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高一数学必修2章节训练题(1)


第一章 空间几何体
1.1
第 1 课时

空间几何体的结构
棱柱、棱锥、棱台的结构特征
基础达标

1.(2012· 昆明高一检测)在棱柱中满足 A.只有两个面平行 B.所有面都平行 C.所有面都是平行四边形 D.两对面平行,且各侧棱也相互平行 解析 由棱柱的定义可得只有 D 成立.答案 D

/>
(

).

2.某同学制作了一个对面图案相同的正方体礼品盒(如图),则这个正 方体礼品盒的表面展开图应该为 ( ).

解析 两个 不能相并列相邻,B、D 错误;两个 不能并列相邻,C 错误,故选 A.也可 通过实物制作检验来判定.答案 A

3.如图,能推断这个几何体可能是三棱台的是 A.A1B1=2,AB=3,B1C1=3,BC=4

(

).

B.A1B1=1,AB=2,B1C1=1.5,BC=2,A1C1=2,AC=4

C.A1B1=1,AB=2,B1C1=1.5,BC=3,A1C1=2,AC=4 D.A1B1=AB,B1C1=BC,C1A1=CA 解析 因为三棱台的上下底面相似,所以该几何体如果是三棱台,则△A1B1C1∽△ABC, A1B1 B1C1 A1C1 所以 AB = BC = AC .答案 C

4.如图,下列几何体中,________是棱柱,________是棱锥,________是棱台.

解析 利用棱柱、棱锥、棱台的结构特征判定.答案

①③④





5. 如图所示, 一个正方体的表面展开图的五个正方形为阴影部分, 第六个正方形编号为 1~ 5 的适当位置,则所有可能的位置编号为________.

解析 可通过选取小阴影正方形作底折叠分别检验.答案

1,4,5

6.如图,M 是棱长为 2 cm 的正方体 ABCD - 1B1C1D1 的棱 CC1 的中点,沿正方体表面从点 A A 到点 M 的最短路程是________cm.

解析 由题意,若以 BC 为轴展开,则 A,M 两点连成的线段所在的直角三角形的两直角 边的长度分别为 2 cm,3 cm,故两点之间的距离是 13 cm.若以 BB1 为轴展开,则 A,M 两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为 1,4,故两点之间的距离是

17 cm.故沿正方体表面从点 A 到点 M 的最短路程是 13 cm.答案

13

7.已知正三棱锥 VABC,底面边长为 8,侧棱长为 2 6,计算它的高和斜高. 解 如图所示,设 O 是底面中心,则 D 为 BC 的中点,

∴△VAO 和△VCD 是直角三角形.∵底面边长为 8,侧棱长为 2 6, ∴AO= 3 8 ×8= 3,CD=4,∴VO= VA2-AO2= 3 3 ?8 ?2 2 (2 6)2-?3 3? = 6. 3 ? ?

2 VD= VC2-CD2= (2 6)2-42=2 2.即正三棱锥的高是3 6,斜高为 2 2.

能力提升
8.如图所示,在三棱台 A′B′C′-ABC,截去三棱锥 A′-ABC,则剩余部分是( ).

A.三棱锥

B.四棱锥

C.三棱柱 B

D.三棱台

解析 剩余部分是四棱锥 A′-BB′C′C.答案

9.在正五棱柱中,不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线,那 么一个正五棱柱对角线的条数共有 ( A.20 解析 B.15 ). C.12 D.10

正五棱柱任意不相邻的两条侧棱可确定一个平面,每个平面可得到正五棱柱的两 D

条对角线,5 个平面共可得到 10 条对角线,故选 D.答案

10.长方体 ABCD- 1B1C1D1(如图所示)中,AB=3,BC=4,A1A=5,现有一甲壳虫从 A 出 A 发沿长方体表面爬行到 C1 来获取食物, 试画出它的最短爬行路线, 并求其路程的最小值.

