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2017浙江单招数学模拟试卷V(附答案)


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根据历年单招考试大纲出题

2017 浙江单招数学模拟试卷 V(附答案)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分。在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的。 1.若四个幂函数 y ? xa , y ? xb , y ? xc , y ? x d 在同 一坐标系中的

图象如右图,则 a 、 b 、 c 、 d 的大小 关系是( )

A. d ? c ? b ? a B. a ? b ? c ? d C. d ? c ? a ? b D. a ? b ? d ? c 2.定义运 在(

z 1 ? 2i ab ? 0 的复数 z 的共轭复数所对应的点 ? ad ? bc ,则符合条件 1? i 1? i c d
) B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 )

A.第一象限

?3x ?1 , x ? 1, f ( x ) ? 3.已知函数 若 f ( x0 ) ? 3 ,则 x0 的取值范围是( ? ?log 2 x , x ? 1.
A. x0 ? 8 C. 0 ? x0 ? 8 B. 0 ? x0 ? 1 或 x0 ? 8 D. ?1 ? x0 ? 0 或 0 ? x0 ? 8

4.平面 ? 外有两条直线 m 和 n ,如果 m 和 n 在平面 ? 内的射影分别是 m? 和 n? ,给出 下列四个命题: ① m? ? n? ? m ? n ; ③ m? 与 n? 相交 ? m 与 n 相交或重合; 合. 其中不正确的命题个数是( ) ② m ? n ? m? ? n? ; ④ m? 与 n? 平行 ? m 与 n 平行或重

考单招上高职单招网---A.1 B.2 C.3 D.4

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5.一个蜂巢里有 1 只蜜蜂,第 1 天,它飞出去找回了 5 个伙伴;第 2 天,6 只蜜蜂飞 出去,各自找回了 5 个伙伴,……,如果这个找伙伴的过程继续下去,第 6 天所有 的蜜蜂都归巢后,蜂巢中一共有( )只蜜蜂. A.55986 B.46656 C.216 D.36

6.已知正整数 a , b 满足 4a ? b ? 30 ,使得 ( ) A.(5,10) 7. B.(6,6)

1 1 ? 取最小值时,则实数对 ( a, b) 是 a b
D.(7,2) )

C.(10,5)

cos 20? ? cos10? ? 3 sin10? tan 70? ? 2 cos 40? =( sin 20?
A.

1 2

B.

2 2

C. 2

D.

3 2

8.某部队为了了解战士课外阅读情况,随机调查了 50 名 战士,得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数 据.结果用右面的条形图表示,根据条形图可得这 50 名战士这一天平均每人的课外阅读时间为( A. 0.6h B. 0.9h C. 1.0h )

D. 1.5h

9.从数字 1,2,3,4,5 中,随机抽取 3 个数字(允许重复)组成一个三位数,其各位 数字之和等于 9 的概率为( A. )

13 125

B.

16 125

C.

18 125
)

D.

19 125

10.计算

?0

2

4 ? x 2 dx 的结果是(
B. 2? C. ?

A. 4?

D.

? 2

考单招上高职单招网---11.设斜率为

根据历年单招考试大纲出题

x2 y 2 2 的直线 l 与椭圆 2 ? 2 ? 1 ,( a ? b ? 0 )交于不同的两点,且这 a b 2 两个交点在 x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点,则该椭圆的离心率为( )

A.

2 2

B.

1 2

C.

3 3

D.

1 3

12.一个圆锥被过顶点的平面截去了较小的一部分几何体,余下的几何体的三视图如 图,则该圆锥的体积为( )

A. ?

4 3

B. 2?

C. ?

8 3

D.

10 ? 3

二、填空题:本大题共 4 小题.每小题 5 分,满分 20 分。

?y ? 0 y ?3 ? 13.实数 x 、 y 满足不等式组 ? x ? y ? 0 ,则 m ? 的取值范围为. x ?1 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?
14.如果执行下面的程序框图,那么输出的 S 等于.

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15.对正整数 n ,设抛物线 y 2 ? 2(2n ? 1) x ,过 P(2n, 0) 任作直线 l 交抛物线于 An ,

???? ? ???? ? ? OAn ? OBn ? ? ? Bn 两点,则数列 ? ? 的前 n 项和公式是. ? 2(n ? 1) ? ? ?

16.对下面四个命题: ①若 A 、 B 、 U 为集合, A ? U , B ? U , A ? B ? A ,则 CU A ? CU B ; ②二项式 (2 x ?

