当前位置:首页 >> 数学 >>

函数的单调性的题型分类及解析


函数的单调性
知识点
1、增函数定义、减函数的定义: (1)设函数 y ? f ( x) 的定义域为 A,区间 M ? A,如果取区间 M 中的任意两个值 x1 , x 2 , 当改变量 ?x ? x2 ? x1 ? 0 时, 都有 ?y ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 , 那么就称函数 y ? f ( x) 在区 间 M 上是增函数,如图

(1)当改变量 ?x ? x2 ? x1 ? 0 时,都有 ?y ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 , 那么就称 函 数 y ? f ( x) 在区间 M 上是减函数,如图(2)

注意:单调性定义中的 x1、x2 有什么特征:函数单调性定义中的 x1,x2 有三个特征,一是任意 性,二是有大小,三是同属于一个单调区间. 1、 根据函数的单调性的定义思考:由 f(x)是增(减)函数且 f(x1)<f(x2)能否推出 x1<x2(x1>x2) 2、我们来比较一下增函数与减函数定义中 ?x, ?y 的符号规律,你有什么发现没有? 3、如果将增函数中的“当 ?x ? x2 ? x1 ? 0 时,都有 ?y ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 ”改为当

?x ? x2 ? x1 ? 0 时,都有 ?y ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 结论是否一样呢?
4、定义的另一种表示方法 如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量 x1,x2,若

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0即 x1 ? x 2

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ?y ?y ? 0即 ? 0 ,则函数 y=f(x)是增函数,若 ? 0 ,则函数 y=f(x)为减 x1 ? x 2 ?x ?x
函数。 判断题:

①已知 f ( x ) ?

1 因为 f (?1) ? f (2) ,所以函数 f ( x ) 是增函数. x

②若函数 f ( x ) 满足 f (2) ? f (3) 则函数 f ( x ) 在区间 ? 2,3? 上为增函数.

③若函数 f ( x ) 在区间 (1, 2] 和 (2,3) 上均为增函数,则函数 f ( x ) 在区间 (1,3) 上为增 函数. ④ 因 为 函 数 f ( x) ?

1 1 在 区 间 ? ??, 0), (0, ?? 上 ) 都 是 减 函 数 , 所 以 f ( x) ? 在 x x

(??,0) ? (0, ??) 上是减函数.
通过判断题,强调几点: ①单调性是对定义域内某个区间而言的,离开了定义域和相应区间就谈不上单调性. ②对于某个具体函数的单调区间,可以是整个定义域(如一次函数),可以是定义域内 某个区间(如二次函数),也可以根本不单调(如常函数). ③单调性是对定义域的某个区间上的整体性质,不能用特殊值说明问题。 ④ 函数在定义域内的两个区间 A,B 上都是增(或减)函数,一般不能认为函数在 A ? B 上是增(或减)函数. (2)单调区间 如果函数 y=f(x)在某个区间上是增函数或减函数,那么就说函数 y=f(x)在这一区 间具有(严格的)单调性,这一区间叫做 y=f(x)的单调区间. 函数单调性的性质: (1)增函数:如果对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 , 当 时,都有 ,

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ?0 x1 ? x 2
,当

(2)减函数:如果对于属于定义域 I 内某个区间的任意两个自变量的值 时, 都有



f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ?0 x1 ? x 2

(3) 函数的单调性还有以下性质. 1.函数 y=-f(x)与函数 y=f(x)的单调性相反.

1 2.当 f(x)恒为正或恒为负时,函数 y= f ( x ) 与 y=f(x)的单调性相反.
3.在公共区间内,增函数+增函数=增函数,增函数-减函数=增函数等. 4 .如果 k>0 函数 k f ? x ? 与函数 f ? x ? 具有相同的单调性。 如果 k<0 函数 k f ? x ? 与函数 f ? x ? 具有相反的单调性。 5..若 f ? x ? ? 0,则函数

1 与 f ? x ? 具有相反的单调性,. f ? x?