解 把长方体的部分面展开,如图所示. 对甲、乙、丙三种展开图利用勾股定理可得 AC1 的长分别为 90、 74、 80,由此可见 乙是最短线路,所以甲壳虫可以先在长方形 ABB1A1 内由 A 到 E,再在长方形 BCC1B1 内 由 E 到 C1,也可以先在长方形 AA1D1D 内由 A 到 F,再在长方形 DCC1D1 内由 F 到 C1, 其最短路程为 74.

第 2 课时

圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征

及简单组合体的结构特征
基础达标
1.下列命题:①通过圆台侧面上一点,有无数条母线;②圆锥的顶点与底面圆周上任意一 点的连线是圆锥的母线;③在圆台上、下两底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是 圆台的母线;④圆柱的任意两条母线相互平行. A.①② B.②③ D ( ). C.①③ 其中正确的是 ( D.②④ ).

解析 ①③错误,②④正确.答案

2.过球面上任意两点 A、B 作大圆,可能的个数是

A.有且只有一个 C.无数个

B.一个或无穷多个 D.以上均不正确

解析 当过 A,B 的直线经过球心时,经过 A,B 的截面所得的圆都是球的大圆,这时过 A,B 作球的大圆有无数个;当直线 AB 不经过球心 O 时,经过 A,B,O 的截面就是一 个大圆,这时只能作出一个大圆.答案 B ).

3.一个正方体内有一个内切球,作正方体的对角面,所得截面图形是下图中的(

解析

由组合体的结构特征知,球只与正方体的上、下底面相切,而与两侧棱相离,故 B

正确答案为 B.答案

4.下列几何体中是台体的是________.

解析

①中的几何体侧棱延长线没有交于一点;②中的几何体没有两个平行的面;很明 ④

显③中几何体是棱锥,④是圆台.答案

5.下面这个几何体的结构特征是_________________________________________ _________________________________________________________________.

答案 上面是一个四棱锥,下面是一个与锥体同底的长方体挖去一个圆柱 6.过球的一条半径的中点,作垂直于该半径的截面,则截面的面积与 球的一个大圆面积之比为________.

S截 πr2 3 1 3 解析 ∵d=2R,∴α=30°∴r=Rcos 30°= 2 R∴ = = .答案 S大圆 πR2 4

3 4

7.从一个底面半径和高都是 R 的圆柱中,挖去一个以圆柱上底面为底,下底面中心为顶点 的圆锥,得到如图所示的几何体.如果用一个与圆柱下底面距离为 l 并且平行于底面的平面去截它,求所得截面的面积. 解 如图是此几何体的轴截面图 OA=AB=R,所以△OAB 是等腰直 角三角形.又 CD∥OA,则 CD=BC,设 O1D=x,因为 CD=R-x, BC=R-l,故 x=l,所以截面面积 S=π R2-π l2=π (R2-l2).

能力提升
8.一个正方体内接于一个球,过球心作一截面,如图所示,则截面可能的图形是( ).

A.①③ C.①②③ 解析

B.②④ D.②③④

当截面平行于正方体的一个侧面时得③,当截面过正方体的体对角线时得②,当 C

截面不平行于任何侧面也不过对角线时得①,但无论如何都不能截出④.答案

9.圆台上底面面积为π ,下底面面积为 16π ,用一个平行于底面的平面去截圆台,该平面 自上而下分圆台的高的比为 2∶1,则这个截面的面积为________. 解析 如图,把圆台还原成圆锥,设截面⊙O1 的半径为 r,因为圆台上底面面积为π, SO 1 下底面面积为 16π, 所以上底面半径为 1,下底面半径为 4, 所以SO =4, SO=x, 2 设 SO
2

1 SO x =4x,则 OO2=3x,因为 OO1∶O1O2=2∶1,所以 OO1=2x,在△SBO1 中 r =SO =3x,
1

所以 r=3,因此截面圆的面积是 9π.