1 6 ) 的展开式中,其常数项是 240; x2

③对直线 l 、 m ,平面 ? 、 ? ,若 l // ? , l // ? , ? ? ? ? m ,则 l // m ; ④函数 y ? ( x ? 1)2 ? 1 ,( x ? 0 )与函数 y ? ?1 ? x ?1 ,( x ? 1 )互为反函数. 其中正确命题的序号是. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分。解答须写出文字说明,证明过程和演算步 骤。 17.(本小题满分 12 分) 已知 O 为坐标原点, OA ? (2a sin 2 x, a) , OB ? (1, ?2 3sin x cos x ?1) ,

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? f ( x) ? OA ? OB ? b ,( a ? b 且 a ? 0 )

考单招上高职单招网---(1) 求 y ? f ( x) 的单调递增区间; (2) 若 f ( x) 的定义域为 ?

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?? ? , ? ,值域 [2,5] ,求 a , b 的值。 ?2 ? ?

18.(本小题满分 12 分)四棱锥 P ? ABCD 中, PB ? 底面 ABCD , CD ? PD .底面

ABCD 为直角梯形, AD / / BC , AB ? BC , AB ? AD ? PB ? 3 .点 E 在棱 PA
上,且 PE ? 2 EA . (1)求异面直线 PA 与 CD 所成的角; (2)求证: PC / / 平面 EBD ; (3)求二面角 A ? BE ? D 的大小. (用反三角函数表示).

19.(本题满分 12 分)当 n 为正整数时,区间 I n ? (n, n ? 1) , an 表示函数

1 3 x ? x 在 I n 上函数值取整数值的个数,当 n ? 1 时,记 bn ? an ? an?1 .当 3 x ? 0 , g ( x) 表示把 x “四舍五入”到个位的近似值,如 g (0.48) ? 0 , g ( 2) ? 1, f ( x) ?

考单招上高职单招网---k 的个数.
(Ⅰ)求 b2 , c 2 ; (Ⅱ) 求证: n ? 1 时, bn ? cn ;

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g (2.76) ? 3 , g (4) ? 4 ,…,当 n 为正整数时, cn 表示满足 g ( k ) ? n 的正整数

?1 ? | g ( k ) ? n, k ? N ? ? 中所有元素之和为 Sn , k ?2 ? n ?n 记 Tn ? (2 ? 2 )Sn ,求证: T1 ? T2 ? T3 ? ?? Tn ? 3
(Ⅲ) 当 n 为正整数时,集合 M n ? ?

20.(本小题满分 12 分)

y 2 x2 ? 1 的两个焦点分别为 F1 、 F2 ,离心率为 2. 设双曲线 2 ? a 3
(1) 求此双曲线的渐近线 l1 、 l2 的方程; (2) 若 A 、 B 分别为 l1 、 l2 上的点,且 2 | AB |? 5 | F1F2 | ,求线段 AB 的中点 M 的轨 迹方程,并说明轨迹是什么曲线; (3) 过点 N (1, 0) 能否作出直线 l ,使 l 与双曲线交于 P 、 Q 两点,且 OP ? OQ ? 0 若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由.

??? ? ????

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21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln(e x ? a) ,( a 为常数)是实数集 R 上的奇函数,函数

g ( x) ? ? f ( x) ? sin x 是区间 ??1,1? 上的减函数。
(1) 求 a 的值; (2) 若 g ( x) ? t 2 ? ?t ? 1 在 x ?[?1,1] 恒成立,求 t 的取值范围; (3) 讨论关于 x 的方程

ln x ? x 2 ? 2ex ? m 的根的个数。 f ( x)

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分。 做答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 已知:如右图,在等腰梯形 ABCD 中 AD / / BC , AB ? DC , 过点 D 作 AC 的平行线 DE ,交 BA 的延长线于点 E . 求证:(1) ?ABC ? ?DCB ; (2) DE ? DC ? AE ? BD 23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 设过原点 O 的直线与圆 C : ( x ?1)2 ? y 2 ? 1 的一个交点为 P ,点 M 为线段 OP 的 中点。 (1) 求圆 C 的极坐标方程;

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(2) 求点 M 轨迹的极坐标方程,并说明它是什么曲线. 24.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 解不等式 | x2 ? 3x ? 4 |? x ? 1 .

参考答案
1.B 2.A 3.B 4.D 5.B 14.441 6.A 7.C 8.B 9.D 10.C 11.A 12.C 15. ?n(n ? 1) 16.②③

13. ?3 ? m ? ?