6. 若 f ? x ? >O,函数 f ? x ? 与函数 f ? x ? 具有相同的单调性。 若 f ? x ? <0,函数 f ? x ? 与函数 f ? x ? 具有相同的单调性 7。.函数 f ? x ? 在 R 上具有单调性,则 f ?? x ? 在 R 上具有相反的单调性。 复合函数的单调性。 如果函数 u ? g ?x ? x ? A u ? B y ? f ?u ?

?C ? B?

y ? D ,则 y ? f ?g ?x ??

称为 x 的复合函数。 解决复合函数的问题,关键是弄清复合的过程,即中间变量 u 的定义域与值域的作用。 复合函数的单调性的判断:同增异减。 函数 内层函数 u ? g ? x ? 外层函数 y ? f ?u ? 复合函数 增 增 增 单调状况 增 减 减 减 增 减 减 减 增

y? f ? ? g ? x ?? ?

函数的单调性题型分类讲解
题型一:.单调性讨论 1.讨论函数 y=(k-2)x+3(a≠0)在区间 R 内的单调性. ax 2.讨论函数 f(x)= (a≠0)在区间(-1,1)内的单调性. 1? x2 a( x1 ? x2 )(1 ? x1 x2 ) ax1 ax2 解:设-1<x1<x2<1,则 f(x1)-f(x2)= = 2 2 2 (1 ? x12 )(1 ? x2 ) 1 ? x1 1 ? x 2 ∵x1,x2∈(-1,1),且 x1<x2,∴x1-x2<0,1+x1x2>0,(1-x21)(1-x22)>0 于是,当 a>0 时,f(x1)<f(x2);当 a<0 时,f(x1)>f(x2). 故当 a>0 时,函数在(-1,1)上是增函数;当 a<0 时,函数在(-1,1)上为减 函数. 题型二:单调性判断与证明
1.下列函数中,在区间(0,1)上为增函数的是 A.y=|x2-1| B. y ?

2 x

C.y=2x2-x+1

D.y=|x|+1

题型三:求函数的单调区间及该区间上的单调性
1.求下列函数的增区间与减区间 (1)y=|x2+2x-3|

y?

x 2 ? 2x 1 ? x ?1

y ? ? x 2 ? 2x ? 3

2.判断函数 f(x)=-x3+1 在(-∞,0)上是增函数还是减函数,并证明你的结论;如果 x∈(0, +∞),函数 f(x)是增函数还是减函数?

题型四:.已知简单函数的单调性求与其相关函数的单调性

b 若函数 y=ax,y=- x 在(0,+∞)上都是减函数,则函数 y=ax2+bx 在(0,+∞)上是
________(填单调性). 设 y=f(x)的单增区间是(2,6),求函数 y=f(2-x)的单调区间.

解:令t ( x) ? 2 ? x, 则由已知得 f (t )在t ? 6)上是增函数, (2, 6) 而t ( x) ? 2 ? x ? (2, ?fx(? 0) ? 2 ? x)4 的单减区间是(- 4, 0) (- , 又t ( x) ? 2 ? x在x ? (?4,0)上 是单减的, 由复合函数单调性可知, f (2 ? x) ? f [t ( x)]在x ? 0) (-4, 上是单调递减的。

解:令 t(x)=2-x,则由已知得,f(t)在区间是(2,6),

设函数 y=f(x)是定义在(-1,1)上的增函数,则函数 y=f(x2-1)的单调递减区间是 ______________ 已知函数 f(x)=8+2x-x2,如果 g(x)=f( 2-x2 ),那么函数 g(x) A.在区间(-1,0)上是减函数 B.在区间(0,1)上是减函数 C.在区间(-2,0)上是增函数 D.在区间(0,2)上是增函数 设 y ? f ? x ? 是 R 上的减函数,则 y ? f ( )

? x ? 3 ? 的单调递减区间为

.

