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湖南师大附中2014届高三第三次月考试题数学试卷(理) (含详解)


湖南师大附中 2014 届高三第三次月考试题
数学试卷(理)
本试卷满分 150 分 第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.若集合 M ? {x | x ? 2 ? 0}, N ? {x | log 2 ( x ? 1) ? 1}, 则M ? N =( A. {x | 2 ? x ? 3} B. {x | x ? 1}

C. {x | x ? 3} ) ) D. {x |1 ? x ? 2}

2.命题: “若 x 2 ? 1 ,则 ? 1 ? x ? 1 ”的逆否命题是( A.若 x 2 ? 1 ,则 x ? 1,或x ? ?1 C.若 x ? 1,或x ? ?1 ,则 x 2 ? 1

B.若 ? 1 ? x ? 1 ,则 x 2 ? 1 D.若 x ? 1,或x ? ?1 ,则 x 2 ? 1 )

3.已知弧度数为 2 的圆心角所对的弦长也是 2,则这个圆心角所对的弧长是( A.2 B.

2 sin 1
2

C. 2 sin 1 )

D. sin 2

4.直线 y=2x 与抛物线 y=3-x 所围成的阴影部分的面积(

35 3 3 1 5. = ? ? cos10 sin170?
A. A.4

B. 2 2 ( ) B.2

C. 2 ? 3

D.

32 3

C. ?2

D. ?4

6. 函数 y=f(x)在区间(-2,2)上的图象是连续的,且方程 f(x)=0 在(-2,2)上仅有一个实根 0, 则 f(-1)·f(1)的值( A.大于 0 C.等于 0 7.已知 sin α cos α = ) B.小于 0 D.无法确定

1 ? ,且α ∈ (0, ) ,则 sin α -cos α 等于( 4 4
B. ?



A.

1 2

1 2

C.

2 2

D. ?

2 2

8.同时具有性质“ (1)最小正周期是 ? ; (2)图像关于直线 x ?
·1 ·

?
3

对称; (3)在 [ ?

? ?

, ] 上是增函 6 3

数”的一个函数是( A C

) B D

x ? y ? sin( ? ) 2 6 y ? sin( 2 x ?

y ? cos(2 x ? y ? cos(2 x ?


? ?
3

) )

?

6

)

6

9.函数 y ?

cos 6 x 的图像大致为( 2 x ? 2? x

10.对于函数 f ( x) ?

1 1 (sin x ? cos x) ? | cos x ? sin x | ,下列说法正确的是( 2 2



A.该函数的值域是 ? ?1,1? B.当且仅当 2k? ? x ? 2k? ? C.当且仅当 x ? 2k? ?

?
2

(k ? Z ) 时, f ( x) ? 0

?
2

(k ? Z ) 时,该函数取最大值 1

D.该函数是以π 为最小正周期的周期函数 11.已知函数 y ? tan ?x在(? A.0< ? ≤1

? ?

B.-1≤ ? <0

, ) 内是减函数,则 ? ( 2 2
C.



? ≥1

D. ? ≤-1

12 . 已 知 函 数 f ( x) 是 定 义 在 实 数 集 R 上 的 不 恒 为 零 的 偶 函 数 , 且 对 任 意 实 数 x 都 有

5 ) xf ( x ? 1) ? (1 ? x ) f ( x ) ,则 f ( f ( )) 的值是( 2 1 5 A.0 B. C.1 D. sj.fjjy.org 第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 2 2
二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.函数 y=f(x)的图像在点 M (1, f (1) )处的切线方程为 y ?

1 x ? 2 ,则 f (1) ? f ?(1) =______ 2

14.若函数 y ? (log 1 a ) x 在 R 上是减函数,则实数 a 取值集合是
2

15. 若函数 f ? x ? ? x 2 ?

1 则实数 k ln x ? 1 在其定义域内的一个子区间 ?k ? 1, k ? 1? 内不是单调函数, 2

的取值范围_______________ 16.某学生对函数 f(x)=2x·cosx 的性质进行研究,得出如下的结论:
·2 ·

①函数 f(x)在[-π ,0]上单调递增,在[0,π ]上单调递减; π ②点( ,0)是函数 2

y=f(x)图象的一个对称中心;

③函数 y=f(x)图象关于直线 x=π 对称; ④存在常数 M >0,使|f(x)|≤M|x|对一切实数 x 均成立. 其中正确的结论是__________ .(填写所有你认为正确结论的序号) 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分)已知命题 p: ? x∈[1,2],x2-a≥0;命题 q: ? x0∈R,使得 x2 0+(a-1)x0 +1<0.若“p 或 q”为真,“p 且 q”为假,求实数 a 的取值范围。

18. (本小题满分 12 分) 在△ABC 中, 内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c.已知 (I) (II)

cos A-2 cos C 2c-a . = cos B b

sin C 的值; sin A 1 若 cosB= , b ? 2 ,求 ?ABC 的面积. 4


19. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? sin 2 x ? 3 sin x cos x ? 1 (1)求函数的最小正周期; (2)当 x ? ??

