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全国高中数学联合竞赛


全国高中数学联合竞赛 9 月 17 日上午 8:30-10:30 一、选择题(本题满分 30 分,每小题 5 分) 本题共有 6 小题,每题均给出(A)(B)(C)(D)四个结论,其中有且只有一个是正确。请将正 、 、 、 确答案的代表字母填在题后的括号内。 每小题选对得 5 分; 不选、 错选或选出的代表字母超过一个 (不 论是否写在括号内) ,一律得 0 分。 1.已知正项非常值数列 {an } , {bn } 满足: an , bn , an?1 成等差数列, bn , an?1 , bn?1 成等比数列。令 cn ? bn ,则下列关于数列 {cn } 的说法正确的是 (A) {cn } 为等差数列 (C) {cn } 的每一项为奇数 (B) {cn } 为等比数列 (D) {cn } 的每一项为偶数 2 解:由题可知, 2bn ? an?1 ? an , an?1 ? bn bn?1 ,∴ an?1 ? bn bn?1 ∴ 2bn ? bn?1bn ? bn bn?1 ,即 2 bn ? bn?1 ? bn?1 ,∴ {cn } 为等差数列,故选 A 2 ? 0 ,则 cos B ? sin B 2.在△ ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 所对边的边长,若 cos A ? sin A ? a?b 的值是 c (A)1 (B) 2 (C) 3 (D)2 解:由 cos A ? sin A ? 2 ? ? 0 得, 2 sin( A ? ) ? cos B ? sin B 4 2 2 sin(B ? ) 4 ? ?0 即 sin( A ? ? 4 ) sin( B ? ? 4 ) ? 1 ,由正弦函数的有界性及 A, B 为三角形的内角可知, 4 4 a?b ? sin A ? sin B ? 2 ∴ c sin( A ? ? ) ? 1 且 sin( B ? ? ) ? 1 ,从而 A ? B ? ? 4 ,∴ C ? ? 2 3.函数 f ( x) ? 9 x ? 9 ? x ? 2(3 x ? 3? x ) 的最小值是 (A)1 x (B)2 ?x (C) ? 3 (D) ? 2 解: f ( x) ? 9 ? 9 令t ? 3 ? 3 x ?x ? 2(3x ? 3? x ) ? (3x ? 3? x ) 2 ? 2(3x ? 3? x ) ? 2 ? 2 ,则 y ? t 2 ? 2t ? 2 ? (t ? 1) 2 ? 3 ,最小值为 ? 2 ,故选 D 4.双曲线 x2 y2 ? ? 1 的左焦点为 F1 ,顶点为 A1 , A2 , P 是该双曲线右支上任意一点,则分别以线 a2 b2 段 PF , A1 A2 为直径的两圆一定 1 (A)相交 (B)内切 (C)外切 (D)相离 C O 解: 设双曲线的另一个焦点为 F2 , 线段 PF 的中点为 C , 在△ F1 F2 P 中, 为 PF 的中点, 为 F1 F2 1 1 的中点,从而 OC ? 1 1 | PF2 |? (| PF1 | ? | A1 A2 |) ,从而以线段 PF1 , A1 A2 为直径的两圆一定内切。 2 2 2 5.设 A ? {1,2,?,10} ,若“方程 x ? bx ? c ? 0 满足 b, c ? A ,且方程至少有一根 a ? A ” ,就称该 方程为“漂亮方程” 。则“漂亮方程”的个数为 (A)8 (B)10 (C)12 (D)1

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