题型五:已知函数的单调性,求参数的取值范围。

已知函数 f(x)=x2+2(a-1)x+2 在区间(-∞,4]上是减函数,则实数 a 的取值范 围是 .
已知函数 y=-x2+2x+1 在区间[-3,a]上是增函数,则 a 的取值范围是______________ 函数 f(x) = ax2+4(a+1)x-3 在[2,+∞]上递减,则 a 的取值范围是__ .

函数 f ( x) ?

ax ? 1 在区间(-2,+∞)上是增函数,那么 a 的取值范围是( ) x?2 1 1 A. 0 ? a ? B. a ? C.a<-1 或 a>1 2 2

D.a>-2

ax+1 a(x+2)+1-2a 1-2a 解:f(x)= = = +a. x+2 x+2 x+2 任取 x1,x2∈(-2,+∞),且 x1<x2,则 f(x1)-f(x2)= 1-2a 1-2a (1-2a)(x2-x1) - = . x1+2 x2+2 (x1+2)(x2+2)

ax+1 ∵函数 f(x)= 在区间(-2,+∞)上为增函数,∴f(x1)-f(x2)<0. x+2 1 1 ? ∵x2-x1>0,x1+2>0,x2+2>0,∴1-2a<0,a> . 即实数 a 的取值范围是? ?2,+∞?. 2 题型六:函数单调性的应用 11. 已知 f(x)在区间(-∞, +∞)上是增函数, a、 b∈R 且 a+b≤0, 则下列不等式中正确的是 ( A.f(a)+f(b)≤-f(a)+f(b)] B.f(a)+f(b)≤f(-a)+f(-b) C.f(a)+f(b)≥-f(a)+f(b)] D.f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b) 12.定义在 R 上的函数 y=f(x)在(-∞,2)上是增函数,且 y=f(x+2)图象的对称轴是 x=0,则 ( A.f(-1)<f(3) B.f (0)>f(3) C.f (-1)=f (-3) D.f(2)<f(3)





已知函数 f(x)在区间[a,b]上单调,且 f(a)f(b)<0,则方程 f(x)=0 在区间[a,b]内( A.至少有一实根 B.至多有一实根 C.没有实根 D.必有唯一的实根



题型七:已知函数的单调性,解含函数符号的不等式。 7.已知函数 f(x)是 R 上的增函数,A(0,-1)、B(3,1)是其图象上的两点,那么不等式 |f(x+1)|<1 的解集的补集是 ( ) A.(-1,2) B.(1,4) C.(-∞,-1)∪[4,+∞) D.(-∞,-1)∪[2,+∞)

已知:f(x)是定义在[-1,1]上的增函数,且 f(x-1)<f(x2-1)求 x 的取值范围.
2 ? ?x +4x,x≥0, ? 已知函数 f(x)= 若 f(2-a2)>f(a),则实数 a 的取值范围是( 2 ?4x-x ,x<0. ?

)

A.(-∞,-1)∪(2,+∞) B.(-1,2) C.(-2,1)

D.(-∞,-2)∪(1,+∞)

2 2 ? ?x +4x=(x+2) -4,x≥0, 解析:f(x)=? 由 f(x)的图象可知 f(x)在(-∞,+∞)上是单调 2 2 ?4x-x =-(x-2) +4,x<0, ?

递增函数,由 f(2-a2)>f(a)得 2-a2>a,即 a2+a-2<0,解得-2<a<1.故选 C. 8.已知 f(x)在其定义域 R+上为增函数,f(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y),解不等式 f(x)+f(x-2) ≤3

解: ? f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) ? f (4) ? f (2) ? f (2) ? 2 ? f (8) ? f (4) ? f (2) ? 3

? f ( x)为R +上的增函数 ? x?0 ? ?? x ? 2 ? 0 ?x 2 ? 2x ? 8 ?

又f ( x) ? f ( x ? 2) ? f ( x 2 ? 2x) 由题意有 f ( x 2 ? 2x) ? f (8)

解得x ? ?2, 4?