? ? ?? ' ? 时,求函数 f ( x) 的值域; ? 12 2 ?

(3)先将函数 y ? f ( x) 的图象向左平移

?
12

个单位得到函数 y ? F ( x) 的图象,再将 y ? F ( x) 的图

象横坐标扩大到原来的 2 倍纵坐标不变,得到函数 y ? g ( x ) 的图象,求证:直线 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 与

1 y ? g ( x) 的图象相切于 (0,? ) 2
20. (本小题满分 10 分) 某厂生产产品 x 件的总成本 c( x) ? 1200 ? 足: P 2 ?

2 3 x (万元),已知产品单价 P(万元)与产品件数 x 满 75

k ,生产 100 件这样的产品单价为 50 万元,产量定为多少件时总利润最大? x

21.(本小题满分 12 分)
·3 ·

已知 f (x) = xlnx. (I)求 f (x) 在[t,t+2](t>0)上的最小值; (Ⅱ)证明: ?x ? (0, ??) 都有 1nx ?

1 2 ? 。 e x ex

请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做第一题记分. 选修 4—1:几何证明选讲 22. (本小题满分 10 分) 如图, AB 是⊙ O 的一条切线,切点为 B , ADE , CFD , CGE 都是⊙ O 的割线,已知
AC ? AB .
2 (1)证明: AD ? AE ? AC ;

C G F
O

(2)证明: FG // AC .

A D

23.

选修 4—4:坐标系与参数方程 (本小题满分 10 分)

E B

在直角坐标系中,以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线
? ? x ? ?2 ? 过点 P (?2,?4) 的直线 l 的参数方程为: ? C : ? sin ? ? 2a cos ? (a ? 0) , ? ? y ? ?4 ? ? ?
2

2 t (t 为参数), 2 , 2 t 2

直线 l 与曲线 C 分别交于 M , N 两点. (1)写出曲线 C 和直线 l 的普通方程; (2)若 | PM |, | MN |, | PN | 成等比数列,求 a 的值.

24

选修 4—5:不等式选讲 . (本小题满分 10 分)

设函数 f ( x) ? | x ? 1 | ? | x ? 2 | ? a . (1)当 a ? 5 时,求函数 f ( x) 的定义域; (2)若函数 f ( x) 的定义域为 R,试求 a 的取值范围。

·4 ·

一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) ADBDD DDCDB BA 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13. 3 14. ( ,1)

1 2

15.

3 [1, ) 2

16.



三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分)解:p 真,则 a ? 1 q 真,则 ? ? (a ? 1) 2 ? 4 ? 0 即 a ? 3或a ? ?1 ---------2 分 ----------4 分

? “ p ? q ”为真, p ? q 为假
当 p真q假 时,有 ?

? p, q 中必有一个为真,另一个为假----5 分

?a ? 1 ?? 1 ? a ? 3

得 ? 1 ? a ? 1 -------8 分

当 p假q真 时,有 ?

?a ? 1 ?a ? 3或a ? ?1

得a ? 3

--------11 分

实数 a 的取值范围为 ? 1 ? a ? 1或a ? 3 .--------12 分 18.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由正弦定理得 a ? 2 R sin A, b ? 2 R sin B, c ? 2 R sin C , 所以????2 分

cos A-2 cos C 2c-a 2sin C ? sin A = ,即 sin B cos A ? 2sin B cos C ? 2sin C cos B ? sin A cos B , = cos B b sin B sin C 即有 sin( A ? B ) ? 2sin( B ? C ) ,即 sin C ? 2sin A ,所以 =2. ????6 分 sin A c sin C (Ⅱ)由(Ⅰ)知: =2,即 c=2a,又因为 b ? 2 ,所以由余弦定理得: ? a sin A 1 1 b 2 ? c 2 ? a 2 ? 2ac cos B ,即 22 ? 4a 2 ? a 2 ? 2a ? 2a ? ,解得 a ? 1 ,所以 c=2,又因为 cosB= ,所 4 4
以 sinB=

15 15 15 1 1 ,故 ?ABC 的面积为 ac sin B ? ? 1? 2 ? = . ????12 分 4 4 4 2 2

19. (本小题满分 14 分)
·5 ·

解: (1)由已知可得: f ( x) ?

