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2016-2017年最新审定人教A版高中数学必修五:3.4《基本不等式(1)》ppt(优秀课件)


最新审定人教A版高中数学必修五优秀课件 第三章 3.4 a+b 基本不等式 ab≤ 2 第1课时 基本不等式 课前自主预习 下图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会的会标,会标是根据 中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去像一个风车, 代表中国人民的热情好客.那么你能在这个图中找出一些相等关系或不 等关系吗? 1.如果x+y=1,则2x2+y2

的最小值是________. 2.由不等式性质可知,对任意a,b∈R,(a-b)2________0,因此a2 +b2________2ab,当且仅当________时,取等号. [答案] 1. 2.≥ ≥ a=b 1.基本不等式 a+b 当 a>0, b>0 时, 2 ≥ ab, 这个不等式称为基本不等式, 也可以称为均值不等式. a+b 通常,我们把 2 叫做正数 a,b 的算术平均数, ab叫做 a+b 正数 a,b 的几何平均数,所以不等式 ab≤ 2 (a>0,b>0)可 以表述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 基本不等式的代数解释: ∵a+b-2 ab=( a)2+( b)2-2 ab=( a- b)2≥0, ∴a+b-2 ab≥0,即 a+b≥2 ab, a+b ∴ 2 ≥ ab. 基本不等式的数列解释: a+b 如果把 2 看作是正数 a,b 的等差中项, ab看作是正数 a,b 的等比中项,那么该定理可叙述为:两个正数的等差中项 不小于它们的等比中项. 基本不等式的几何解释: 如图,AB 是圆的直径,C 是 AB 上一 点,AC=a,BC=b,过点 C 作垂直于 AB 的弦 DE,连结 AD,BD.由射影定理或三角 形相似可得 CD= ab,由 CD 小于或等于 a+b a+b 圆的半径 2 ,可得不等式 ab ≤ 2 . 当 且仅当点 C 与圆心重合,即当 a=b 时,等号成立. 若 a>0,b>0,a+b=2,则下列不等式对一切满足条件的 a、b 恒成立的是________(写出所有正确命题的序号). ①ab≤1;② a+ b≤ 2;③a2+b2≥2. [答案] ①③ a+b 2 [解析] 对于①,ab≤( 2 ) =1,故①成立;对于②,( a + b)2=a+b+2 ab=2+2 ab>2,∴ a+ b> 2,故②不成 立;对于③,a2+b2=(a+b)2-2ab=4-2ab, 由①知,ab≤1,∴2ab≤2,∴-2ab≥-2,即 4-2ab≥2, 故③成立. 2.利用基本不等式求函数的最值 已知 x,y 都是正数, (1)如果 xy 是定值 P,那么当 x=y 时,x+y 有最小值 2 P; 1 2 (2)如果 x+y 是定值 S,那么当 x=y 时,xy 有最大值4S . 注意:利用基本不等式求函数最值时,必须满足三条: (1)一正,即 x,y 都是正数; (2)二定,即 xy(或 x+y)是定值; (3)三相等,x 与 y 必须能够相等.可理解为①当 a=b 时, 必取“=”号; ②当取到“=”号时, 必有 a=b.否则不能用基 本不等式求最值. 4 函数 f(x)=x+x 的值域是( A.[4,+∞) C.R [答案] D ) B.(4,+∞) D.(-∞,-4]∪[4,+∞) 4 x· x = 4 ;当 x<0 时, y≤ - [ 解析 ] 2 当 x>0 时, y≥2 4 ?-x?· =-4. ?-x? 课堂典例探究 一利用基本不等式比较实数大小 1 已知 m=

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