题型八:已知函数的单调性求最值 已知 x∈[0,1],则函数 y ? 2x ? 2 ? 1 ? x 函数 y=x-2 1 ? x +2 的值域为__

的最大值为_______最小值为_________

___.

题型九:综合题型 已知定义在区间(0,+∞)上的函数 f(x)满足 f( (1)求 f(1) (2)判断 f(x (3)若 f(3)=-1,解不等式 f(|x|)<-2. (1)f(1) = f(1/1) = f(1) - f(1) = 0。 (2)当 0 < x < y 时,y/x > 1,所以 f(y) - f(x) = f(y/x) < 0 。故 f 单调减。 (3)f(3) = -1,f(3) = f(9/3) = f(9) - f(3),f(9) = -2 而 f(|x|)<-2 = f(9),且 f 单调减,所 以| x | > 9 x>9 或 x<-9
x1 ) =f(x1)-f(x2),且当 x>1 时,f(x)<0. x2

.函数 f(x)对任意的 a、b∈R,都有 f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当 x>0 时,f(x)>1. (1)求证:f(x)是 R 2 (2)若 f(4)=5,解不等式 f(3m -m-2)<3.

(1)设 x1,x2∈R,且 x1<x2, 则 x2-x1>0,∴f(x2-x1)>1. f(x2)-f(x1)=f((x2-x1)+x1)-f(x1) =f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1) =f(x2-x1)-1>0. ∴f(x2)>f(x1). f(x)是 R 上的增函数. (2)∵f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)-1=5,∴f(2)=3,∴原不等式可化为 f(3m2-m-2)<f(2),

∵f(x)是 R 上的增函数,∴3m2-m-2<2, 解得-1<m<

4 3

,故解集为 ?

4? ? ? ? 1, ? 3?.
x y

设 f(x)的定义域为(0,+∞),且在(0,+∞)是递增的, f ( ) ? f ( x) ? f ( y ) (1)求证:f(1)=0,f(xy)=f(x)+f(y); (2)设 f(2)=1,解不等式 f ( x) ? f (

1 ) ? 2。 x?3

(1)证明: f ( ) ? f ( x) ? f ( y ) ,令 x=y=1,则有:f(1)=f(1)-f(1)=0,

x y

x 1 f ( xy) ? f ( ) ? f ( x) ? f ( ) ? f ( x) ? [ f (1) ? f ( y )] ? f ( x) ? f ( y ) 。 1 y y
(2) 解: ∵ f ( x) ? f (

1 ) ? f ( x) ? [ f (1) ? f ( x ? 3)] ? f ( x) ? f ( x ? 3) ? f ( x 2 ? 3x) , x?3

∵2=2×1=2f(2)=f(2)+f(2)=f(4), ∴ f ( x) ? f (

1 ) ? 2 等价于: f ( x 2 ? 3x) ? f (4) ①, x?3

且 x>0,x-3>0[由 f(x)定义域为(0,+∞)可得 ∵ x( x ? 3) ? x 2 ? 3x ? 0 ,4>0,又 f(x)在(0,+∞)上为增函数, ∴① ? x ? 3x ? 4 ? ?1 ? x ? 4 。又 x>3,∴原不等式解集为:{x|3<x≤4}。
2

3-ax (a≠1). a-1 (1)若 a>0,则 f(x)的定义域是________; (2)若 f(x)在区间(0,1]上是减函数,则实数 a 的取值范围是________. 12.已知函数 f(x)= 解析: 3? 3 (1)当 a>0 且 a≠1 时,由 3-ax≥0 得 x≤ ,即此时函数 f(x)的定义域是? ?-∞,a?; a (2)当 a-1>0,即 a>1 时,要使 f(x)在(0,1]上是减函数,则需 3-a×1≥0,此时 1<a≤3. 当 a-1<0,即 a<1 时,要使 f(x)在(0,1]上是减函数,则需-a>0,此时 a<0. 综上所述,所求实数 a 的取值范围是(-∞,0)∪(1,3].

b?R , 13. 定义在 R 上的函数 y ? f ( x) , f (0) ? 0 , 当 x ? 0 时, f ( x) ? 1 , 且对任意的 a、
有 f (a ? b) ? f (a) ? f (b) . (1)求 f (0) 的值;(2)求证:对任意的 x ? R ,恒有 f ( x) ? 0 ;(3) 若 f ( x) ? f (2 x ? x ) ? 1 ,求 x 的取值范围.
2

解:(1)解:令 a ? b ? 0 ,则 f (0) ? f (0).
2

又 f (0) ? 0 , f (0) ? 1 .

