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江苏省2011年高中数学联赛赛初赛题与答


2011 年全国高中数学联赛江苏赛区 初赛参考答案与评分细则
一、填空题(本题满分 70 分,每小题 7 分) 1.复数 (1+i)4+(1-i)4= 答案:-8. 解:(1+i)4+(1-i)4=(―4)+(—4)=―8. 2.已知直线 l:x-my+1=0 是圆 C:x2+y2-4x+4y-5=0 的一条对称轴,则实数 m= 3 答案:- . 2 3 解:即直线 l

过圆心(2,―2)?2+2m+1=0?m=― . 2 3.某班共有 30 名学生,若随机抽查两位学生的作业,则班长或团支书的作业被抽中的概率是 (结果用最简分数表示) . 19 答案: . 145
1 2 C1 19 2 C28+C2 解:(班长与团支书中抽中 1 人,或两人都抽中) = . 2 145 C30





1 4.已知 cos4?= ,则 sin4?+cos4?= 5 4 答案: . 5 1 2 解:sin22θ= (1―cos4θ)= ; 2 5



1 4 ∴ sin4θ+cos4θ=(sin2θ+cos2θ)2―2sin2θcos2θ=1― sin22θ= . 2 5 π 5.已知向量 a,b 满足|a|=|b|=2,<a,b>= ,则以向量 2a+b 与 3a-b 表示的有向线段为邻边的平 3 行四边形的面积为 答案:10 3. 解:(2a+b)?(3a-b)=6a2―b2+a? b=24―4+4cos =22; 3 |2a+b |2=4a2+4a? b+b2=16+8+4=28;|3a-b|2=9a2―6a? b+b2=36―12+4=28; ∴ |2a+b ||3a-b|=28;设 2a+b 与 3a-b 所成角为 θ, 11 于是,|2a+b ||3a-b |cosθ=22?cosθ= ?sinθ= 14 11 5 1-( )2= 3. 14 14 .

?

2011 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛答案第 1 页 共 5 页

S=|2a+b ||3a-b|sinθ=28×

5 3=10 3. 14

6.设数列{an}的前 n 项和为 Sn.若{Sn}是首项及公比都为 2 的等比数列,则数列{an3}的前 n 项和等 于 . 1 答案: (8n+48) 7
?2, ?8, 3 解:Sn=2n,an=? n n-1 n-1?an=? n-1; ?2 -2 =2 ?8
3 故,{ an }的前

8(8n 1-1) 1 n n 项和=8+ = (8 +48) (n≥2);而 n=1 时也满足上式. 7 8-1



7.设函数 f(x)=|x2-2|.若 f(a)= f(b),且 0<a<b,则 ab 的取值范围是 答案:(0,2).
?2-x2,(- 2≤x≤ 2) ? 解:f(x)=? 2 ,故 0<a< 2<b<2. ?x -2,(x<- 2或x> 2) ?



由 2―a2=b2―2?b2=4―a2?a2b2=a2(4―a2)≤4?ab≤2(等号当且仅当 a2=2,即 a= 2时成立). 故 ab∈(0,2). 8.设 f(m)为数列{an}中小于 m 的项的个数,其中 an=n2,n∈N*,则 f[ f(2011)]= 答案:6. 解:n2<2011?n≤44?f(2011)=44.n2<44?n≤6? f[ f(2011)]=6. 9.一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为 4 的正三棱柱的三条侧棱上,
A
4



则此直角三角形的斜边长是 答案:4 3.


C y A1 E B1
2 2 2

B x D

解:如图,设△ADE 为以 AE 为斜边的等腰直角三角形,BD=x,CE=y,有 4 +x =4 +(y―x) ,于是,y=2x. 4 +(2x) =2(4 +x )?2x =4 ,故,4 +(2x) =16+4x =48?AE=4 3.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

C1

10. 已知 m 是正整数, 且方程 2x-m 10-x-m+10=0 有整数解, 则 m 所有可能的值是 答案:3,14,30.