1 3

17.解:(1)∵ f ( x) ? OA ? OB ? b ? 2a sin 2 x ? 2 3a sin x cos x ? a ? b

??? ? ??? ?

? ?2a sin(2 x ? ) ? 2a ? b …………2 分 6
2 6 2? ] ,( k ? z )……4 分 增区间为 [k? ? , k? ? 6 3
当 a ? 0 时,由 2k? ?

?

?

? 2x ?

?

? 2k? ?

?

3? ,( k ? z ),得 y ? f ( x) 的单调递 2

当 a ? 0 时, 2k? ? 区间 [k? ?

?
2

? 2x ?

?
6

? 2 k? ?

?
2

,( k ? z ),得 y ? f ( x) 的单调递增

?

, k? ? ] ,( k ? z )……6 分 3 6

?

(2) f ( x) ? ?2a sin(2 x ? ∴ 2x ?

?

) ? 2a ? b , x ? [ , ? ] , 6 2

?

?
6

?[

7? 13? ? 1 , ] , sin(2 x ? ) ? [?1, ] ……8 分 6 6 6 2

? 2a ? 2a ? b ? 5 ?a ? 1 ? 当 a ? 0 时, ? ,解得 ? ,不满足 a ? b ,舍去 ……10 分 1 b ? 1 ? 2 a ? ? 2 a ? b ? 2 ? ? ? 2 ? 2a ? 2a ? b ? 2 ?a ? ?1 ? 当 a ? 0 时, ? ,解得 ? ,符合条件, 1 b ? 6 ? 2 a ? ? 2 a ? b ? 5 ? ? ? 2

考单招上高职单招网---综上, a ? ?1 , b ? 6 ……12 分

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18.解:(1)建立如图所示的直角坐标系 B ? xyz 设 BC ? a ,则 A(0,3, 0) , P(0, 0,3) ,

D(3,3, 0) , C(a,0,0)

??? ? ??? ? CD ? (3 ? a,3,0) , PD ? (3,3, ?3) , ??? ? ??? ? ∵ CD ? PD ,∴ CD ? PD ? 0 ,
即 3(3 ? a) ? 9 ? 0 ,∴ a ? 6 ……2 分 ∵ CD ? (?3,3,0) , PA ? (0,3, ?3) ,∴ cos ? PA ,

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? ??? ? CD ? PA 9 1 ? ??? ? ? CD ?? ??? ? | CD | ? | PA | 3 2 ? 3 2 2
∴异面直线 CD 与 AP 所成的角为 60 ? . ……4 分 (2)连结 AC 交 BD 于 G,连结 EG ,∴ ∴

AG AD 1 AE 1 ? ? ,又 ? GC BC 2 EP 2

AG AE ? ……5 分 GC EP

∴ PC / / EG ……6 分 又 EG ? 平面 EBD , PC ? 平面 EBD (3)设平面 EBD 的法向量为 ∴ PC / / 平面 EBD …………8 分

?? ??? ? ??? ? n1 ? ( x, y,1) ,因为 BE ? (0,2,1) , BD ? (3,3,0) ,由
1 ? ?? ??? ? x ? ?? 1 1 ? ? ? ?n1 ? BE ? 0 ?2 y ? 1 ? 0 2 n ,1) …………10 分 得 所以, 于是, ?? ??? ? ? ? ? 1 ? ( ,? 2 2 1 3 x ? 3 y ? 0 n ? BD ? ? ?y ? ? ? 1 ? ? 2
又因为平面 ABE 的法向量 n 1 ? (1,0,0) 所以 cos ? n1 , n2 ??

?? ?

??

?? ?

1 6 ? 6 6

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6 …………12 分 6

所以,二面角 A ? BE ? D 的大小为 arccos

19.解:(Ⅰ)∵ f ?( x) ? x 2 ?1 ? ( x ? 1)( x ?1) , ∴当 x ? (1, 2) , f ?( x) ? 0 , f ( x) 为增函数,

f (1) ? ?

2 2 ? f ( x) ? f (2) ? ,∴ a1 ? 1 . ……2 分 3 3

同理 x ? (2,3) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 为增函数,

f (2) ?

