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【全程复习方略】2014-2015学年高中数学(人教A版选修2-2)练习:1.7.1 定积分在几何中的应用 课时作业]


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课时提升作业(十二)
定积分在几何中的应用

一、选择题(每小题 3 分,共 12 分) 1.(2014·广州高二检测)用 S 表示图中阴影部分的面积,则 S 的值是( )

/>A. B. C. D.

f(x)dx f(x)dx f(x)dx+ f(x)dxf(x)dx f(x)dx

【解析】选 D.因为在区间[a,b]上 f(x)<0, 所以在区间[a,b]上对应图形的面积为所以阴影部分的面积为:S= f (x)dxf(x)dx, f(x)dx. )

2.由 y= ,x=1,x=2,y=0 所围成的平面图形的面积为( A.ln2 C.1+ln2 B.ln2-1 D.2ln2

【解析】 选 A.画出曲线 y= (x>0)及直线 x=1, x=2, y=0,则所求面积 S 为如图所示阴影部分面积. 所以 S= dx=lnx

=ln2-ln1=ln2. 3.已知 a=(sinx,cosx),b=(cosx,sinx),f(x)=a·b,则直线 x=0,x= ,y=0 以及曲线 y=f(x)围成平面图形的面积为( A. B. C. ) D.

【解题指南】求出函数解析式,确定积分区间,利用定积分的几何意义计算面 积. 【解析】选 C.由 a=(sinx,cosx),b=(cosx,sinx), 得 f(x)=a〃b=2sinxcosx=sin2x, 当 x∈ 当 x∈ 时,sin2x≥0; 时,sin2x<0.

由定积分的几何意义,直线 x=0,x= ,y=0 以及曲线 y=f(x)围成平面图形的面 积为 sin2xdx? 2 0

sin2xdx
3? 4 ? 2

=- cos2x| + cos2x| =1+ = .

【变式训练】已知 a=(cosx,sinx),b=(cosx,-sinx),f(x)=a·b,则直线 x=0, x= ,y=0 以及曲线 y=f(x)围成平面图形的面积为( A. B. C. D. )

【解析】选 C.由 a=(cosx,sinx), b=(cosx,-sinx), 得 f(x)=a〃b=cos2x-sin2x=cos2x, 当 x∈ 当 x∈ 时,cos2x≥0; 时,cos2x<0.

由定积分的几何意义,直线 x=0,x= ,y=0 以及曲线 y=f(x)围成平面图形的面 积为 cos2xdx?

cos2xdx
?

3 = sin2x| 04 - sin2x| ? 4

= - + =

.

4.(2014·大连高二检测)若两曲线 y=x2 与 y=cx3(c>0)围成图形的面积是 ,则 c 等于( A. 【解析】选 B.由 则 S= = (x2-cx3)dx = 〃 - 〃 = ,c= . ) B. C.1 得交点(0,0), , D.

【误区警示】解答此题时往往误认为积分上限是 1,积分区间错误的确定为[0, 1].确定积分区间必须通过解曲线交点确定. 二、填空题(每小题 4 分,共 8 分) 5.直线 x= ,x= ,y=0 及曲线 y=cosx 所围成图形的面积为________. 【解析】由题意画草图:

由图形知面积为 S= cosxdx=cosxdx

=-sinx =-(-1-1)=2. 答案:2 6.(2014·青岛高二检测)由曲线 y2=2x,y=x-4 所围图形的面积是________. 【解析】如图,为了确定图形的范围,

先求出这两条曲线交点的坐标, 解方程组 得交点坐标为(2,-2),(8,4). dy.

因此所求图形的面积 S= 取 F(y)= y2+4y- ,

则 F′(y)=y+4- , 从而 S=F(4)-F(-2)=18. 答案:18 【一题多解】联立方程组, 解得:(2,-2),(8,4), S=2 答案:18 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 7.(2013·沈阳高二检测)求曲线 y=x2 和直线 x=0,x=1,y=t2,t∈(0,1)所围成 的图形(如图阴影部分)的面积的最小值. dx+ ( -x+4)dx=18.

【解题指南】将阴影部分的面积表示为定积分,建立面积的目标函数求最小值. 【解析】由定积分与微积分基本定理,得 S=S1+S2 = = (t2-x2)dx+ + (x2-t2)dx

=t3- t3+ -t2- t3+t3 = t3-t2+ ,t∈(0,1), 所以 S′=4t2-2t,所以 t= 或 t=0(舍去).