解:令 10-x=u,(x≤10),若 m 是正整数,x 是整数,则 u 也是非负整数.x=10―u2,原方程化为 20―2u2―mu―m+10=0?2u2+mu+m―30=0?m= 30―2u2 ,故 u≤3,取 u=0,1,2,3 代入得 u+1

m=30(u=0),14(u=1),3(u=3),(u=2 时 m 不是整数,舍去),对应的解 x=10,9,1. 二、解答题(本题满分 80 分,每小题 20 分) 11.已知圆 x2+y2=1 与抛物线 y=x2+h 有公共点,求实数 h 的取值范围. 解:因为圆 x2+y2=1 与抛物线 y=x2+h 有公共点,
?x2+y2=1, 所以方程组? 有解. 2 ?y=x +h

………………………………4 分

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所以方程 x4+(2h+1)x2+h2-1=0 有解. 即关于 t 的方程 t2+(2h+1)t+h2-1=0 有非负根. ……………………………8 分 当方程的两根异号或有零根时,h2-1≤0, 解得-1≤h≤1; ……………………………12 分

h2-1>0, 2h+1 当方程的两根同正时, - >0, 2 △=(2h+1)2-4(h2-1)≥0.

? ? ?

5 解得- ≤h<-1. 4

………………………………16 分

5 5 综上,- ≤h≤1,即实数 h 的取值范围为[- ,1]. …………………………20 分 4 4 12.设 f(x)=x2+bx+c (b、c∈R).若|x|≥2 时,f(x)≥0,且 f(x)在区间(2,3]上的最大值为 1,求 b2+ c2 的最大值和最小值. 解:由题,函数图象为开口向上的抛物线, 则 x∈(2,3]时,f(x)的最大值只能在区间的端点处取得, 所以 f(2)≤f(3)=1,即 b≥-5, 且 9+3b+c=1,所以 c=-3b-8. 由题设,当|x|≥2 时,f(x)≥0. ① 当 f(x)=0 有实根时,△=b2-4c≥0,实根在区间[-2,2]中, -2)≥0, ?ff((2) ≥0, 则? b ?-2≤2≤2, ………………………………4 分 ………………………………8 分

? ?4-2b+c≥0, 即?4+2b+c≥0, 用 c=-3b-8 代入得 ?-4≤b≤4, ?

?4-2b-3b-8≥0, ? ?4+2b-3b-8≥0, ? ?-4≤b≤4,

?b≤-5, 即? b≤-4, ?-4≤b≤4,
………………………………12 分

4

即 b=-4,此时 c=4,且△=b2-4c=0. ② 当 f(x)=0 无实根时,△=b2-4c<0.

因为 c=-3b-8,所以 b2+12b+32<0,即-8<b<-4. 综上,-5≤b≤-4. 于是 b2+c2= b2+(-3b-8)2 =10b2+48b+64 随 b 的增加而减少. 故[b2+c2]min=32, [b2+c2]max=74. 13.如图,P 是△ABC 内一点.
2011 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛答案第 3 页 共 5 页

………………………………16 分

………………………………20 分

1 (1)若 P 是△ABC 的内心,证明:∠BPC=90° + ∠BAC; 2 1 1 (2)若∠BPC=90° + ∠BAC,∠APC=90° + ∠ABC,证明:P 是△ABC 的内心. 2 2 A

P B 证明: (1)延长 AP,交 BC 于 D. 因为 P 是△ABC 的内心, 所以 AP 平分∠A,BP 平分∠B,CP 平分∠C. 由三角形外角性质,得 ∠BPC =∠BPD+∠DPC =∠PAB+∠PBA+∠PAC+∠PCA =∠PBA+∠PCA+∠BAC 1 1 = ∠B+ ∠C+∠BAC 2 2 1 =90° + ∠BAC. 2 B P C A C


………………………………8 分

1 (2)因为∠BPC=90° + ∠BAC 是定角,BC 是定线段, 2 1 所以点 P 在以 BC 为弦的圆上,其中∠BPC =90° + ∠BAC. …………12 分 2 1 同理,点 P 在以 AC 为弦的圆上,其中∠APC=90° + ∠ABC. 2 所以 P 是这两个圆的公共点. ………………………………16 分

由(1)可推知,△ABC 的内心也是这两个圆的公共点. 又 C 是此两圆的另一个公共点,但不在△ABC 内, 所以 P 是内心. ………………………………20 分

14. 已知?为实数, 且存在正整数 n0, 使得 n0+?为正有理数, 证明: 存在无穷多个正整数 n, 使得 n+? 为有理数. b b2 证明:设 n0+?= ,其中 a,b 为互素的正整数,则 n0+?= 2.………………5 分 a a 对任意正整数 m,令 n=a2m2+2bm+n0, 则 n+?= a2m2+2bm+n0+? = b2 a2m2+2bm+ 2 a
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b =am+ , a 所以 n+?为有理数. 由于 m 可取无穷多个正整数值,故 n 可取无穷多个正整数值,使 n+?为有理数.……20 分

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