1 ? cos 2 x 3 ? sin 2 x ? 1 2 2


3 1 1 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 2 2

= sin 2 x cos

?
6

? sin

?
6

cos 2 x ?

故函数的最小正周期 T ? (2)? ?

2? ?? 2

1 = sin(2 x ? ) ? 6 2
------------5 分

?

1 2

------------4 分

?
3

? 2x ?

?
6

?

5? 3 ? ?? ? sin( 2 x ? ) ? 1 6 2 6

? 3 ?1 1? y ? ?? , ? ------------------8 分 2 2? ?
(3) 将函数 y ? f ( x) 的图象向左平移

?
12

个单位得到函数 F ( x) ? sin 2 x ?

1 , 再将 y ? F ( x) 的 2

图象横坐标扩大到原来的 2 倍纵坐标不变,得到函数 g ( x) ? sin x ?

1 。 2 1 2

-----------------------------11 分 因为 g '( x) ? cos x ,所以切线的斜率 k ? g '(0) ? cos 0 ? 1 ,而切点为 (0,? ) 所以 g ( x) 的切线方程为 y ? (? ) ? x ? 0 ,即 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 所以直线 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 与 y ? g ( x ) 的图象相切于 (0,? ) 20. (本小题满分 10 分)

1 2

1 2

------------14 分

21.(本小题满分12分)
1 (Ⅰ)解: f ?( x) ? ln x ? 1 ,令 f ?( x) ? 0,得x ? . e
·6 ·

1? ? 当 x ? ? 0 , ? ,f ?( x) ? 0 ,f ( x) 单调递减; e? ? ?1 ? 当 x ? ? ,? ? ?,f ?( x) ? 0 ,f ( x) 单调递增. ????????????????(2 分) ?e ? 1 因为 t>0 ,t +2>2> , e 1 1 ?1? (1)当 0<t< 时 ,f ( x)min ? f ? ? ? ? ; e e ?e? 1 (2)当 t≥ 时, f ( x) min ? f (t ) ? t ln t. e

所以 f ( x)min

1 ? 1 ? ,0 ? t ? , ? ? e e ?????????????????????(6 分) ?? 1 ?t ln t ,≥ t . ? e ?

(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知,当 x ? (0 ,? ?) 时,
1 1 ?1? (当且仅当 x= 时取到最小值) f ( x) ? x ln x 的最小值是 f ( x) min ? f ? ? ? ? , e e ?e? x 2 问题等价于证明 x ln x ? x ? , e e

设 m( x ) ? 则 m?( x) ?

x 2 ? ( x ? (0 ,? ?)) , ex e 1? x 1 ,易得 m( x) max ? m(1) ? ? , (当且仅当 x=1 时取到最大值) x e e 1 2 ? 成立. ???????????(12 分) e x ex

从而对一切 x ? (0 ,? ?) ,都有 ln x ?

请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做第一题记分. 选修 4—1:几何证明选讲 22. (本小题满分 10 分)
C

证明: (1)?
2

AB为切线,AE为割线
G

? AB ? AD ? AE 又 ?
?

AB ? AC
O

F D

A

AD ? AE ? AC

2

??(5 分)

E B

(2) 由(1)有

AD AC ? AC AE

又? ?EAC

? ?DAC

?
又?

?ADC ~ ?ACE ?
?ADC ? ?EGF ?

?ADC ? ?ACE
?EGF ? ?ACE

?

GF // AC ????????(10分)
·7 ·

23

选修 4—4:坐标系与参数方程 (本小题满分 10 分)

24

选修 4—5:不等式选讲 . (本小题满分 10 分)

(1)由题+2 设知: x ? 1 ? x ? 2 ? 5 ? 0 ,在同一坐标系中作出函数 y ? x ? 1 ? x ? 2 和 y ? 5 的 图象 3分 知定义域为 x ? (??,?4] ? [1,??) . 5分 (2)由题设知,当 x ? R 时,恒有 x ? 1 ? x ? 2 ? a ? 0 , 即 x ?1 ? x ? 2 ? a ? 0 , 又由(1) x ? 1 ? x ? 2 ? a ,∴ 7分

a ?1

·8 ·


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