答案 9π 10.如图所示,在棱长为 1 的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切,求两球半径 之和. 解 此题的关键在于作截面.球不可能与边 AB、CD 相切,一个球在正方体内,一般知 道作对角面,而两个球的球心连线也应在正方体的体对角线上,故仍需作正方体的对角 面,得如图所示的截面图.球心 O1 和 O2 在 AC 上,过 O1、O2 分别作 AD、BC 的垂线交 于 E、F 两点.设小球半径为 r,大球半径为 R. 则由 AB=1, AC= 3, AO1= 3r, 2= 3R, 得 CO ∴r+R+ 3(r+R)= 3, ∴R+r= 3- 3 3 = 2 . 3+1

1.2
1.下列说法正确的是

空间几何体的三视图和直观图
基础达标
( ).

A.任何物体的三视图都与物体的摆放位置有关 B.任何物体的三视图都与物体的摆放位置无关 C.有的物体的三视图与物体的摆放位置无关 D.正方体的三视图一定是三个全等的正方形 解析 对于 A,球的三视图与物体摆放位置无关,故 A 错;对于 B,D,正方体的三视 图与摆放位置有关,故 B,D 错;故选 C.答案 C ).

2.如图所示,下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是 (

A.①② 解析

B.①③

C.①④

D.②④

在各自的三视图中①正方体的三个视图都相同;②圆锥有两个视图相同;③三棱

台的三个视图都不同;④正四棱锥有两个视图相同.答案

D ).

3.一个几何体的三视图形状都相同,大小均相等,那么这个几何体不可以是( A.球 B.三棱锥 C.正方体 D.圆柱 D

解析 不论圆柱如何放置,其三视图的形状都不会完全相同,故选 D.答案

4.太阳光线与地面成 60°的角,照射在地面上的一个皮球上,皮球在地面上的投影长是 10 3,则皮球的直径是________.

解析 直径 d=10 3sin 60°=15.答案

15

5.由小正方体木块搭成的几何体的三视图如图所示,则该几何体由________块小正方体木 块搭成.

解析 小木块的排列方式如图所示.由图知,几何体由 7 块小正方体木块搭成.答案

7

6.若一个三棱柱的三视图如图所示,则这个三棱柱的高(两底面之间的距离)和底面边长分 别是________和________.

解析 三棱柱的高同侧视图的高,侧视图的宽度恰为底面正三角形的高,故底边长为 4.

答案 2

4

7.根据图中所给出的物体的三视图,试画出它们的形状.

解 根据所给的三视图,得其直观图,如图.

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8.一个长方体去掉一个小长方体,所得几何体的正视图与侧视图分别如图所示,则该几何 体的俯视图为 ( ).

解析 正视图中小长方形在左上方,对应俯视图应该在左侧,排除 B、D,侧视图中小长 方形在右上方,排除 A,故选 C.答案 C

9.如图是一个几何体的三视图.若它的体积是 3 3,则 a=________. 解析 由三视图可知原几何体为一个直三棱柱, 底面三角形中 ?1 ? 边长为 2 的边上的高为 a.∴V=3×?2×2×a?=3 3?a= 3. ? ? 答案 3

10.(1)如图,是一个棱柱的三视图,请根据三视图的作图原则列 出方程组,求出 x,y 的值.

(2)画出如图所示的正四棱锥的三视图. 解 (1)棱柱的底面是一个直角三角形,根据“长对正,高平齐,宽相等”的原则可知 ?x+y=10, 即? 解得 x=7,y=3. ?x-4y=-5,

?x+y-2=8, ? ?x-y+5=3y,

(2)四棱锥的三视图如图所示.

1.2.3

空间几何体的直观图

基础达标
1.用斜二测画法画水平放置的△ABC 时,若∠A 的两边平行于 x 轴、y 轴,且∠A=90°, 则在直观图中∠A′= A.45° ( ). B.135° C.45°或 135° D.90°

解析 在画直观图时,∠A′的两边依然分别平行于 x′轴、y′轴,而∠x′O′y′=45°或 135°. 答案 C 2. 如图所示, △A′B′C′是水平放置的△ABC 的直观图, 则在原△ABC 的三边及中线 AD 中,最长的线段是 A.AB 解析 ( ). D.AC

B.AD C.BC

还原△ABC,即可看出△ABC 为直角三角形,故其斜边 D ( ).