2 ? f ( x) ? f (3) ? 6 , 3

∴ a2 ? 5 ,∴ b2 ? a2 ? a1 ? 4 ……3 分 又∵ c 2 表示满足 g k ? 2 的正整数 k 的个数。 ∴

3 5 9 25 ? k ? ,∴ ? k ? , k ? 3, 4,5,6 2 2 4 4

∴ c2 ? 4 . ……4 分

(Ⅱ)当 n 为正整数,且 n ? 1 , x ? (n, n ? 1) 时, f ( x) ?
2 ∴ f (n) ? f ( x) ? f (n ? 1) ∴ f (n ? 1) ? f (n) ? n ? n ?

1 3 x ? x 为增函数, 3

2 ∴ an ? n2 ? n ?1 …5 分 3

∴ an?1 ? (n ?1)2 ? (n ?1) ?1 , bn ? an ? an?1 ? 2n .……6 分 又∵ cn 表示满足 g ( k ) ? n 的正整数 k 的个数, ∴n?

1 1 ? k ? n? 2 2
1 1 ? k ? n2 ? n ? , 4 4

2 ∴n ?n?

∴ k ? n2 ? n ? 1 , n2 ? n ? 2 , n2 ? n ? 3 ,…, n2 ? n ,共 2 n 个。 ∴ cn ? 2n , ∴ bn ? cn …………8 分

(Ⅲ)由(Ⅱ)知: M ? {

1 | g ( k ) ? n, k ? N ? } k 2

考单招上高职单招网---?{ 1 2
n2 ? n ?1

根据历年单招考试大纲出题
1
n2 ? n ? 2 n

,

1 2
n2 ? n ? 2

,

1 2
n2 ? n ?3

,?

2

} ? 1 2
n2 ? n ? 2

∴ Tn ? (2n ? 2? n ) Sn ? (2n ? 2? n )(

1 2
n2 ? n ?1

?

1 2
n2 ? n ?3

? ??

1 2
n2 ? n ? 2 n

)

1 ? (2n ? 2? n ) 2

n2 ? n ?1

1 [1 ? ( )2 n ] 2 1 1? 2
? 1 2
( n ?1)2

?

24 n ? 1 2
n2 ? 2 n

? 2[

1 2
( n ?1)2

] …………10 分

∴ T1 ? T2 ? T3 ? ?? Tn

? 2[(
? 2[(

1 2
2
02

?
?

1 2
22

)?(
?

1 2
12

?

1 2
32

)?(

1 2
22

?
1 2

1 2
42

) ? ?(
1 21
2

1 2
( n ? 2)2

?

1 2
n2

)?(

1 2
( n ?1)2

?

1 2
( n ?1)2

)]

1
02

1 2
12

1 2
n2

?

1 2
( n ?1)2

)] ? 2[

02

?

] ? 3 …………12 分

20.解:(1)∵ e ? 2 ,∴ c 2 ? 4a 2 ∵ c 2 ? a 2 ? 3 ,∴ a ? 1 , c ? 2 …………2 分

x2 3 ? 1,渐近线方程为 y ? ? ∴双曲线方程为 y ? x …………3 分 3 3
2

(2)设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , AB 的中点 M ( x, y ) ∵ 2 | AB |? 5 | F1F2 | ∴ | AB |?

5 5 | F1 F2 |? ? 2c ? 10 2 2

2 2 ∴ ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ? 10

∵ y1 ?

3 3 x1 , y2 ? ? x2 , 2x ? x1 ? x2 , 2 y ? y1 ? y 2 …………5 分 3 3 3 3 ( x1 ? x2 ) , y1 ? y2 ? ( x1 ? x2 ) 3 3

∴ y1 ? y2 ?

考单招上高职单招网---∴ [ 3( y1 ? y2 )]2 ? [

根据历年单招考试大纲出题

3 ( x1 ? x2 )]2 ? 10 3

1 x2 3 y 2 2 ∴ 3(2 y ) ? (2 x) ? 100 ,即 ? ? 1 …………7 分 3 75 25
2

则 M 的轨迹是中心在原点,焦点在 x 轴上,长轴长为 10 3 ,短轴长为 (8 分) (3)假设存在满足条件的直线 l 设 l : y ? k ( x ? 1) , l 与双曲线交于 P( x1 , y1 ) 、 Q( x2 , y2 ) ∵ OP ? OQ ? 0 ∴ x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ∴ x1x2 ? k 2 ( x1 ?1)( x2 ?1) ? 0 ∴ x1x2 ? k 2[ x1x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1] ? 0 …………10 分

10 3 的椭圆… 3

??? ? ????

? y ? k ( x ? 1) ? ∵ ? 2 x2 ? (3k 2 ?1) x2 ? 6k 2 x ? 3k 2 ? 3 ? 0 , ?y ? ?1 3 ?
∴ x1 ? x2 ?