( 2 ) 证 明 : 当 x ? 0 时 , ? x ? 0 , ∴ f (? x ) ? 1

∵ f (0) ? f ( x) ? f (? x) ? 1 , ∴

f ( x )?

1 ? 0 又 x ? 0 时, f (? x)

f ( x) ? 1 ? 0

∴对任意的 x ? R ,恒有 f ( x) ? 0 .

(3)解:设 x1 ? x2 ,则 x2 ? x1 ? 0 . ∴ f ( x2 ? x1 ) ? 1 . 又 f ( x1 ) ? 0 ∴

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f [( x2 ? x1 ) ? x1 ] ? f ( x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) ? f ( x1 )
= f ( x1 )[1 ? f ( x2 ? x1 )] ? 0

∴ 得

f ( x1 ) ? f ( x2 ) .∴

f ( x) 是 R 上的增函数.

由 f ( x) ? f (2 x ? x2 ) ? 1 , f (0) ? 1

f (3x ? x2 ) ? f (0) .∴ 3x ? x 2 ? 0 ,∴ 0 ? x ? 3 ∴所求的 x 的取值范围为 (0, 3)

2 14.已知函数 f(x)对于任意 x,y∈R,总有 f(x)+f(y)=f(x+y),且当 x>0 时,f(x)<0,f(1)=- . 3 (1)求证:f(x)在 R 上是减函数; (2)求 f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值. (1)解法一:∵函数 f(x)对于任意 x,y∈R 总有 f(x)+f(y)=f(x+y), ∴令 x=y=0,得 f(0)=0.再令 y=-x,得 f(-x)=-f(x). 在 R 上任取 x1>x2,则 x1-x2>0,f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2). 又∵x>0 时,f(x)<0,而 x1-x2>0,∴f(x1-x2)<0,即 f(x1)<f(x2).因此 f(x)在 R 上是减函数. 解法二:设 x1>x2,则 f(x1)-f(x2)=f(x1-x2+x2)-f(x2)=f(x1-x2)+f(x2)-f(x2)=f(x1-x2). 又∵x>0 时,f(x)<0,而 x1-x2>0,∴f(x1-x2)<0,即 f(x1)<f(x2),∴f(x)在 R 上为减函数. (2)∵f(x)在 R 上是减函数,∴f(x)在[-3,3]上也是减函数,∴f(x)在[-3,3]上的最大值和 最小值分别为 f(-3)与 f(3).而 f(3)=3f(1)=-2,f(-3)=-f(3)=2.∴f(x)在[-3,3]上的最大 值为 2,最小值为-2.

17.F(x)是定义在( 0,+∞)上的增函数,且 f( (1)求 f(1)的值. (2)若 f(6)= 1,解不等式 f( x+3 )-f(

x ) = f(x)-f(y) y
1 ) <2 . x

解析:①在等式中 令x ? y ? 0 ,则 f(1)=0. ②在等式中令 x=36,y=6 则 f (

36 ) ? f (36) ? f (6), ? f (36) ? 2 f (6) ? 2. 6

故原不等式为: f ( x ? 3) ? f ( ) ? f (36), 即 f[x(x+3)]<f(36), 又 f(x)在(0,+∞)上为增函数,

1 x

?x ? 3 ? 0 ?1 153 ? 3 ? 故不等式等价于: ? ? 0 ?0? x? . 2 ?x ? ?0 ? x( x ? 3) ? 36

22.已知函数 f(x)= (1)当 a=

x2 ? 2x ? a ,x∈[1,+∞] x

1 时,求函数 f(x)的最小值; 2

(2)若对任意 x∈[1,+∞ ) ,f(x)>0 恒成立,试求实数 a 的取值范围. 解析: (1)当 a=

1 1 时,f(x)=x+ +2,x∈1,+∞) 2 2x
x ? x2 1 1 1 ? x1 ? =(x2-x1)+ 1 =(x2-x1)(1- ) 2 x2 2 x1 2 x1 x 2 2 x1 x 2 1 >0,则 f(x2)>f(x1) 2 x1 x 2