AC 最长.答案

3.下列说法正确的个数是

①相等的角在直观图中对应的角仍然相等;②相等的线段在直观图中对应的线段仍然相 等;③最长的线段在直观图中对应的线段仍最长;④线段的中点在直观图中仍然是线段 的中点.A.1 B.2 A C.3 D.4

解析 ①②③错误,④正确.答案

4.水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图所示,已知 A′C′=3,B′C′ =2,则 AB 边上的中线的实际长度为________. 解析 将直观图△A′B′C′复原,其平面图形为 Rt△ABC,且 AC=3, 5 BC=4,故斜边 AB=5,所以 AB 边上的中线长为2.答案 5 2

5.一个建筑物上部为四棱锥,下部为长方体,且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样, 已知长方体的长、宽、高分别为 20 m、5 m、10 m,四棱锥的高为 8 m,若按 1∶500 的 比例画出它的直观图,那么直观图中长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为________. 解析 由比例可知长方体的长、宽、高和锥高,应分别为 4 cm,1 cm,2 cm 和 1.6 cm, 再结合直观图,图形的尺寸应为 4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm. 答案 4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm 6.(2012· 石家庄高一检测)一个水平放置的平面图形的斜二测直观图 是直角梯形 ABCD,如图所示,∠ABC=45°,AB=AD=1,DC ⊥BC,原平面图形的面积为________.

解析 过 A 作 AE⊥BC, 垂足为 E, 又∵DC⊥BC 且 AD∥BC, ∴ADCE 2 是矩形,∴EC=AD=1,由∠ABC=45°,AB=AD=1 知 BE= 2 , 2 ∴原平面图形是梯形且上下两底边长分别为 1 和 1+ 2 , 1 ? 2 2? 高为 2,∴原平面图形的面积为2×?1+1+ ?×2=2+ 2 .答案 2? ? 2 2+ 2

7.根据图(1)(2)(3)所示的几何体的三视图,想象其实物模型,画出其对应的直观图(不写画 法)

解 三视图对应的几何体如下图所示

能力提升
8.如图所示,△A′O′B′表示水平放置的△AOB 的直观图,B′在 x′ 轴上,A′O′和 x′轴垂直,且 A′O′=2,则△AOB 的边 OB 上的高为 ( ).A.2 B.4 C.2 2 D.4 2

解析 由直观图与原图形中边 OB 长度不变,得 S 原图形=2 2S 直观图, 1 1 得 ·OB·h=2 2× ×2·O′B′,∵OB=O′B′,∴h=4 2.答案 2 2 D

9.已知一个正方形的直观图是一个平行四边形,其中有一边长为 4,则此正方形的面积是 ________. 解析 在直观图中边长为 4 的边若与 x′轴平行,则原图中正方形的边长为 4, 此时面积为 16;若与 y′轴平行,则正方形的边长为 8,此时面积为 64.答案 16 或 64

10.如图为一几何体的平面展开图,按图中虚线将它折叠起来,画出它的直观图



由题设中所给的展开图可以得出,此几何体是一个四棱锥,其底面是一个边长为 2

的正方形,垂直于底面的侧棱长为 2,其直观图如图所示.

1.3 1.3.1

空间几何体的表面积与体积

柱体、锥体、台体的表面积与体积
基础达标

1.若正方体的棱长为 2,则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为 2 A. 6 2 B. 3 3 C. 3 2 D.3

(

).

解析 由题意知,以正方体各个面的中心为顶点的凸多面体是正八面体(即由两个同底等 2 高的正四棱锥组成),所有棱长均为 1,其中每个正四棱锥的高均为 2 ,故正八面体的体 1 2 2 积 V=2V 正四棱锥=2×3×12× 2 = 3 .故选 B.答案 B 2.(2012· 许昌高一检测)如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是 4π ,那么圆柱的体积等于 ( ).A.π B.2π C.4π D.8π

解析 设圆柱的底面半径为 r,则圆柱的母线长为 2r,由题意得 S 圆柱侧=2πr×2r=4πr2 =4π,所以 r=1,所以 V 圆柱=πr2×2r=2πr3=2π.答案 B ).