6k 2 3k 2 ? 3 x x ? , …………11 分 1 2 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1

∴ k2 ? 3 ? 0 ∴ k 不存在,即不存在满足条件的直线 l . ……12 分

21.解:(1)∵ f ( x) ? ln(e x ? a) 是实数集 R 上的奇函数 ∴ f (0) ? ln(e0 ? a) ? 0 ∴ a ? 0 ……3 分 (2)∵ g ( x) ? ? f ( x) ? sin x 是区间 [?1,1] 的减函数 ∴ ? ? ?1 , [ g ( x)]max ? g (?1) ? ?? ? sin1

考单招上高职单招网---∴只需 ?? ? sin1 ? t 2 ? ?t ? 1

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∴ (t ? 1)? ? t 2 ? sin1 ? 1 ? 0 ,( ? ? ?1 )恒成立 令 h(? ) ? (t ? 1)? ? t 2 ? sin1 ? 1 ,( ? ? ?1 ) 则?

……5 分

?t ? 1 ? 0
2 ??t ? 1 ? t ? sin1 ? 1 ? 0

∴?

?t ? ?1
2 ?t ? t ? sin1 ? 0

,而 t 2 ? t ? sin1 ? 0 恒成立,∴ t ? ?1 ……7 分

(3)由(1)知 f ( x) ? x 令 f1 ( x) ? ∴ f1?( x) ?

∴方程

ln x ? x 2 ? 2ex ? m x

ln x , f2 ( x) ? x2 ? 2ex ? m x

1 ? ln x ………8 分 x2

当 x ? (0, e) 时,∴ f1?( x) ? 0 , f1 ( x) 在 ? 0, e? 上是增函数 当 x ??e, ??? 时,∴ f1?( x) ? 0 , f1 ( x) 在 ?e, ?? ? 上是减函数 当 x ? e 时, [ f 1 ( x)]max ? f1 (e) ? 而 f2 ( x) ? ( x ? e)2 ? m ? e2
2 ∴当 m ? e ?

1 e

……9 分

1 1 2 ,即 m ? e ? 时,方程无解; ……10 分 e e

2 当m?e ?

1 1 2 ,即 m ? e ? 时,方程有一个根; ……11 分 e e

2 当m?e ?

1 1 2 ,即 m ? e ? 时,方程有两个根; ……12 分 e e

22.证明:(1) 四边形 ABCD 是等腰梯形,∴ AC ? DB ∵ AB ? DC , BC ? CB ,∴ ?ABC ? ?BCD ……5 分 (2)∵ ?ABC ? ?BCD ,∴ ?ACB ? ?DBC , ?ABC ? ?DCB

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∵ AD / / BC ,∴ ?DAC ? ?ACB , ?EAD ? ?ABC ……8 分 ∵ ED / / AC ,∴ ?EDA ? ?DAC ∴ ?EDA ? ?DBC , ?EDA ? ?DCB ∴ ?ADE ∽ ?CBD ∴ DE : BD ? AE : CD ∴ DE ? DC ? AE ? BD …………10 分

23.解:圆 ( x ?1)2 ? y 2 ? 1 的极坐标方程为 ? ? 2cos? ……4 分 设点 P 的极坐标为 ( ?1 ,?1 ) ,点 M 的极坐标为 ( ? ,? ) , ∵点 M 为线段 OP 的中点, ∴ ?1 ? 2? , ?1 ? ? ……7 分 将 ?1 ? 2? , ?1 ? ? 代入圆的极坐标方程,得 ? ? cos ? ∴点 M 轨迹的极坐标方程为 ? ? cos ? ,它表示圆心在点 ( , 0) ,半径为 圆. ……10 分
2 ? ? x ? 3x ? 4 ? 0 23.解:原不等式等价于(Ⅰ) ? 2 或(Ⅱ) ? ? x ? 3x ? 4 ? x ? 1 2 ? ? x ? 3x ? 4 ? 0 ……4 分 ? 2 ? ??( x ? 3x ? 4) ? x ? 1

1 2

1 的 2

? x ? 4或x ? ?1 ?? ? x ? 5或x ? ?1

或?

??1 ? x ? 4 ……7 分 ??1 ? x ? 3

? x ? 5 或 x ? ?1 或 ?1 ? x ? 3
∴原不等式的解集为{ x | x ? 5 或 x ? ?1 或 ?1 ? x ? 3 }………………10 分


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