当 t 变化时,S′,S 变化情况如下表: t S′ S ↘ 0 极小值 + ↗

所以当 t= 时,S 最小,且 Smin= . 【拓展延伸】复杂图形面积的两个求解策略 (1)由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形,在不同的区间内位于上方 和下方的函数有所变化,通过解方程组求出曲线的不同的交点坐标,可以将积 分区间进行细化分段,然后根据图象对各段分别求面积进而求和. (2)若积分变量选取 x 运算较为复杂, 可以选 y 为积分变量, 同时更改积分的上、 下限. 8.(2014·潍坊高二检测)如图,直线 y=kx 分抛物线 y=x-x2 与 x 轴所围图形为面 积相等的两部分,求 k 的值.

【解题指南】所围图形的面积可用定积分表示,从而确定出要求的参数. 【解析】抛物线 y=x-x2 与 x 轴两交点的横坐标 x1=0,x2=1,所以,抛物线与 x 轴所围图形的面积 S= (x-x2)dx= = - = .

由 所以 = =

可得抛物线 y=x-x2 与 y=kx 两交点的横坐标为 x′1=0,x′2=1-k, (x-x2-kx)dx = (1-k)3.

又 S= ,所以(1-k)3= . 于是 k=1=1.所以 k 的值为 1.

一、选择题(每小题 4 分,共 12 分) 1.由曲线 y=x2,y=x3 围成的封闭图形面积为( A. 【解析】选 A.由 所以 S= = = . 2.直线 x=-1,x=1,y=0 与偶函数 y=f(x)的图象围成平面图形的面积表示为 ① f(x)dx;② f(|x|)dx;③ ) C.2 D.3 |f(x)|dx;④ 2|f(x)|dx. (x2-x3)dx B. C. 得交点为(0,0),(1,1). ) D.

其中,正确表示的个数为( A.0 B.1

【解析】选 C.由于偶函数 y=f(x)的图象关于 y 轴对称,当 f(x)≥0 时,平面图 形的面积为 = f(x)dx

2f(x)dx;当 f(x)<0 时,平面图形的面积为 f(x)dx=2f(x)dx.故③④正确.

3.用 max{a,b}表示 a,b 两个数中的最大数,设 f(x)=max{x2,

}

,那

么由函数 y=f(x)的图象、x 轴、直线 x= 和直线 x=2 所围成的封闭图形的面积是 ( A. B. C. D. )

【解析】选 A.由题设知: f(x)= 所以 S= = = . 二、填空题(每小题 4 分,共 8 分) 4.(2014·北京高二检测)如图,已知点 A ,点 P(x0,y0)(x0>0)在曲线 y=x2 + x3 dx+ x2dx

上,若阴影部分面积与△OAP 面积相等,则 x0=________.

【解析】S 阴=

x2dx=

- 〓03=

,S△OAP= 〓 〓x0= x0,由题意知

= x0,

因为 x0>0,所以 x0= . 答案: 5.设曲线 y=2cos2x 与 x 轴、 y 轴、 直线 x= 围成的面积为 b, 若 g(x)=2lnx-2bx2-kx 在[1,+∞)上单调递减,则实数 k 的取值范围是________. 【解析】由题意 b= 2cos2xdx

=sin2x

=sin = ,

所以 g(x)=2lnx-x2-kx, 所以 g′(x)= -2x-k, 因为 g(x)=2lnx-2bx2-kx 在[1,+≦)上单调递减, 所以 g′(x)= -2x-k<0 在[1,+≦)上恒成立. 即 k> -2x 在[1,+≦)上恒成立. 因为 -2x 在[1,+≦)上递减, 所以 -2x≤0,所以 k>0. 由此知实数 k 的取值范围是(0,+≦). 答案:(0,+≦) 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 6.(2014·济宁高二检测)已知函数 f(x)=x3+ax2+bx(a,b∈R)的图象如图所示, 它与直线 y=0 在原点处相切,此切线与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面 积为 ,求 a 的值.

【解析】由图知方程 f(x)=0 有三个实根,其中有两个相等的实根 x1=x2=0,于是 b=0, 所以 f(x)=x2(x+a), 有 = [0-(x3+ax2)]dx

=所以 a=〒3.

= ,

又-a>0? a<0,得 a=-3. 7.如图,一桥拱的形状为抛物线,已知该抛物线形桥拱的高为常数 h,宽为常数 b.求抛物线桥拱的面积.

【解题指南】建立平面直角坐标系确定抛物线方程,求由曲线围成的平面图形 面积. 【解析】以抛物线的顶点为原点,如图建立平面直角坐标系.

设 抛 物 线 方 程 为 y=-ax2(a>0) , 将 抛 物 线 上 一 点 -h=-a ,

代入方程,则有

解得 a= ,所以抛物线方程为 y=- x2. 则有 S=2 =2(hx4h 3 b x )| 02 =2 2 3b

dx = bh.

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