3.一个几何体的三视图如图所示(单位长度:cm),则此几何体的表面积是 (

A.16 cm2 解析

B.10+4 2 cm2

C.12+4 2 cm2

D.8+2 2 cm2

1 此几何体为三棱柱且侧棱与底面垂直,则表面积为(2+2+2 2)×2+2×2×2×2 C

=12+4 2(cm).答案

15 4.已知正三棱台的上底面边长为 2,下底面边长为 4,高为 3 ,则正三棱台的侧面积 S1 与底面面积之和 S2 的大小关系为 A.S1>S2 解析 斜高 h′= B.S1<S2 ( ). C.S1=S2 D.以上都不是

? 15?2 ? 3 ?2 ? ? +? (4-2)? = 2, ? 3 ? ?6 ?

1 1 3 3 S1=2(c+c′)h′=2(3×2+3×4)× 2=9 2,S2= 4 ×22+ 4 ×42=5 3,∴S1>S2. 答案 A 5.一个四面体的所有棱长都为 2,四个顶点在同一球面上,则此球的表面积为 ( A.3π 解析 B.4π C.3 3π D.6π ).

以四面体的棱长为正方体的面对角线构造正方体,则正方体内接于球.正方体棱

长为 1,则对角线长为球的直径,∴2R= 3,∴S 球=4πR2=3π.答案 A 6.一个正四棱台两底面边长分别为 m、n,侧面积等于两个底面面积之和,则这个棱台的高 为________. 解析 如右图所示,设 O1、O 分别为棱台上、下底面中心,M1、 M 分别为 B1C1、 的中点. BC 连接 O1M1、 OM, M1M 为斜高. 则 过 M1 作 M1H⊥OM 于 H 点,则 M1H=OO1,

1 S 侧=4×2(m+n)· 1M,S 上底+S 下底=m2+n2. M m2+n2 由已知得 2(m+n)M1M=m2+n2,∴M1M= . 2(m+n) 1 在 Rt△M1HM 中,MH=OM-O1M1=2(m-n),∴M1H=O1O= M1M2-MH2 =
2 2 ? m +n ?2 1 mn ? ? - (m-n)2= .答案 4 m+n ?2(m+n)?

mn m+n

7.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形,正视图是一个底边长为 8、高为 4 的等腰三 角形,侧视图是一个底边长为 6、高为 4 的等腰三角形. (1)求该几何体的体积 V;(2)求该几何体的侧面积 S.

解 由已知可得该几何体是一个底面为矩形、 高为 4、 顶点在底面的射影是矩形中心的四 棱锥 VABCD. 1 (1)V= ×(8×6)×4=64. 3 (2)该四棱锥有两个侧面 VAD,VBC 是全等的等腰三角形,且 BC 边上的高为 h1 = ?8?2 42+?2? =4 2,另两个侧面 VAB,VCD 也是全等的等腰三角形,AB 边上的高为 h2 ? ? = 1 ?6?2 ?1 ? 42+?2? =5.因此 S=2?2×6×4 2+2×8×5?=40+24 2. ? ? ? ?

能力提升
8.在三棱柱 ABC- 1B1C1 中,∠BAC=90°,AB=AC=a,∠AA1B1=∠AA1C1=60°,∠ A BB1C1=90°,侧棱长为 b,则其侧面积为 ( A. 3 3ab 4 B. 3+2 2 ab ). D. 2 3+2 2 ab

C.( 3+ 2)ab

解析 如图,由已知条件可知:侧面 AA1B1B 和侧面 AA1C1C 为一般的平行四边形,侧面 BB1C1C 为矩形.在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=a,

∴BC= 2a.∴S 矩形 BCC1B1= 2a·b= 2ab. ∵∠AA1B1=∠AA1C1=60°,AB=AC=a, 3 3 ∴点 B 到直线 AA1 的距离为 asin 60°= 2 a.∴SAA1B1B= 2 ab. 3 ∴S 侧=2× 2 ab+ 2ab=( 3+ 2)ab 答案 C 9.设某几何体的三视图如图(尺寸的长度单位为 m).则该几何体的体积为________ m3.

