。


相关文章:
高中数学竞赛_解三角形【讲义】
高中数学竞赛_解三角形【讲义】_学科竞赛_高中教育_教育专区。高中数学竞赛讲义第七章 解三角形 一、基础知识 在本章中约定用 A,B,C 分别表示△ABC 的三个内...
高中数学竞赛_解三角形【讲义】
高中数学竞赛_解三角形【讲义】_学科竞赛_高中教育_教育专区。高中数学竞赛第七章 解三角形 一、基础知识 在本章中约定用 A , B , C 分别表示 △ ABC 的三...
高中数学竞赛标准讲义:第7章:解三角形
高中数学竞赛辅导讲义第七... 暂无评价 12页 免费 【讲义】河南省安阳市实验....2010 高中数学竞赛标准讲义:第七章:解三角形 高中数学竞赛标准讲义:第七章:一...
高中数学竞赛讲义(七)──解三角形
高中数学竞赛讲义(七) ──解三角形 一、基础知识 在本章中约定用 A,B,C 分别表示△ABC 的三个内角,a, b, c 分别表示它们所对的各 边长, 为半周长。 ...
高中数学竞赛_解三角形【讲义】
高中数学竞赛_解三角形【讲义】_学科竞赛_高中教育_教育专区。高中数学竞赛试卷第七章 解三角形 一、基础知识 在本章中约定用 A , B , C 分别表示 △ ABC ...
高中数学竞赛讲义_解三角形
高中数学竞赛讲义_解三角形_学科竞赛_高中教育_教育专区。高中数学竞赛习题解三角形 一、基础知识 在本章中约定用 A , B , C 分别表示 △ ABC 的三个内角,...
高中数学竞赛讲义_解三角形
高中数学竞赛讲义_解三角形_学科竞赛_高中教育_教育专区。高中奥数讲义解三角形 一、基础知识 在本章中约定用 A , B , C 分别表示 △ ABC 的三个内角, a,...
高中数学解三角形辅导讲义
高中数学解三角形辅导讲义_数学_高中教育_教育专区。中小学个性化教育专家 学科教师...在利用余弦定理解三角形时,也要注意判断有两解的情况 【课堂练习】 1、 △ ...
高中数学竞赛讲义-解三角形
高中数学竞赛讲义(七) ──解三角形 一、基础知识 在本章中约定用 A,B,C 分别表示△ABC 的三个内角,a, b, c 分别表示它们所对的各 边长, 为半周长。 ...
更多相关标签:
初中物理竞赛辅导讲义 | 高中物理竞赛辅导讲义 | 解三角形讲义 | 2015执业医师辅导讲义 | 线性代数辅导讲义 | 2016执业医师辅导讲义 | 执业医师辅导讲义 | 2014执业医师辅导讲义 |