设 x2>x1≥1, 则 f(x2)-f(x1)=x2+

∵x2>x1≥1,

x2-x1>0,1-

可知 f(x)在[1,+∞)上是增函数.∴f(x)在区间[1,+∞ ) 上的最小值为 f(1)= (2)在区间[1,+∞ ) 上,f(x)=

7 . 2

x2 ? 2x ? a >0 恒成立 ? x2+2x+a>0 恒成立 x 设 y=x2+2x+a,x∈1,+∞),由 y=(x+1)2+a-1 可知其在[1,+∞)上是增函数, 当 x=1 时,ymin=3+a,于是当且仅当 ymin=3+a>0 时函数 f(x)>0 恒成立.故 a>-3.


相关文章:
函数单调性分类讨论基础题
函数单调性分类讨论基础题 1.求函数 f ( x) ? x3 ? 3ax ? b (a ? 0) 的单调区间。 2.求函数 f ( x) ? 2a ln x ? ax ? 3(a ? 0) 的...
函数的单调性题型归纳
用定义; (2)用已知函数的单调性; (3)利用函数的导数. 3.注意函数的单调性的应用;4.注意分类讨论与数形结合的应用. (三)例题分析: 例 1. (1)求函数 y...
函数单调性讲解及常见类型(整理)
函数单调性讲解及常见类型(整理)_数学_高中教育_教育专区。高中总结 函数的单调性题型一 判断、讨论、证明函数的单调性 1 判断函数 y=x- 1 在其定义域上的...
单调性-题型归类
总结:例 2、例 3 为抽象函数,在判断或证明此类函数的单调性时,我们应当去将一个变量利用抽象函数 表达式配凑成可以确定符号的几个解析式的做运算的形式。 题型...
高考总复习函数的单调性与最值习题及详解
高中数学高考总复习函数的单调性与最值一、选择题 1.已知 f(x)=-x-x3,x...( -1,+∞)上单调递 2 a a 减. 注:分类讨论时要做到不重不漏,层次清楚...
高中数学高考总复习函数的单调性与最值习题及详解
高中数学高考总复习函数的单调性与最值习题及详解 一、选择题 1.已知 f(x)=...(1, -1)上单调递增,在( -1,+∞)上单调递减. 2 a a 注:分类讨论时要...
函数题型分类
题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型,换元 法是数学方法中几种 ...3、单调性 (1)判断函数的奇偶性与单调性若为具体函数,严格按照定义判断,注意...
高一数学函数的单调性试卷(有详细答案)
函数的单调性及单调区间。 专题: 计算题。 分析: 要求函数 菁优网版权 所有 ...分析: 先分类讨论去掉绝对值,再结合二次函数的图象求出函数 y=x|x﹣2|的...
利用导数研究函数单调性的几种题型
的单调性问题要分类讨论,通过确定导数的符号,判断函数的单调性; 3.已知函数单调...题型一:不含参数的函数的单调性 例 1:求函数f x = 的单调区间. 解析:函数...
必修一函数剖析大全与题型分类
一次函数解析式常见题型... 暂无评价 1页 ¥0.50 抽象函数题型分类剖析 暂无...四、反函数:主要考求反函数,或利用原反函数定义域值域、单调性、奇偶性、对称...
更多相关标签:
函数单调性例题及解析 | 二次函数题型分类总结 | 三角函数题型分类总结 | 一次函数题型分类 | 二次函数题型分类 | 三角函数题型分类 | 函数的单调性 | 函数单调性 |