解析 由三视图可知原几何体是一个三棱锥, 由“长对正,宽相等,高平齐”的原则可知三棱锥的高为 2,底面三角形的底边长为 4, 1 1 高为 3,则所求棱锥的体积为 V=3×2×3×4×2=4.答案 4

10.若 E,F 是三棱柱 ABC- 1B1C1 侧棱 BB1 和 CC1 上的点,且 B1E=CF,三棱柱的体积为 A m,求四棱锥 ABEFC 的体积. 解 如图所示,连接 AB1,AC1.∵B1E=CF, ∴梯形 BEFC 的面积等于梯形 B1EFC1 的面积. 又四棱锥 ABEFC 的高与四棱锥 A?B1EFC1 的高相等, 1 ∴VA?BEFC=VA?B1EFC1=2VA?BB1C1C. 1 又 VA?A1B1C1=3S△A1B1C1·h, m VABC-A1B1C1=S△A1B1C1·h=m,∴VA?A1B1C1= 3 , 2 1 2 m ∴VA?BB1C1C=VABC?A1B1C1-VA?A1B1C1=3m,∴VA?BEFC=2×3m= 3 , m 即四棱锥 ABEFC 的体积是 3 .

1.3.2

球的体积和表面积
基础达标

1.(2012· 洛阳高一检测)一个三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长分别为 3,4,5,则它的 外接球的表面积是 A.20 2π C.50π ( ).

B.25 2π D.200π

解析 设三棱锥的外接球半径为 r,则有(2r)2=32+42+52=50, 即 4r2=50,故它的外接球的表面积 S=4πr2=50π.答案 C

2.我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰:置积尺数,以十六乘之,九而一, 所得开立方除之,即立圆径.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积 V,求其直径 d 的一个近似公式 d≈ 3 16 根据π =3.141 59?判断, 9 V.人们还用过一些类似的近似公式. ( 3 2V ). C.d ≈ 3 300 157V D.d ≈ 3 21 11V

下列近似公式中最精确的一个是 A.d ≈ 3 16 9V B.d ≈

解析 由球体积公式得 d=

3 6 16 3 V≈ 1.909 860 93V.因为 9 ≈1.777 777 78, π D ).

300 21 21 6 157≈1.910 828 03,11≈1.909 090 91,而11 最接近于π,所以选 D.答案

3.已知一个表面积为 24 的正方体, 设有一个与每条棱都相切的球, 则此球的体积为( 4π A. 3 B.4 3π 24 6π C. 3 D. 8 2π 3

解析 设正方体的棱长为 a,则 6a2=24,解得 a=2.又球与正方体的每条棱都相切,则 4 正方体的面对角线长 2 2等于球的直径,则球的半径是 2,则此球的体积为3π( 2)3= 8 2 3 π. 答案 D 4.已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上,且 AB=6,BC=2 3,则棱锥 O

-ABCD 的体积为________. 解析 依题意棱锥 O-ABCD 的四条侧棱长相等且均为球 O 的半径,如图,连接 AC,取 AC 中点 O′,连接 OO′,易知 AC= AB2+BC2=4 3,故 AO′=2 3. 在 Rt△OAO′中,OA=4,从而 OO′= 42-12=2. 1 所以 VO?ABCD=3×2×6×2 3=8 3.答案 8 3

3 5.若一个底面边长为 2 ,侧棱长为 6的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上,则此球的体 积为________. 6 3 解析 如图,OO1= 2 ,AO1= 2 ,∴AO= 4 ?3?3 9 ∴V=3π?2? =2π.答案 ? ? 9 2π 3 ? 3?2 ? 6?2 3 ? ? +? ? = ,即 R= . 2 2 ?2? ?2?

6.直三棱柱 ABC- 1B1C1 的各顶点都在同一球面上.若 AB=AC=AA1=2,∠BAC=120°, A 则此球的表面积等于________. 解析 设球心为 O, 球半径为 R, △ABC 的外心是 M, O 在底面 ABC 则 上的射影是点 M.如图,在△ABC 中,AB=AC=2,∠BAC=120°, 1 ∠MAC=2∠BAC=60°,又 BM=MC,∴AM=AC=2.因此,R2=22 ?AA1?2 +? 2 ? =5,此球的表面积等于 4πR2=20π.答案 20π ? ? 7.若圆锥与球的体积相等,且圆锥底面半径与球的直径相等,求圆锥侧面积与球面面积之 比. 解 设圆锥的 底面半 径为 r ,高为 h,母 线长为 l , 球的 半径 为 R,则由 题意得

4 ?1 2 ? π r ·h= π R3, 1 4 3 ?3 ∴3π (2R)2·h=3π R3,∴R=h,r=2h,∴l= r2+h2= 5h, ?r=2R, ? S圆锥侧 2 5π h2 5 ∴S 圆锥侧=π rl=π ×2h× 5h=2 5π h ,S 球=4π R =4π h ,∴ = 2 = 2. S球 4π h
2 2 2

能力提升

8.如图,在等腰梯形 ABCD 中,AB=2DC=2,∠DAB=60°,E 为 AB 的中点,将△ADE 与△BEC 分别沿 ED、EC 向上折起,使 A、B 重合于点 P,则三棱锥 PDCE 的外接球的 体积为 ( 4 3π A. 27 ). 6π B. 2 6π C. 8 6π D. 24

解析 折起后的几何体是一个棱长为 1 的正四面体 P?CDE,我们容易求得该正四面体外 6π 6 4 ? 6?3 接球半径为 4 ,∴外接球的体积 V=3π? ? = 8 .答案 ?4? C

9.球与圆台的上、下底面及侧面都相切,且球面面积与圆台的侧面积之比为 3∶4,则球的 体积与圆台的体积之比为________. 解析 如图所示,作圆台的轴截面等腰梯形 ABCD,球的大圆 O 内切于梯形 ABCD.设球的半径为 R,圆台的上、下底面半径分别 为 r1、r2,由平面几何知识知,圆台的高为 2R,母线长为 r1+r2. ∵∠AOB=90°, OE⊥AB(E 为切点), 2=OE2=AE· ∴R BE=r1· 2. r 16 由已知 S 球∶S 圆台侧=4πR2∶π(r1+r2)2=3∶4.(r1+r2)2= 3 R2. V 球∶V 圆台=1 2R2 2R2 6 = =16 =13.答案 2 (r1+r2) -r1r2 2 2 2 2 2R 3π(r1+r1r2+r2)· 3 R -R 4 3 3πR 6 13

10.在棱长为 2R 的正方体容器内装满水,先把半径为 R 的球放入水中,然后再放入一球, 使它淹没在水中,且使溢出的水最多,问这个球的半径应是多少?并计算放入这两个球 后溢出的水量与容器容量之比. 解 设半径为 R 的球心为 O,后一球的球心为 O1,半径为 r, 过正方体的对角面的截面图如图所示. 由正方体的性质可知,四边形 AA1C1C 为矩形,O 点是 AC1 的 中点,欲使第二球放入后溢出的水最多,则球心 O1 也在 AC1 上.

PO1 QO 作 OQ⊥AC 于 Q,O1P⊥AC 于 P,设两球外切于 E,则△APO1∽△AQO,∴AO = AO .
1

由 CC1=2R,AC=2 2R,AC1= CC2+AC2=2 3R, 1

r R 3 3 ∴AO =1 ,∴r= 3 AO1= 3 (AE-r).又 AE=AO-R=( 3-1)R,∴r=(2- 3)R, 1 2AC1 4 4 π R3+3π (2- 3)3R3 3 9-5 3 此时所求之比为: = 2 π. 3 (2R)


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